Esercizio 59fori di Young in un mezzo con indice di rifrazione

Testo (I appello, 24 gennaio 2023, problema 3). In un dispositivo tipo fori di Young i fori $S_1$ ed $S_2$ sono separati dalla distanza $a$ ed emettono onde elettromagnetiche nel mezzo circostante di indice di rifrazione $n = 1{,}25$. Detto $\theta$ l'angolo della direzione di osservazione rispetto all'asse normale al segmento $S_1S_2$, risulta che, a grande distanza $L \gg a$, nella direzione $\theta_0 = 6{,}38°$ l'intensità è $I(\theta_0) = 0{,}25\,I(0)$, dove $I(0)$ è l'intensità del massimo di ordine $m = 0$. Se una sola sorgente è in funzione, l'ampiezza del campo magnetico nella direzione $\theta = 0$, alla distanza $L$ dalle sorgenti, è $B = 83{,}3\ \text{nT}$. Calcolare:

1. l'intensità del massimo di ordine $m = 0$, $I(0)$;
2. la differenza di fase $\delta$ fra le sorgenti all'angolo $\theta_0$;
3. le posizioni $y$ dei due minimi adiacenti alla direzione $\theta = 0$ su uno schermo posto alla distanza $L = 50\ \text{cm}$ dalle sorgenti, in approssimazione di piccolo angolo.

(Qui $a$ è la distanza tra i fori, che nelle note è chiamata $d$.)

Teoria: Interferenza di due sorgenti ed esperimento di YoungDue onde coerenti (stessa frequenza, differenza di fase costante) con la stessa polarizzazione che si sovrappongono danno I = I1 + I2 + 2√(I1 I2) cos δ, con δ = k(r2 − r1) + sfasamento tra le sorgenti. Massimi (interferenza costruttiva) per δ = 2mπ, cioè r2 − r1 = mλ; minimi (distruttiva) per δ = (2m+1)π, cioè r2 − r1 = (m + ½)λ. Con intensità uguali I = 4I0 cos²(δ/2): massimi 4I0, minimi 0. Onde incoerenti o polarizzate perpendicolarmente non interferiscono: I = I1 + I2. Esperimento di Young (fenditure a distanza d, schermo a distanza L): massimi a d sin θ = mλ, frange equidistanti di passo Δx = λL/d. In un mezzo conta il cammino ottico n·r; una lamina di spessore s davanti a una fenditura sfasa di 2π(n−1)s/λ0.Interferenza di due sorgenti ed esperimento di Young →.

1. Intensità del massimo centrale

Campo elettrico di una sorgente. In un mezzo l'onda viaggia a $v = c/n$ e i campi sono legati da $E = vB$:

$$E = \frac{c}{n}\,B = \frac{3 \cdot 10^8}{1{,}25} \cdot 83{,}3 \cdot 10^{-9} = 20{,}0\ \text{V/m}$$

Intensità di una sorgente. Nel mezzoI = n E0²/(2Z0) = ½ n c ε0 E0²: rispetto al vuoto c'è il fattore n.Principio di Huygens, riflessione e rifrazione →

$$I_0 = \frac12\,n\,c\,\varepsilon_0E^2 = \frac12 \cdot 1{,}25 \cdot 3 \cdot 10^8 \cdot 8{,}854 \cdot 10^{-12} \cdot 20^2 = 0{,}663\ \text{W/m}^2$$

Massimo centrale. In un dispositivo tipo Young le due sorgenti hanno la stessa intensità; nel massimo i campi si sommano in fase e l'intensità è quattro volteCon intensità uguali I = 4 I0 cos²(δ/2): 4I0 nei massimi, 0 nei minimi.Interferenza di due sorgenti ed esperimento di Young → quella di una sorgente:

$$I(0) = 4I_0 = 2{,}65\ \text{W/m}^2$$

2. Differenza di fase a $\theta_0$

Con intensità uguali $I(\theta) = 2I_0(1 + \cos\delta)$. Il dato $I(\theta_0) = 0{,}25\,I(0) = 0{,}25 \cdot 4I_0 = I_0$:

$$2I_0(1 + \cos\delta) = I_0 \quad\Longrightarrow\quad \cos\delta = -\frac12 \quad\Longrightarrow\quad \delta = \frac{2\pi}{3}\ \ (120°)$$

È la soluzione più piccola: siccome $\theta_0$ è un angolo piccolo e la fase cresce con continuità a partire da $0$ in $\theta = 0$, si prende il primo valore che dà $\cos\delta = -\frac12$ (anche la soluzione ufficiale fa questa scelta).

3. Posizione dei primi minimi

Rapporto tra distanza e lunghezza d'onda. Le onde viaggiano nel mezzo: la differenza di fase è $\delta = \frac{2\pi}{\lambda_0}\,n\,a\sin\theta$ (cammino ottico $n\,a\sin\theta$, con $\lambda_0$ nel vuoto). Da $\delta(\theta_0) = 2\pi/3$:

$$\frac{n\,a\sin\theta_0}{\lambda_0} = \frac13 \quad\Longrightarrow\quad \frac{n\,a}{\lambda_0} = \frac{1}{3\sin 6{,}38°} = \frac{1}{3 \cdot 0{,}1111} = 3{,}00$$

(La distanza tra i fori è tre lunghezze d'onda nel mezzo; nella soluzione del prof compare come $\lambda_0/a = 3n\sin\theta_0 = 0{,}4167$.)

Minimi. I primi minimi accanto al centro hanno $\delta = \pm\pi$:

$$\frac{2\pi}{\lambda_0}\,n\,a\sin\theta = \pi \quad\Longrightarrow\quad \sin\theta_{\min} = \frac{\lambda_0}{2na} = \frac{1}{2 \cdot 3{,}00} = 0{,}167$$

Si può vedere anche senza calcolare $na/\lambda_0$: la fase è proporzionale a $\sin\theta$, e passa da $2\pi/3$ a $\pi$ quando $\sin\theta$ cresce di un fattore $3/2$: $\sin\theta_{\min} = \frac32\sin\theta_0 = 0{,}167$.

Sullo schermo, per angoli piccoli ($\tan\theta \approx \sin\theta$):

$$y = \pm L\sin\theta_{\min} = \pm 0{,}5 \cdot 0{,}167 = \pm 8{,}3\ \text{cm}$$

(Senza approssimazione $\theta_{\min} = 9{,}6°$ e $y = L\tan\theta_{\min} = \pm 8{,}5\ \text{cm}$: l'angolo non è proprio piccolo.)

Attenzione alla soluzione ufficiale, che riporta $\pm 0{,}104\ \text{m}$: è $L\lambda_0/(2a)$, con il fattore $n$ dimenticato al denominatore. Il controllo con le proporzioni ($\sin\theta_{\min} = 1{,}5\sin\theta_0$) non dipende da come si scrive la lunghezza d'onda e conferma $8{,}3\ \text{cm}$.

Verifica numerica

import numpy as np
eps0, c, n, B, L = 8.854e-12, 2.998e8, 1.25, 83.3e-9, 0.5
E = c/n*B; I0 = 0.5*n*c*eps0*E**2
print(E, I0, 4*I0)                               # 20.0 V/m, 0.662, 2.65 W/m^2
th0 = np.radians(6.38); delta = 2*np.pi/3
na_su_lam = delta/(2*np.pi*np.sin(th0))
s_min = 1/(2*na_su_lam)
print(na_su_lam, s_min, L*s_min, L*np.tan(np.arcsin(s_min)))   # 3.00, 0.1667, 0.0833 m, 0.0845 m

Risultati

Errori comuni

• Usare $E = cB$ nel mezzo: nel mezzo $E = vB = cB/n$.
• Dimenticare il fattore $n$ nell'intensità o nella fase: nel mezzo $I = \frac12nc\varepsilon_0E^2$ e $\delta = 2\pi na\sin\theta/\lambda_0$.
• Prendere $I(0) = 2I_0$: nel massimo le ampiezze si sommano, l'intensità è $4I_0$.