Esercizio 39bobina in un campo non uniforme e legge di Felici

Testo (I appello, 24 gennaio 2023, problema 2). Una bobina piatta, composta da $N = 50$ spire di area $A = 30\ \text{cm}^2$, si muove di moto traslatorio uniforme lungo il suo asse con velocità $\vec v = v\,\hat u_x$, con $v = 2\ \text{m/s}$, all'interno di una regione in cui c'è un campo magnetico non uniforme $\vec B = kx\,\hat u_x$ con $k = 0{,}1\ \text{T/m}$. Sapendo che, durante lo spostamento dall'origine $O$ al punto $P$ sull'asse $x$ di coordinata $d = 30\ \text{cm}$, circola nella bobina la carica $Q = 3\ \text{mC}$, determinare:

1. la resistenza $R$ della bobina;
2. la corrente indotta $i$ nella bobina durante lo spostamento;
3. l'energia $U_d$ dissipata per effetto Joule nello spostamento.

Teoria: Legge di Faraday-Neumann-LenzOgni volta che il flusso di B concatenato con un circuito cambia (perché cambia B, l'area o l'orientazione) nel circuito nasce una f.e.m. indotta ℰ = −dΦ/dt (legge di Faraday-Neumann); il segno meno (legge di Lenz) dice che la corrente indotta si oppone alla variazione. La carica che circola è q = ΔΦ/R (legge di Felici). Una sbarretta che scorre su rotaie dà ℰ = Bℓv ed è frenata da F = B²ℓ²v/R. Un campo B variabile produce un campo elettrico indotto non conservativo: ∮E·dl = −dΦ/dt, rot E = −∂B/∂t. Applicazioni: correnti di Foucault, alternatore.Legge di Faraday-Neumann-Lenz →.

Il flusso concatenato

L'asse della bobina è l'asse $x$, lo stesso del campo: le spire sono perpendicolari a $\vec B$ e il flusso è massimo. La bobina è piccola rispetto alla scala su cui cambia il campo, quindi su tutta l'area $A$ il campo vale quello nella posizione $x$ della bobina. Con $N$ spire:

$$\Phi(x) = N\,A\,B(x) = N\,A\,k\,x$$

Il flusso cresce perché la bobina si sposta verso zone di campo più intenso: anche se la bobina si muove senza deformarsi né ruotare, in un campo non uniforme il flusso cambia.

(Un campo $\vec B = kx\,\hat u_x$ da solo avrebbe divergenza $k \ne 0$, che non è possibile; in realtà il campo ha anche piccole componenti trasversali che lo rendono a divergenza nulla, ma non cambiano il flusso attraverso spire perpendicolari all'asse. Il testo le trascura.)

1) Resistenza dalla legge di Felici

La legge di Feliciq =|Φi − Φf|/R: la carica circolata dipende solo dai flussi iniziale e finale.Legge di Faraday-Neumann-Lenz → lega la carica circolata ai flussi iniziale ($x = 0$, flusso nullo) e finale ($x = d$):

$$Q = \frac{\Phi(d) - \Phi(0)}{R} = \frac{NAkd}{R} \quad\Longrightarrow\quad R = \frac{NAkd}{Q} = \frac{50 \cdot 3 \cdot 10^{-3} \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}3}{3 \cdot 10^{-3}} = 1{,}5\ \Omega$$

($NAkd = 4{,}5 \cdot 10^{-3}\ \text{Wb}$ è il flusso finale.)

2) Corrente indotta

La bobina si muove a velocità costante, $x = vt$, quindi il flusso cresce linearmente nel tempo e la f.e.m. è costante:

$$|\mathcal E_i| = \frac{d\Phi}{dt} = NAk\,\frac{dx}{dt} = NAkv = 50 \cdot 3 \cdot 10^{-3} \cdot 0{,}1 \cdot 2 = 0{,}03\ \text{V}$$

$$i = \frac{|\mathcal E_i|}{R} = \frac{0{,}03}{1{,}5} = 0{,}02\ \text{A} = 20\ \text{mA}$$

Per Lenz la corrente circola in modo da produrre un campo opposto a $\vec B$ dentro la bobina (il flusso sta aumentando).

Controllo: lo spostamento dura $d/v = 0{,}15\ \text{s}$, e $i \cdot 0{,}15\ \text{s} = 3\ \text{mC}$ ✓.

3) Energia dissipata

Potenza costante $P = Ri^2 = 1{,}5 \cdot (0{,}02)^2 = 6 \cdot 10^{-4}\ \text{W}$ per il tempo $d/v = 0{,}15\ \text{s}$:

$$U_d = R\,i^2\,\frac{d}{v} = 6 \cdot 10^{-4} \cdot 0{,}15 = 9 \cdot 10^{-5}\ \text{J}$$

Questa energia viene dal lavoro dell'agente che mantiene la bobina a velocità costante: la bobina con la corrente indotta è un dipolo magnetico opposto al campo, che in un campo crescente viene respinto verso le zone di campo debole (forza $\nabla(\vec m \cdot \vec B)$, vedi Forza magnetica su un conduttore e momento su una spiraSu un tratto di filo percorso da corrente agisce la forza dF = i dl × B (seconda legge elementare di Laplace); su un filo rettilineo in campo uniforme F = i l B sinθ. Nell'effetto Hall la forza sui portatori produce una tensione trasversale che misura B. Una spira in un campo uniforme non sente forza totale ma un momento M = m × B, con momento magnetico m = i S n; l'energia è U = −m·B. Su questo funzionano galvanometro e motore elettrico.Forza magnetica su un conduttore e momento su una spira →). Il momento magnetico è $m = NiA = 3 \cdot 10^{-3}\ \text{A m}^2$, la forza $mk = 3 \cdot 10^{-4}\ \text{N}$, e il lavoro su $0{,}3\ \text{m}$ è proprio $9 \cdot 10^{-5}\ \text{J}$. ✓

Verifica numerica

N, A, v, k, d, Q = 50, 30e-4, 2, 0.1, 0.3, 3e-3
R = k*d*N*A/Q; i = k*N*A*v/R
print(R, i, R*i**2*d/v)          # 1.5 Ω, 0.02 A, 9e-5 J
print(N*i*A*k*d)                 # lavoro della forza sul dipolo: 9e-5 J

Risultati

Errori comuni

• Dimenticare le $N$ spire nel flusso.
• Pensare che una traslazione non induca nulla: in un campo non uniforme il flusso cambia anche se la bobina non ruota né si deforma.
• Usare Felici per la corrente: Felici dà la carica totale; la corrente istantanea viene da $d\Phi/dt$.