Esercizio 42circuito RL e lavoro del generatore

Testo (III appello, 20 giugno 2024, problema 2). Si consideri un circuito RL con resistenza $R = 30\ \Omega$, induttanza $L = 300\ \text{mH}$ e generatore di forza elettromotrice $V$. Il circuito viene chiuso al tempo $t_0 = 0$ e si osserva che nella situazione finale (dopo un tempo praticamente infinito) l'autoflusso del campo magnetico nella bobina è $\Phi = 0{,}6\ \text{Wb}$. Determinare:

1. il valore della forza elettromotrice $V$ del generatore nel circuito;
2. l'energia $U_d$ dissipata nella resistenza fra l'istante $t_0$ e l'istante $t_1 = 12\ \text{ms}$;
3. il lavoro $W_g$ fatto dal generatore di f.e.m. fra l'istante $t_0$ e l'istante $t_1$.

Teoria: Autoinduzione, circuiti RL ed energia magneticaLa corrente di un circuito produce un flusso concatenato con il circuito stesso, Φ = L i; L (induttanza, in henry) dipende solo dalla geometria: per un solenoide L = μ0 n² S ℓ. Se la corrente cambia nasce una f.e.m. autoindotta −L di/dt che si oppone alla variazione. In un circuito RL la corrente cresce come i = (ℰ/R)(1 − e^(−t/τ)) e si spegne come i0 e^(−t/τ), con τ = L/R. Un induttore percorso da corrente immagazzina l'energia ½ L i², distribuita nel campo con densità u = B²/2μ0.Autoinduzione, circuiti RL ed energia magnetica →.

1) F.e.m. del generatore

L'autoflussoΦ = L i: il flusso del campo prodotto dal circuito e concatenato con il circuito stesso è proporzionale alla corrente.Autoinduzione, circuiti RL ed energia magnetica → è proporzionale alla corrente, $\Phi = Li$. A regime la corrente non cambia, l'induttore si comporta come un filo e la corrente è fissata solo dalla resistenza, $i_0 = V/R$. Quindi

$$i_0 = \frac{\Phi}{L} = \frac{0{,}6}{0{,}3} = 2\ \text{A}, \qquad V = R\,i_0 = 30 \cdot 2 = 60\ \text{V}$$

2) Energia dissipata nella resistenza fino a $t_1$

La corrente. Alla chiusura di un circuito RL:

$$i(t) = i_0\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \qquad \tau = \frac{L}{R} = \frac{0{,}3}{30} = 10\ \text{ms}$$

$t_1 = 12\ \text{ms}$ è poco più di una costante di tempo: il transitorio è ancora in corso.

L'integrale. La potenza dissipata è $Ri^2$, da integrare:

$$U_d = \int_0^{t_1} R\,i_0^2\left(1 - e^{-t/\tau}\right)^2 dt = R\,i_0^2\int_0^{t_1}\left(1 - 2e^{-t/\tau} + e^{-2t/\tau}\right)dt$$

Si integrano i tre termini separatamente:

• $\int_0^{t_1} 1\,dt = t_1$;
• $\int_0^{t_1} 2e^{-t/\tau}\,dt = 2\tau\left(1 - e^{-t_1/\tau}\right)$;
• $\int_0^{t_1} e^{-2t/\tau}\,dt = \frac{\tau}{2}\left(1 - e^{-2t_1/\tau}\right)$.

$$U_d = R\,i_0^2\left[t_1 - 2\tau\left(1 - e^{-t_1/\tau}\right) + \frac{\tau}{2}\left(1 - e^{-2t_1/\tau}\right)\right]$$

Numeri. $e^{-t_1/\tau} = e^{-1{,}2} = 0{,}3012$ ed $e^{-2{,}4} = 0{,}0907$; $Ri_0^2 = 120\ \text{W}$:

$$U_d = 120 \cdot \left[0{,}012 - 0{,}02 \cdot 0{,}6988 + 0{,}005 \cdot 0{,}9093\right] = 120 \cdot \left[0{,}012 - 0{,}013976 + 0{,}004546\right] = 120 \cdot 2{,}570 \cdot 10^{-3} = 0{,}308\ \text{J}$$

3) Lavoro del generatore

Il bilancio. Dall'equazione del circuito moltiplicata per iV i = R i² + d(½ L i²)/dt: la potenza del generatore va in calore e in energia magnetica.Autoinduzione, circuiti RL ed energia magnetica → il lavoro del generatore si divide tra il calore nella resistenza e l'energia magnetica accumulata nell'induttore:

$$W_g = U_d + \frac12 L\,i(t_1)^2$$

Corrente a $t_1$: $i(t_1) = 2\,(1 - 0{,}3012) = 1{,}398\ \text{A}$. Energia magnetica: $\frac12 \cdot 0{,}3 \cdot 1{,}398^2 = 0{,}293\ \text{J}$.

$$W_g = 0{,}308 + 0{,}293 = 0{,}601\ \text{J}$$

Controllo diretto. Il lavoro del generatore è anche $\int_0^{t_1} V\,i\,dt$:

$$W_g = V\,i_0\left[t_1 - \tau\left(1 - e^{-t_1/\tau}\right)\right] = 60 \cdot 2 \cdot \left[0{,}012 - 0{,}01 \cdot 0{,}6988\right] = 120 \cdot 5{,}012 \cdot 10^{-3} = 0{,}601\ \text{J}\ ✓$$

A questo istante quasi metà del lavoro del generatore è ancora "immagazzinata" nell'induttore; a regime l'energia magnetica si ferma a $\frac12 Li_0^2 = 0{,}6\ \text{J}$, mentre il calore continua a crescere con la potenza costante $Ri_0^2 = 120\ \text{W}$.

Verifica numerica

import numpy as np
R, L, Phi, t1 = 30, 0.3, 0.6, 12e-3
i0 = Phi/L; V = R*i0; tau = L/R
Ud = R*i0**2*(t1 - 2*tau*(1 - np.exp(-t1/tau)) + tau/2*(1 - np.exp(-2*t1/tau)))
i1 = i0*(1 - np.exp(-t1/tau))
print(V, tau, Ud, i1, Ud + 0.5*L*i1**2)            # 60 V, 0.01 s, 0.308 J, 1.40 A, 0.601 J
print(V*i0*(t1 - tau*(1 - np.exp(-t1/tau))))       # 0.601 J

Risultati

Errori comuni

• Calcolare il calore con la corrente di regime: durante il transitorio la corrente è minore, bisogna integrare $Ri^2$.
• Sviluppare male il quadrato $(1 - e^{-t/\tau})^2$: il doppio prodotto è $-2e^{-t/\tau}$ e il quadrato $e^{-2t/\tau}$.
• Dimenticare l'energia magnetica nel lavoro del generatore.