Interferenza di N sorgenti e onde stazionarie

Segue Interferenza di due sorgenti ed esperimento di YoungDue onde coerenti (stessa frequenza, differenza di fase costante) con la stessa polarizzazione che si sovrappongono danno I = I1 + I2 + 2√(I1 I2) cos δ, con δ = k(r2 − r1) + sfasamento tra le sorgenti. Massimi (interferenza costruttiva) per δ = 2mπ, cioè r2 − r1 = mλ; minimi (distruttiva) per δ = (2m+1)π, cioè r2 − r1 = (m + ½)λ. Con intensità uguali I = 4I0 cos²(δ/2): massimi 4I0, minimi 0. Onde incoerenti o polarizzate perpendicolarmente non interferiscono: I = I1 + I2. Esperimento di Young (fenditure a distanza d, schermo a distanza L): massimi a d sin θ = mλ, frange equidistanti di passo Δx = λL/d. In un mezzo conta il cammino ottico n·r; una lamina di spessore s davanti a una fenditura sfasa di 2π(n−1)s/λ0.Interferenza di due sorgenti ed esperimento di Young →. Prosegue in Diffrazione da una fenditura e reticoloLa diffrazione è l'allargarsi di un'onda oltre un'apertura o un ostacolo, evidente quando l'apertura è confrontabile con λ. Per Huygens ogni punto della fenditura è una sorgente: è l'interferenza di infinite sorgenti. Diffrazione di Fraunhofer (schermo lontano) da una fenditura di larghezza a: I = Imax (sin α/α)² con α = π a sin θ/λ; minimi per a sin θ = mλ (m ≠ 0), massimo centrale largo il doppio degli altri, massimi secondari deboli (4,7%, 1,6%...). Con N fenditure di larghezza a e passo d l'intensità è la figura di interferenza di N sorgenti modulata dalla diffrazione della singola fenditura. Reticolo: massimi principali d sin θ = mλ, diversi per ogni colore; potere risolutivo λ/Δλ = mN.Diffrazione da una fenditura e reticolo →. Esercizi: Esercizio 62 · onda in un filo dielettrico riflessa da un cambio di materiale, Esercizio 63 · tre fenditure e primo massimo secondario, Esercizio 64 · venti fenditure in un blocco di vetro con un difetto, Esercizio 65 · cento fenditure parzialmente oscurate da un pannello.

N sorgenti equidistanti

Si hanno $N$ sorgenti puntiformi (o $N$ fenditure sottili parallele) coerenti, sincrone, della stessa intensità $I_0$ e allineate a distanza $d$ l'una dall'altra. Si osserva lontano ($L \gg Nd$) nella direzione $\theta$. Come per Young (approssimazione di parallasse), tra due sorgenti consecutive la differenza di cammino è $d\sin\theta$ e quindi la differenza di fase è

$$\delta = \frac{2\pi}{\lambda}\,d\sin\theta$$

Le $N$ onde arrivano con fasi $0, \delta, 2\delta, \ldots, (N - 1)\delta$.

Somma con i fasori. Ogni onda è un vettore (fasore) di lunghezza $E_0$; ognuno è ruotato di $\delta$ rispetto al precedente. Mettendoli in fila, testa con coda, si ottiene un pezzo di poligono regolare, inscritto in una circonferenza di raggio $R$. Ogni lato vede dal centro l'angolo $\delta$, quindi (corda di una circonferenza)

$$E_0 = 2R\sin\frac{\delta}{2}$$

Il campo risultante è il vettore che va dall'inizio del primo fasore alla fine dell'ultimo: una corda che vede dal centro l'angolo $N\delta$, lunga $E = 2R\sin\frac{N\delta}{2}$. Eliminando $R$ e passando alle intensità ($I \propto E^2$):

$$\boxed{I(\theta) = I_0\,\frac{\sin^2(N\delta/2)}{\sin^2(\delta/2)}, \qquad \frac{\delta}{2} = \frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}}$$

(Si arriva allo stesso risultato sommando la serie geometrica $\sum_{j=0}^{N-1}e^{ij\delta} = \frac{e^{iN\delta} - 1}{e^{i\delta} - 1}$; il prof chiede l'idea, non la dimostrazione.)

Controllo con $N = 2$: $\sin^2\delta = 4\sin^2\frac{\delta}{2}\cos^2\frac{\delta}{2}$, quindi $I = 4I_0\cos^2\frac{\delta}{2}$, la formula di Young.

Massimi principali, minimi e massimi secondari

Massimi principali. Quando $\delta = 2m\pi$ si annullano sia il numeratore sia il denominatore. Il limite di $\frac{\sin(Nx)}{\sin x}$ per $x \to m\pi$ vale $\pm N$ (al primo ordine $\sin(Nx) \approx N\,\Delta x$ e $\sin x \approx \Delta x$, a meno del segno), quindi

$$\boxed{d\sin\theta = m\lambda \quad\Longrightarrow\quad I = N^2 I_0}$$

È la stessa condizione dei massimi di Young: tutte le onde arrivano in fase, i campi si sommano ($NE_0$) e l'intensità va come $N^2$.

Minimi (zeri). Si annulla solo il numeratore: $\frac{N\delta}{2} = m'\pi$ con $m'$ intero non multiplo di $N$ (altrimenti si annulla anche il denominatore e si è su un massimo principale):

$$d\sin\theta = \frac{m'}{N}\,\lambda, \qquad m' = 1, 2, \ldots, N - 1,\ N + 1, \ldots$$

Tra due massimi principali consecutivi ci sono quindi $N - 1$ minimi. In questi punti i fasori chiudono un poligono completo e il campo totale è nullo.

Massimi secondari. Tra due minimi consecutivi c'è un massimo secondario: $N - 2$ tra due massimi principali. Stanno circa dove il numeratore vale 1, cioè

$$d\sin\theta \approx \frac{2m'' + 1}{2N}\,\lambda$$

(escludendo i valori subito accanto ai massimi principali), e sono deboli: il primo, accanto a un massimo principale, ha circa il 4,5–5% dell'intensità del principale per $N$ grande ($I \approx I_0/\sin^2\frac{3\pi}{2N} \approx 0{,}045\,N^2I_0$).

Larghezza dei massimi principali. Dal massimo principale di ordine $m$ al minimo adiacente $\sin\theta$ cambia di

$$\Delta(\sin\theta) = \frac{\lambda}{Nd}$$

Aumentando $N$ (a parità di $d$) i massimi principali restano nelle stesse posizioni, diventano più alti ($N^2$) e più stretti ($1/N$). L'energia totale, che va come altezza per larghezza, cresce come $N$, giustamente: ci sono $N$ sorgenti, e la media di $I$ su un periodo è $NI_0$.

Negli esercizi si usa spesso l'approssimazione di angoli piccoli: la posizione sullo schermo è $x = L\tan\theta \approx L\sin\theta$, quindi i massimi principali sono a $x_m = m\lambda L/d$ come in Young. Se alcune fenditure vengono oscurate, nei massimi principali $I = N_{\text{attive}}^2I_0$. Se le onde attraversano un mezzo, $\lambda$ è quella nel mezzo e l'intensità è $nE_0^2/2Z_0$.

Questo sistema, con $N$ molto grande, è il reticolo di diffrazione, vedi Diffrazione da una fenditura e reticoloLa diffrazione è l'allargarsi di un'onda oltre un'apertura o un ostacolo, evidente quando l'apertura è confrontabile con λ. Per Huygens ogni punto della fenditura è una sorgente: è l'interferenza di infinite sorgenti. Diffrazione di Fraunhofer (schermo lontano) da una fenditura di larghezza a: I = Imax (sin α/α)² con α = π a sin θ/λ; minimi per a sin θ = mλ (m ≠ 0), massimo centrale largo il doppio degli altri, massimi secondari deboli (4,7%, 1,6%...). Con N fenditure di larghezza a e passo d l'intensità è la figura di interferenza di N sorgenti modulata dalla diffrazione della singola fenditura. Reticolo: massimi principali d sin θ = mλ, diversi per ogni colore; potere risolutivo λ/Δλ = mN.Diffrazione da una fenditura e reticolo →.

Onde stazionarie

Sovrapposizione di due onde opposte. Due onde armoniche uguali che viaggiano in versi opposti:

$$y = A\sin(kx - \omega t) + A\sin(kx + \omega t)$$

Con $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$:

$$\boxed{y(x, t) = 2A\,\sin(kx)\,\cos(\omega t)}$$

Non è più della forma $f(x \mp vt)$: il profilo non si sposta. Ogni punto oscilla con la stessa frequenza, tutti in fase (o in opposizione), con un'ampiezza $2A|\sin kx|$ che dipende dalla posizione:

• nodi (sempre fermi) dove $\sin kx = 0$: $x = m\frac{\lambda}{2}$;
• ventri (ampiezza massima $2A$) dove $|\sin kx| = 1$: $x = (2m + 1)\frac{\lambda}{4}$.

Due nodi consecutivi distano $\lambda/2$. L'energia resta intrappolata tra i nodi: l'onda stazionaria non trasporta energia (le due onde ne portano quantità uguali in versi opposti).

Corda fissata agli estremi. Gli estremi devono essere nodi, quindi la lunghezza $\ell$ deve contenere un numero intero di mezze lunghezze d'onda: $\ell = m\lambda/2$, e le sole frequenze possibili sono $f_m = m\frac{v}{2\ell}$ (fondamentale e armoniche: è il principio degli strumenti a corda).

Onde elettromagnetiche stazionarie. Un'onda che incide normalmente su un conduttore perfetto (uno specchio metallico ideale) viene riflessa completamente. Dentro il conduttore il campo elettrico è nullo e la componente di $\vec E$ parallela alla superficie è continua, quindi sulla superficie $E = 0$: l'onda riflessa ha $r = -1$ (sfasamento di $\pi$) e la somma è un'onda stazionaria con un nodo di $\vec E$ sullo specchio:

$$E(x, t) = 2E_0\sin(kx)\cos(\omega t) \qquad (x = \text{distanza dallo specchio})$$

Il campo magnetico ha invece un ventre sullo specchio (è spostato di $\lambda/4$ nello spazio e di un quarto di periodo nel tempo), e il vettore di Poynting ha media nulla. Hertz misurò la lunghezza d'onda delle sue onde cercando i nodi davanti a una lastra metallica. Nel forno a microonde ($2{,}45\ \text{GHz}$, $\lambda = 12{,}2\ \text{cm}$) i nodi distano circa $6\ \text{cm}$: per questo il piatto gira.

Riflessione parziale. Se l'onda riflessa è più debole di quella incidente (riflessione su un dielettrico, $|r| < 1$), le due onde interferiscono come due sorgenti coerenti con intensità diverse: a distanza $x$ dalla superficie la differenza di fase è $2kx$ (andata e ritorno), più $\pi$ se la riflessione avviene su un mezzo più denso, e

$$I(x) = I_i + I_r + 2\sqrt{I_iI_r}\,\cos(2kx + \varphi), \qquad \varphi = 0 \text{ oppure } \pi$$

I minimi non sono più zeri: è un'onda parzialmente stazionaria. È il caso di Esercizio 62 · onda in un filo dielettrico riflessa da un cambio di materiale.

Errori comuni

• Usare per δ la differenza di fase tra la prima e l'ultima sorgente: nella formula $\delta$ è quella tra due sorgenti consecutive.
• Dimenticare che l'intensità del massimo principale è $N^2I_0$, non $NI_0$.
• Contare i massimi secondari: sono $N - 2$ tra due principali, non $N - 1$ (quelli sono i minimi).
• Prendere un massimo principale per un minimo: se $m'$ è multiplo di $N$, $d\sin\theta = m'\lambda/N$ è un massimo principale.
• Pensare che un'onda stazionaria viaggi: nodi e ventri sono fermi.