Esercizio 66reticolo illuminato con luce bianca e ordine mancante

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Testo (prova scritta del 12 giugno 2018, temi del Dipartimento di Fisica, problema 3). Un fascio di luce bianca, il cui spettro copre l'intervallo di lunghezze d'onda $390\ \text{nm} < \lambda < 780\ \text{nm}$ , incide normalmente su un reticolo di diffrazione che consiste di $N = 200$ fenditure. La luce diffratta a un angolo $\theta = \pi/6$ rispetto alla direzione del fascio incidente evidenzia dei massimi principali di intensità soltanto per le tre lunghezze d'onda $\lambda_1 = 400\ \text{nm}$ , $\lambda_2 = 466{,}7\ \text{nm}$ e $\lambda_3 = 700\ \text{nm}$ . Indicati con $m_1$ , $m_2$ e $m_3$ gli ordini (interi positivi) dei massimi corrispondenti alle tre lunghezze d'onda, e sapendo che in queste condizioni vale la relazione $m_2 = m_1 - 1$ , calcolare:

(a) i valori di $m_1$ , $m_2$ e $m_3$ ; (b) la distanza $a$ tra due fenditure successive del reticolo; (c) il minimo valore $b$ della larghezza delle fenditure compatibile con i dati del problema; (d) a partire da quale ordine $m_R$ questo reticolo separa il doppietto del sodio, composto dalle lunghezze d'onda $\lambda_a = 589\ \text{nm}$ e $\lambda_b = 589{,}6\ \text{nm}$ (per la separazione si usi il criterio di Rayleigh: un doppietto è separato a partire da quando il massimo principale corrispondente a una delle due lunghezze d'onda cade sul più vicino minimo corrispondente all'altra).

(Qui $a$ è il passo del reticolo, nelle note $d$ ; $b$ è la larghezza delle fenditure, nelle note $a$ .)

Teoria: Diffrazione da una fenditura e reticolo.

(a) Gli ordini

Condizione dei massimi principali del reticolo: $a\sin\theta = m\lambda$ . Nella stessa direzione $\theta$ , per tutte e tre le lunghezze d'onda $a\sin\theta$ è lo stesso numero, quindi

$m_1\lambda_1 = m_2\lambda_2 = m_3\lambda_3$

Uso di $m_2 = m_1 - 1$ .

$m_1\lambda_1 = (m_1 - 1)\lambda_2 \quad\Longrightarrow\quad m_1(\lambda_2 - \lambda_1) = \lambda_2 \quad\Longrightarrow\quad m_1 = \frac{\lambda_2}{\lambda_2 - \lambda_1} = \frac{466{,}7}{66{,}7} = 7$

Quindi $m_2 = 6$ e

$m_3 = \frac{m_2\lambda_2}{\lambda_3} = \frac{6 \cdot 466{,}7}{700} = 4$

Ha senso: la lunghezza d'onda più corta compare all'ordine più alto.

(b) Passo del reticolo

$a = \frac{m_1\lambda_1}{\sin\theta} = \frac{7 \cdot 400\ \text{nm}}{0{,}5} = 5{,}60\ \mu\text{m}$

(circa 179 righe per millimetro). Controllo: $6 \cdot 466{,}7/0{,}5 = 4 \cdot 700/0{,}5 = 5600\ \text{nm}$ .

(c) Larghezza minima delle fenditure

Chi manca. A $30°$ si ha $a\sin\theta = 2800\ \text{nm}$ ; le lunghezze d'onda che danno un massimo principale lì sono $2800/m$ :

$m$	3	4	5	6	7	8
$\lambda$ (nm)	933	700	560	467	400	350

Nell'intervallo visibile ( $390$ – $780\ \text{nm}$ ) cadono gli ordini 4, 5, 6, 7. Ma si osservano solo 4, 6, 7: l'ordine 5 ( $560\ \text{nm}$ , luce verde) manca.

Perché manca. Le fenditure hanno una larghezza $b$ , e ognuna produce la propria figura di diffrazione con minimi a $b\sin\theta = n\lambda$ . Un massimo principale sparisce se cade su un minimo di diffrazione (un ordine mancante):

$a\sin\theta = 5\lambda \quad\text{e}\quad b\sin\theta = n\lambda \quad\Longrightarrow\quad \frac{b}{a} = \frac{n}{5}$

Il valore più piccolo si ha con $n = 1$ :

$b_{\min} = \frac{a}{5} = 1{,}12\ \mu\text{m}$

Con $b = a/5$ mancano anche gli ordini 10, 15, ... (fuori dal visibile in questa direzione), mentre 4, 6, 7 non cadono su minimi di diffrazione, coerentemente con i dati.

(d) Separazione del doppietto del sodio

Criterio di Rayleigh. Il massimo principale di ordine $m$ per $\lambda_b$ deve cadere almeno sul primo minimo accanto al massimo di ordine $m$ per $\lambda_a$ . Il primo minimo dopo un massimo principale è a $\frac{N\delta}{2} = mN\pi + \pi$ , cioè a $a\sin\theta = \left(m + \frac1N\right)\lambda_a$ . La condizione è

$m\lambda_b \geq \left(m + \frac1N\right)\lambda_a \quad\Longrightarrow\quad m(\lambda_b - \lambda_a) \geq \frac{\lambda_a}{N} \quad\Longrightarrow\quad m \geq \frac{\lambda_a}{N(\lambda_b - \lambda_a)} = \frac{589}{200 \cdot 0{,}6} = 4{,}9$

È il potere risolutivo $\lambda/\Delta\lambda \leq mN$ con $\lambda/\Delta\lambda = 982$ e $N = 200$ .

L'ordine 5 manca. Il primo intero che soddisfa la condizione sarebbe $m = 5$ , ma l'ordine 5 è soppresso dalla diffrazione (la condizione $b/a = 1/5$ non dipende dalla lunghezza d'onda). Quindi il doppietto si vede separato a partire da

$m_R = 6 \qquad (\sin\theta = 6 \cdot 589/5600 = 0{,}63)$

Verifica numerica

python

import numpy as np
l1, l2, l3, th, N = 400e-9, 466.7e-9, 700e-9, np.pi/6, 200
m1 = round(l2/(l2 - l1)); m2 = m1 - 1; m3 = round(m2*l2/l3)
a = m1*l1/np.sin(th)
print(m1, m2, m3, a)                             # 7 6 4, 5.6e-6 m
print([round(a*np.sin(th)/m*1e9) for m in range(3, 9)])   # 933 700 560 467 400 350
print(a/5)                                       # 1.12e-6 m
la, lb = 589e-9, 589.6e-9
print(la/(N*(lb - la)), 6*la/a)                  # 4.9, 0.63

Risultati

grandezza	valore
ordini $m_1$ , $m_2$ , $m_3$	$7$ , $6$ , $4$
passo del reticolo	$5{,}60\ \mu\text{m}$
ordine mancante	$m = 5$ ( $560\ \text{nm}$ )
larghezza minima delle fenditure	$1{,}12\ \mu\text{m}$
ordine minimo per il doppietto del sodio	$m_R = 6$

Errori comuni

Non accorgersi dell'ordine mancante: il dato "soltanto tre lunghezze d'onda" serve proprio a trovare $b$ .
Prendere $m_R = 5$ : quell'ordine non esiste per questo reticolo.
Confondere passo e larghezza: i massimi principali dipendono dal passo, i minimi di diffrazione dalla larghezza.

Teoria collegata

Diffrazione da una fenditura e reticolo