Esercizio 31campo di due fili simmetrici e lavoro su un dipolo

Testo (IV appello, 10 luglio 2023, problema 2). Due conduttori rettilinei, paralleli e perpendicolari al foglio, percorsi da correnti di intensità $i_1$ e $i_2$, tagliano simmetricamente l'asse $y$ a distanza $+a$ e $-a$ dall'origine $O$, con $a = 0{,}40\ \text{m}$. Le due correnti producono nel punto $P$, sull'asse $x$ a distanza $R = 0{,}80\ \text{m}$ da ogni filo, il campo magnetico $\vec B_P = (1{,}5 \cdot 10^{-6}\ \text{T})\,\hat u_y$. Calcolare:

1. le intensità di corrente $i_1$, $i_2$ sui fili;
2. il campo magnetico $\vec B_A$ nel punto $A = (0, R + a)$;
3. il lavoro $W$ delle forze del campo per portare un dipolo magnetico di modulo $m = 0{,}3\ \text{A m}^2$, orientato sempre parallelo e concorde all'asse $y$, dal punto $A$ al punto $P$;
4. il campo magnetico nel punto $B = (0, a/2)$.

Teoria: Prima legge di Laplace e legge di Biot-SavartOgni tratto di filo percorso da corrente produce un campo dB = (μ0/4π) i dl × u_r / r² (prima legge elementare di Laplace). Integrando: filo rettilineo indefinito B = μ0 i/2πR (Biot-Savart), con linee di campo circolari; spira circolare al centro B = μ0 i/2R, sull'asse uguale al campo di un dipolo magnetico lontano. Due fili paralleli si attraggono se le correnti sono concordi, con forza per unità di lunghezza μ0 i1 i2/2πd.Prima legge di Laplace e legge di Biot-Savart →, Forza magnetica su un conduttore e momento su una spiraSu un tratto di filo percorso da corrente agisce la forza dF = i dl × B (seconda legge elementare di Laplace); su un filo rettilineo in campo uniforme F = i l B sinθ. Nell'effetto Hall la forza sui portatori produce una tensione trasversale che misura B. Una spira in un campo uniforme non sente forza totale ma un momento M = m × B, con momento magnetico m = i S n; l'energia è U = −m·B. Su questo funzionano galvanometro e motore elettrico.Forza magnetica su un conduttore e momento su una spira →.

Geometria

Filo 1 in $(0, a)$, filo 2 in $(0, -a)$. $P$ sta sull'asse $x$ a distanza $R$ da entrambi: $x_P = \sqrt{R^2 - a^2} = 0{,}693\ \text{m}$. L'angolo $\alpha$ tra la congiungente filo-$P$ e l'asse $y$ ha $\cos\alpha = a/R = 0{,}5$, cioè $\alpha = 60°$.

1) Le correnti

Simmetria. In $P$ ogni filo produce un campo di modulo $\frac{\mu_0 i}{2\pi R}$, perpendicolare alla propria congiungente con $P$. Scomponendo, le due componenti $x$ si cancellano solo se i due campi hanno lo stesso modulo e sono disposti simmetricamente: servono correnti uguali e concordi, $i_1 = i_2 = i$. (Con correnti opposte si cancellerebbero le componenti $y$ e il campo sarebbe lungo $x$.)

Verso. Per una corrente uscente dal foglio il campo gira in senso antiorario. Filo 1, in alto: il versore da filo a $P$ è $(0{,}866;\ -0{,}5)$ e il campo ha direzione $\hat u_z \times \hat u_r = (0{,}5;\ 0{,}866)$. Filo 2, in basso: $\hat u_r = (0{,}866;\ 0{,}5)$, campo lungo $(-0{,}5;\ 0{,}866)$. Le $x$ si cancellano e le $y$ si sommano verso $+y$, come nel testo: le correnti sono uscenti.

Modulo. Ogni campo contribuisce con $\frac{\mu_0 i}{2\pi R}\sin\alpha$ lungo $y$ ($\sin 60° = 0{,}866$):

$$B_P = 2\,\frac{\mu_0 i}{2\pi R}\sin\alpha \quad\Longrightarrow\quad i = \frac{\pi R\,B_P}{\mu_0\sin\alpha} = \frac{\pi \cdot 0{,}8 \cdot 1{,}5 \cdot 10^{-6}}{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 0{,}866} = 3{,}46\ \text{A}$$

2) Campo in $A = (0;\ 1{,}2)\ \text{m}$

$A$ sta sull'asse $y$ sopra entrambi i fili, a distanza $R = 0{,}8\ \text{m}$ dal filo 1 e $R + 2a = 1{,}6\ \text{m}$ dal filo 2. Per entrambi $\hat u_r = \hat u_y$ e il campo è lungo $\hat u_z \times \hat u_y = -\hat u_x$:

$$\vec B_A = -\frac{\mu_0 i}{2\pi}\left(\frac1R + \frac{1}{R + 2a}\right)\hat u_x = -2 \cdot 10^{-7} \cdot 3{,}46 \cdot (1{,}25 + 0{,}625)\,\hat u_x = -1{,}30 \cdot 10^{-6}\ \text{T}\ \hat u_x$$

3) Lavoro del campo sul dipolo da $A$ a $P$

Energia del dipolo (energia di un dipolo magneticoU = −m·B: il lavoro del campo da A a P è U(A) − U(P).Forza magnetica su un conduttore e momento su una spira →) con $\vec m = m\hat u_y$:

$$U_A = -\vec m \cdot \vec B_A = 0 \quad (\vec B_A \perp \vec m), \qquad U_P = -\vec m \cdot \vec B_P = -mB_P = -0{,}3 \cdot 1{,}5 \cdot 10^{-6} = -4{,}5 \cdot 10^{-7}\ \text{J}$$

Il lavoro del campo è meno la variazione di energia potenziale:

$$W = -(U_P - U_A) = U_A - U_P = +4{,}5 \cdot 10^{-7}\ \text{J}$$

Il lavoro è positivo: in $P$ il dipolo è concorde con il campo (energia minima), quindi il campo lo "porta" volentieri lì. La soluzione ufficiale scrive $W = -\Delta U = -(\vec m \cdot \vec B_P - \vec m \cdot \vec B_A)$ e trova $-4{,}5 \cdot 10^{-7}\ \text{J}$: il segno è invertito, perché $\Delta U = -\vec m \cdot \vec B_P + \vec m \cdot \vec B_A$ (manca il meno di $U = -\vec m \cdot \vec B$). Il modulo è corretto.

4) Campo in $B = (0;\ a/2) = (0;\ 0{,}2)\ \text{m}$

$B$ sta sull'asse $y$ tra i due fili, a distanza $a/2 = 0{,}2\ \text{m}$ dal filo 1 (che è sopra) e $3a/2 = 0{,}6\ \text{m}$ dal filo 2 (sotto).

• Filo 1: $\hat u_r = -\hat u_y$ (da filo a punto, verso il basso), campo lungo $\hat u_z \times (-\hat u_y) = +\hat u_x$.
• Filo 2: $\hat u_r = +\hat u_y$, campo lungo $-\hat u_x$.

I due campi sono opposti: tra due fili con correnti concordi i campi si sottraggono (a metà strada si annullerebbero). Prevale il filo più vicino:

$$\vec B_B = \frac{\mu_0 i}{2\pi}\left(\frac{1}{a/2} - \frac{1}{3a/2}\right)\hat u_x = \frac{\mu_0 i}{2\pi a}\cdot\frac43\,\hat u_x = \frac{2\mu_0 i}{3\pi a}\,\hat u_x = 2{,}31 \cdot 10^{-6}\ \text{T}\ \hat u_x$$

Verifica numerica

import numpy as np
mu0, a, R, BP, m = 4e-7*np.pi, 0.40, 0.80, 1.5e-6, 0.3
al = np.arccos(a/R)
i = np.pi*R*BP/(mu0*np.sin(al))
BA = mu0*i/(2*np.pi)*(1/R + 1/(R + 2*a))
print(i, BA, m*BP, 2*mu0*i/(3*np.pi*a))    # 3.46 A, 1.30e-6 T, 4.5e-7 J, 2.31e-6 T

Risultati

Errori comuni

• Sommare i moduli dei campi in $P$: si sommano solo le componenti $y$, quelle $x$ si cancellano.
• Dimenticare il segno meno di $U = -\vec m \cdot \vec B$ nel calcolo del lavoro.
• Sommare i campi tra i due fili: con correnti concordi lì sono opposti.