Coefficienti di Fresnel e angolo di Brewster

Segue Principio di Huygens, riflessione e rifrazioneOgni punto di un fronte d'onda si comporta come sorgente di onde sferiche secondarie (Huygens). Quando un'onda incontra la superficie di separazione tra due mezzi nascono un'onda riflessa e una trasmessa; imponendo che le fasi coincidano sulla superficie si ottiene: frequenza invariata, raggi complanari, angolo di riflessione = angolo di incidenza, legge di Snell n1 sin θi = n2 sin θt. Passando a un mezzo meno denso (n1 > n2) oltre l'angolo limite sin θlim = n2/n1 c'è riflessione totale. Una lastra a facce parallele sposta il raggio senza deviarlo; la dipendenza di n da λ (dispersione) separa i colori nel prisma. Intensità in un mezzo: I = n E0²/(2Z0), con Z0 = 377 Ω.Principio di Huygens, riflessione e rifrazione →, che dà le direzioni delle onde riflessa e trasmessa. Qui si trova quanta luce va in ciascuna. Esercizi: Esercizio 51 · cubo di vetro pieno di gas attraversato da un laser, Esercizio 52 · lastra all'angolo di Brewster e luce riflessa analizzata con un polarizzatore, Esercizio 53 · fascio polarizzato a 30 gradi all'angolo di Brewster, Esercizio 54 · parete di vetro di un acquario all'angolo di Brewster, Esercizio 55 · due polarizzatori e trasmissione a 45 gradi.

Le due componenti σ e π

Il campo elettrico dell'onda incidente è perpendicolare alla direzione di propagazione, ma può avere qualsiasi orientazione in quel piano. Conviene scomporlo in due componenti rispetto al piano di incidenza (il piano che contiene il raggio e la normale alla superficie):

• componente σ (si trova anche come s, dal tedesco senkrecht, perpendicolare): $\vec E$ perpendicolare al piano di incidenza, cioè parallelo alla superficie;
• componente π (o p, parallela): $\vec E$ nel piano di incidenza.

Nel disegno con il piano di incidenza sul foglio, $\vec E_\sigma$ esce dal foglio e $\vec E_\pi$ sta sul foglio, perpendicolare al raggio. Le due componenti si riflettono in modo diverso, e ciascuna resta σ o π anche dopo la riflessione e la rifrazione: si trattano separatamente e alla fine si sommano le intensità.

I coefficienti di Fresnel

Per ciascuna componente si definiscono il coefficiente di riflessione e di trasmissione delle ampiezze:

$$r = \frac{E_{0r}}{E_{0i}}, \qquad t = \frac{E_{0t}}{E_{0i}}$$

Si ricavano imponendo sulla superficie le condizioni di raccordo dei campi $\vec E$ e $\vec B$ (il prof dà le formule senza dimostrazione). Con $\theta_t$ dato dalla legge di Snell:

$$\boxed{r_\sigma = -\frac{\sin(\theta_i - \theta_t)}{\sin(\theta_i + \theta_t)}, \qquad r_\pi = \frac{\tan(\theta_i - \theta_t)}{\tan(\theta_i + \theta_t)}}$$

$$t_\sigma = \frac{2\sin\theta_t\cos\theta_i}{\sin(\theta_i + \theta_t)}, \qquad t_\pi = \frac{2\sin\theta_t\cos\theta_i}{\sin(\theta_i + \theta_t)\cos(\theta_i - \theta_t)}$$

Le stesse formule si scrivono anche con gli indici, e in questa forma funzionano anche a incidenza normale (dove le precedenti diventano $0/0$):

$$r_\sigma = \frac{n_1\cos\theta_i - n_2\cos\theta_t}{n_1\cos\theta_i + n_2\cos\theta_t}, \qquad r_\pi = \frac{n_2\cos\theta_i - n_1\cos\theta_t}{n_2\cos\theta_i + n_1\cos\theta_t}$$

Il segno dipende dalla convenzione scelta per il verso dei campi riflessi (sui libri si trovano versioni con segni diversi); per le intensità conta solo $r^2$.

Incidenza normale. Con $\theta_i = \theta_t = 0$ σ e π non si distinguono più (non c'è un piano di incidenza) e

$$\boxed{r = \frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}, \qquad t = \frac{2n_1}{n_1 + n_2}}$$

Frazioni di potenza riflessa e trasmessa

Il coefficiente di riflessione $R$ e di trasmissione $T$ (in potenza; sui libri anche riflettanza e trasmittanza) sono le frazioni della potenza incidente che vengono riflesse e trasmesse.

• Riflessione. L'onda riflessa sta nello stesso mezzo e forma lo stesso angolo con la superficie: il fascio riflesso ha la stessa sezione di quello incidente e l'intensità è proporzionale a $E_0^2$ con lo stesso $n$. Quindi semplicemente

$$\boxed{R = r^2, \qquad R_\sigma = \frac{\sin^2(\theta_i - \theta_t)}{\sin^2(\theta_i + \theta_t)}, \qquad R_\pi = \frac{\tan^2(\theta_i - \theta_t)}{\tan^2(\theta_i + \theta_t)}}$$

• Trasmissione. L'energia si conserva (il mezzo è trasparente): quello che non è riflesso è trasmesso,

$$\boxed{T = 1 - R}$$

Attenzione: $T \neq t^2$, perché nel mezzo 2 cambiano sia il legame tra $I$ ed $E_0$ (c'è un fattore $n$) sia la sezione del fascio. Le formule esplicite sono $T_\sigma = \frac{\sin 2\theta_i\,\sin 2\theta_t}{\sin^2(\theta_i + \theta_t)}$ e $T_\pi = \frac{\sin 2\theta_i\,\sin 2\theta_t}{\sin^2(\theta_i + \theta_t)\cos^2(\theta_i - \theta_t)}$ (la soluzione del prof la scrive come $\frac{4\sin 2\theta_i\sin 2\theta_t}{(\sin 2\theta_i + \sin 2\theta_t)^2}$, che è la stessa cosa), ma è più comodo calcolare $R$ e fare $1 - R$.

Incidenza normale:

$$\boxed{R = \left(\frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}\right)^2, \qquad T = \frac{4n_1n_2}{(n_1 + n_2)^2}}$$

Aria-vetro ($n = 1{,}5$): $R = (0{,}5/2{,}5)^2 = 0{,}04$, cioè il 4% della luce viene riflesso a ogni superficie, il 96% passa. Aria-acqua: $R = (0{,}33/2{,}33)^2 = 2\%$. Una finestra ha due superfici: passa $0{,}96^2 = 92\%$ della luce. Il risultato non cambia scambiando $n_1$ e $n_2$: uscire dal vetro riflette quanto entrarci.

Luce naturale. È un miscuglio disordinato di tutte le polarizzazioni: in media metà della potenza è σ e metà è π, quindi

$$R_{\text{nat}} = \frac{R_\sigma + R_\pi}{2}$$

Potenza, intensità e sezione del fascio

$R$ e $T$ sono rapporti di potenze. Per passare alle intensità serve la sezione dei fasci. Se il fascio incidente illumina sulla superficie un'area $A$, le sezioni dei tre fasci (misurate perpendicolarmente a ciascuno) sono

$$S_i = A\cos\theta_i, \qquad S_r = A\cos\theta_i, \qquad S_t = A\cos\theta_t$$

(l'"ombra" dell'area $A$ vista lungo la direzione di ciascun fascio). Quindi:

$$I_r = R\,I_i, \qquad \boxed{I_t = T\,I_i\,\frac{\cos\theta_i}{\cos\theta_t}}$$

Se il raggio si avvicina alla normale ($\theta_t < \theta_i$, entrando in un mezzo più denso), $\cos\theta_t > \cos\theta_i$: il fascio trasmesso è più largo e l'intensità cala un po' più di quanto dica $T$. A incidenza normale il fattore vale $1$.

Esempio. Luce naturale dall'aria al vetro ($n = 1{,}5$) a $45°$: $\theta_t = 28{,}13°$, $R_\sigma = 0{,}0920$, $R_\pi = 0{,}0085$, $R_{\text{nat}} = 0{,}050$. Passa il 95% della potenza, e l'intensità trasmessa è $0{,}950 \cdot \frac{\cos 45°}{\cos 28{,}13°} = 0{,}762$ volte quella incidente.

(aria → vetro, $n = 1{,}5$). $R_\sigma$ cresce sempre con l'angolo; $R_\pi$ prima cala fino a zero, poi risale. A incidenza radente ($\theta_i \to 90°$) entrambi tendono a $1$: è per questo che un lago visto da lontano, quasi di taglio, riflette come uno specchio.

Sfasamento nella riflessione

A incidenza normale $r = \frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}$:

• se la luce si riflette su un mezzo più denso ($n_2 > n_1$), $r < 0$: il campo riflesso ha verso opposto a quello incidente, cioè l'onda riflessa è sfasata di $\pi$ (mezza lunghezza d'onda);
• se si riflette su un mezzo meno denso ($n_2 < n_1$), $r > 0$: nessuno sfasamento.

È come per un'onda su una corda: all'estremo fisso l'impulso torna capovolto, all'estremo libero torna dritto. Lo stesso vale per la componente σ a qualsiasi angolo ($r_\sigma < 0$ quando $\theta_t < \theta_i$). Lo sfasamento conta quando l'onda riflessa interferisce con un'altra onda (vedi Interferenza di due sorgenti ed esperimento di YoungDue onde coerenti (stessa frequenza, differenza di fase costante) con la stessa polarizzazione che si sovrappongono danno I = I1 + I2 + 2√(I1 I2) cos δ, con δ = k(r2 − r1) + sfasamento tra le sorgenti. Massimi (interferenza costruttiva) per δ = 2mπ, cioè r2 − r1 = mλ; minimi (distruttiva) per δ = (2m+1)π, cioè r2 − r1 = (m + ½)λ. Con intensità uguali I = 4I0 cos²(δ/2): massimi 4I0, minimi 0. Onde incoerenti o polarizzate perpendicolarmente non interferiscono: I = I1 + I2. Esperimento di Young (fenditure a distanza d, schermo a distanza L): massimi a d sin θ = mλ, frange equidistanti di passo Δx = λL/d. In un mezzo conta il cammino ottico n·r; una lamina di spessore s davanti a una fenditura sfasa di 2π(n−1)s/λ0.Interferenza di due sorgenti ed esperimento di Young → e Interferenza di N sorgenti e onde stazionarieN sorgenti coerenti, uguali ed equidistanti (passo d), come N fenditure sottili: tra due sorgenti vicine c'è la differenza di fase δ = 2π d sin θ/λ e l'intensità è I = I0 sin²(Nδ/2)/sin²(δ/2). Massimi principali per d sin θ = mλ, con intensità N²I0; minimi per d sin θ = m'λ/N (m' non multiplo di N): tra due massimi principali ci sono N − 1 minimi e N − 2 massimi secondari deboli. Più sorgenti = massimi più alti (N²) e più stretti (1/N). Due onde uguali che viaggiano in versi opposti formano un'onda stazionaria 2A sin(kx) cos(ωt): nodi fissi ogni λ/2, nessun trasporto di energia; davanti a uno specchio metallico E ha un nodo sullo specchio.Interferenza di N sorgenti e onde stazionarie →); se due fasci subiscono entrambi una riflessione dello stesso tipo, gli sfasamenti si compensano.

Angolo di Brewster e polarizzazione per riflessione

$R_\pi = \frac{\tan^2(\theta_i - \theta_t)}{\tan^2(\theta_i + \theta_t)}$ si annulla quando il denominatore diventa infinito, cioè quando

$$\theta_i + \theta_t = 90°$$

(raggio riflesso e raggio trasmesso perpendicolari tra loro). L'angolo di incidenza per cui succede si chiama angolo di Brewster $\theta_B$. Si ricava con Snell, usando $\theta_t = 90° - \theta_B$ e $\sin(90° - \theta_B) = \cos\theta_B$:

$$n_1\sin\theta_B = n_2\sin(90° - \theta_B) = n_2\cos\theta_B \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\tan\theta_B = \frac{n_2}{n_1}}$$

(altra domanda d'orale tipica). Aria-vetro ($n = 1{,}5$): $\theta_B = \arctan 1{,}5 = 56{,}3°$; aria-acqua: $53{,}1°$; acqua-vetro: $\arctan(1{,}5/1{,}33) = 48{,}4°$.

Conseguenza: la luce riflessa è polarizzata. All'angolo di Brewster la componente π passa tutta nel secondo mezzo: la luce riflessa contiene solo la componente σ, cioè è polarizzata linearmente, con $\vec E$ perpendicolare al piano di incidenza (parallelo alla superficie). Se la luce incidente è naturale, viene riflessa la frazione $\frac12 R_\sigma$ della potenza, con

$$R_\sigma(\theta_B) = \sin^2(\theta_B - \theta_t) = \sin^2(2\theta_B - 90°) = \cos^2(2\theta_B)$$

(il denominatore $\sin^2(\theta_B + \theta_t) = \sin^2 90° = 1$). Per il vetro $R_\sigma = \cos^2(112{,}6°) = 0{,}148$. Il fascio trasmesso invece è solo parzialmente polarizzato (ha tutto il π e l'85% del σ).

Perché la componente π sparisce. L'onda riflessa è emessa dagli elettroni del secondo mezzo, che oscillano come piccoli dipoli lungo il campo elettrico dell'onda trasmessa. Per la componente π questo campo sta nel piano di incidenza, perpendicolare al raggio trasmesso. Quando raggio trasmesso e riflesso sono perpendicolari, i dipoli oscillano proprio lungo la direzione in cui dovrebbe partire l'onda riflessa, e un dipolo non irraggia nella direzione del proprio asse.

Applicazioni. I riflessi del Sole sull'acqua, sull'asfalto bagnato o sui vetri sono in buona parte polarizzati orizzontalmente (σ, parallelo alla superficie). Gli occhiali da sole polarizzati e i filtri fotografici hanno l'asse di trasmissione verticale e li eliminano (vedi Polarizzatori e legge di MalusUn polarizzatore ideale lascia passare solo la componente del campo elettrico parallela al suo asse ottico (di trasmissione) e assorbe l'altra. Se la luce incidente è polarizzata linearmente e forma l'angolo θ con l'asse, esce E0 cos θ e l'intensità diventa I = I0 cos²θ (legge di Malus); la luce esce polarizzata lungo l'asse. La luce naturale perde sempre metà dell'intensità: I = I0/2. Due polarizzatori incrociati non lasciano passare nulla, ma inserendone un terzo a 45° in mezzo passa I0/8. Con una miscela di luce polarizzata e naturale: I = Inat/2 + Ipol cos²θ.Polarizzatori e legge di Malus →). Le "finestre di Brewster" dei laser, inclinate a $\theta_B$, lasciano passare senza perdite la luce polarizzata π.

Angolo di Brewster dall'interno. Passando dal vetro all'aria, $\tan\theta_B' = 1/1{,}5$, quindi $\theta_B' = 33{,}7° = 90° - \theta_B$: è proprio l'angolo di trasmissione del caso precedente.

Riflessione totale

Oltre l'angolo limite (solo da un mezzo più denso a uno meno denso, vedi Principio di Huygens, riflessione e rifrazioneOgni punto di un fronte d'onda si comporta come sorgente di onde sferiche secondarie (Huygens). Quando un'onda incontra la superficie di separazione tra due mezzi nascono un'onda riflessa e una trasmessa; imponendo che le fasi coincidano sulla superficie si ottiene: frequenza invariata, raggi complanari, angolo di riflessione = angolo di incidenza, legge di Snell n1 sin θi = n2 sin θt. Passando a un mezzo meno denso (n1 > n2) oltre l'angolo limite sin θlim = n2/n1 c'è riflessione totale. Una lastra a facce parallele sposta il raggio senza deviarlo; la dipendenza di n da λ (dispersione) separa i colori nel prisma. Intensità in un mezzo: I = n E0²/(2Z0), con Z0 = 377 Ω.Principio di Huygens, riflessione e rifrazione →) $R_\sigma = R_\pi = 1$ e $T = 0$, qualunque sia la polarizzazione.

Errori comuni

• Usare $T = t^2$: la potenza trasmessa è $1 - R$.
• Dimenticare il fattore $\frac12$ per la luce naturale: della luce naturale solo metà è σ e metà π.
• Usare la stessa intensità per il fascio trasmesso: la sezione cambia, $I_t = T I_i\cos\theta_i/\cos\theta_t$. Attenzione: in alcune soluzioni ufficiali (per esempio quella di Esercizio 54 · parete di vetro di un acquario all'angolo di Brewster) il rapporto dei coseni compare rovesciato; il fascio rifratto verso la normale si allarga, quindi l'intensità deve calare.
• Confondere σ e π: σ è perpendicolare al piano di incidenza; all'angolo di Brewster sparisce la π dal fascio riflesso, non la σ.
• Mettere $n_2/n_1$ al contrario in $\tan\theta_B$: al numeratore va l'indice del mezzo in cui la luce entra.