Esercizio 41bobina inclinata in un solenoide che si spegne

Testo (III appello, 21 giugno 2023, problema 2). Al centro di un solenoide indefinito, costituito da spire con densità $n = 10^3$ spire/m, c'è una bobina di $N = 10$ spire, circolare e piana, di raggio $a = 2\ \text{cm}$ e resistenza $R = 0{,}1\ \Omega$. La normale $\hat u_n$ alla bobina forma un angolo $\alpha = 30°$ con l'asse del solenoide. Dall'istante $t_0 = 0$ nel solenoide comincia a circolare una corrente d'intensità $i(t) = i_0\,e^{-t/\tau}$ con $i_0 = 15\ \text{A}$ e $\tau = 2 \cdot 10^{-2}\ \text{s}$. Calcolare:

1. la carica $q$ che circola nella bobina dall'istante $t_0$ fino all'istante in cui la corrente nel solenoide si annulla;
2. il massimo valore $\mathcal E_{\max}$ assunto dalla f.e.m. indotta nella bobina;
3. il momento magnetico massimo $m_{\max}$ della bobina.

Teoria: Legge di Faraday-Neumann-LenzOgni volta che il flusso di B concatenato con un circuito cambia (perché cambia B, l'area o l'orientazione) nel circuito nasce una f.e.m. indotta ℰ = −dΦ/dt (legge di Faraday-Neumann); il segno meno (legge di Lenz) dice che la corrente indotta si oppone alla variazione. La carica che circola è q = ΔΦ/R (legge di Felici). Una sbarretta che scorre su rotaie dà ℰ = Bℓv ed è frenata da F = B²ℓ²v/R. Un campo B variabile produce un campo elettrico indotto non conservativo: ∮E·dl = −dΦ/dt, rot E = −∂B/∂t. Applicazioni: correnti di Foucault, alternatore.Legge di Faraday-Neumann-Lenz →, Forza magnetica su un conduttore e momento su una spiraSu un tratto di filo percorso da corrente agisce la forza dF = i dl × B (seconda legge elementare di Laplace); su un filo rettilineo in campo uniforme F = i l B sinθ. Nell'effetto Hall la forza sui portatori produce una tensione trasversale che misura B. Una spira in un campo uniforme non sente forza totale ma un momento M = m × B, con momento magnetico m = i S n; l'energia è U = −m·B. Su questo funzionano galvanometro e motore elettrico.Forza magnetica su un conduttore e momento su una spira → (momento magnetico).

Il flusso nella bobina

Il campo del solenoide è uniforme, $B(t) = \mu_0 n\,i(t)$, lungo l'asse. La bobina è inclinata: il flusso attraverso ogni spira è $B\,\pi a^2\cos\alpha$ (conta solo la componente del campo lungo la normale). Con $N$ spire:

$$\Phi(t) = \mu_0 n\,i(t)\,N\pi a^2\cos\alpha = \Phi_0\,e^{-t/\tau}$$

con il flusso iniziale

$$\Phi_0 = \mu_0 n\,i_0\,N\pi a^2\cos\alpha = 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 10^3 \cdot 15 \cdot 10 \cdot \pi(0{,}02)^2 \cdot 0{,}866 = 2{,}05 \cdot 10^{-4}\ \text{Wb}$$

($B_0 = \mu_0 n i_0 = 18{,}8\ \text{mT}$, area di una spira $1{,}26 \cdot 10^{-3}\ \text{m}^2$.)

Una precisazione. "Dall'istante $t_0$ comincia a circolare" va inteso così: per $t \ge 0$ la corrente vale $i_0 e^{-t/\tau}$, quindi parte da $i_0$ e cala. (Se prima di $t_0$ fosse stata nulla, ci sarebbe un salto istantaneo da $0$ a $i_0$ con una f.e.m. infinita: la soluzione ufficiale considera solo l'intervallo $t \ge 0$.)

1) Carica circolata

La corrente nel solenoide si annulla (in pratica) dopo qualche $\tau$: il flusso va da $\Phi_0$ a zero. Con la legge di Feliciq =|Φi − Φf|/R, qualunque sia la legge con cui il flusso cambia.Legge di Faraday-Neumann-Lenz →:

$$q = \frac{\Phi_0 - 0}{R} = \frac{2{,}05 \cdot 10^{-4}}{0{,}1} = 2{,}05 \cdot 10^{-3}\ \text{C}$$

2) F.e.m. massima

$$\mathcal E_i(t) = -\frac{d\Phi}{dt} = \frac{\Phi_0}{\tau}\,e^{-t/\tau}$$

positiva: per Lenz la corrente indotta cerca di mantenere il flusso che sta calando, quindi circola nel verso che produce un campo concorde con quello del solenoide. La f.e.m. è massima all'istante iniziale, quando la corrente nel solenoide cala più rapidamente:

$$\mathcal E_{\max} = \frac{\Phi_0}{\tau} = \frac{2{,}05 \cdot 10^{-4}}{2 \cdot 10^{-2}} = 1{,}03 \cdot 10^{-2}\ \text{V}$$

3) Momento magnetico massimo

La corrente indotta è $i_b = \mathcal E_i/R$, massima all'inizio:

$$i_{b,\max} = \frac{\mathcal E_{\max}}{R} = \frac{1{,}03 \cdot 10^{-2}}{0{,}1} = 0{,}103\ \text{A}$$

Il momento magneticom = N i S per una bobina di N spire di area S, lungo la normale.Forza magnetica su un conduttore e momento su una spira → di una bobina di $N$ spire è $m = N\,i\,S$:

$$m_{\max} = N\,i_{b,\max}\,\pi a^2 = 10 \cdot 0{,}103 \cdot 1{,}26 \cdot 10^{-3} = 1{,}29 \cdot 10^{-3}\ \text{A m}^2$$

diretto lungo la normale della bobina, nel verso che (per Lenz) ha una componente concorde con il campo del solenoide.

(La soluzione ufficiale scrive la stessa formula, $m_{\max} = \frac{\mathcal E_{\max}}{R}\,N\pi a^2$, ma riporta $1{,}3 \cdot 10^{-4}\ \text{A m}^2$: il valore corretto della formula è $1{,}29 \cdot 10^{-3}\ \text{A m}^2$.)

Osservazione. Il dipolo indotto, inclinato di $30°$ rispetto al campo, sente un momento meccanicoM = m × B: tende ad allineare il momento magnetico al campo.Forza magnetica su un conduttore e momento su una spira → $mB\sin\alpha$ che tende ad allinearlo al campo: all'istante iniziale vale $1{,}29 \cdot 10^{-3} \cdot 0{,}0188 \cdot 0{,}5 = 1{,}2 \cdot 10^{-5}\ \text{N m}$.

Verifica numerica

import numpy as np
mu0 = 4e-7*np.pi
n, N, a, R, al, i0, tau = 1e3, 10, 0.02, 0.1, np.radians(30), 15, 2e-2
Phi0 = mu0*n*i0*N*np.pi*a**2*np.cos(al)
Emax = Phi0/tau
print(Phi0, Phi0/R, Emax)                 # 2.05e-4 Wb, 2.05e-3 C, 1.03e-2 V
print(Emax/R*N*np.pi*a**2)                # 1.29e-3 A m^2

Risultati

Errori comuni

• Dimenticare il $\cos\alpha$: la bobina inclinata intercetta solo la componente del campo lungo la sua normale.
• Cercare il massimo della f.e.m. quando la corrente è minima: conta la rapidità della variazione, massima all'inizio per un esponenziale decrescente.
• Dimenticare le $N$ spire nel momento magnetico: compaiono sia nella f.e.m. (ogni spira contribuisce al flusso) sia in $m = NiS$ (la stessa corrente percorre tutte le spire), e sono entrambe corrette.