Esercizio 40bobina in un solenoide che si fonde

In questa pagina 7

Testo (III appello, 23 giugno 2021, problema 2). Una bobina, composta da $N = 30$ spire piane di superficie $A = 10\ \text{cm}^2$ e resistenza totale $R = 8\ \text{m}\Omega$ , è collocata coassialmente all'interno di un solenoide indefinito con $n = 200$ spire/cm percorso dalla corrente $i_0 = 2\ \text{mA}$ . All'istante $t_0 = 0$ la corrente nel solenoide inizia a variare esponenzialmente con legge $i = i_0\,e^{at}$ con $a = 0{,}5\ \text{s}^{-1}$ . Sapendo che la massima potenza che la bobina può assorbire senza fondersi è $P_{\max} = 0{,}25\ \text{W}$ , determinare:

a) in quale istante $t_1$ inizia la fusione; b) la temperatura $T_1$ di fusione, sapendo che la temperatura iniziale è $T_0 = 20\ °\text{C}$ , che la capacità termica della bobina è $C = 2{,}5 \cdot 10^{-4}\ \text{J/K}$ , e supponendola termicamente isolata dall'ambiente; c) la quantità di carica $q_1$ circolata nella bobina nell'intervallo di tempo $[t_0, t_1]$ .

Teoria: Legge di Faraday-Neumann-Lenz, Legge di Gauss per il magnetismo e teorema di Ampère (campo del solenoide), Corrente elettrica e legge di Ohm (effetto Joule).

Flusso e f.e.m. nella bobina

Il campo dentro il solenoide è uniforme, $B = \mu_0 n i$ , parallelo all'asse. La bobina è coassiale, quindi il flusso attraverso ognuna delle $N$ spire è $BA$ :

$\Phi(t) = N A\,\mu_0 n\,i(t) = \mu_0 n N A\,i_0\,e^{at}$

Attenzione alle unità: $n = 200$ spire/cm $= 2 \cdot 10^4$ spire/m. Il campo iniziale è piccolo, $\mu_0 n i_0 = 5{,}03 \cdot 10^{-5}\ \text{T}$ , ma cresce esponenzialmente.

La f.e.m. indotta (in modulo):

$\mathcal E_i(t) = \frac{d\Phi}{dt} = \mu_0 n N A\,i_0\,a\,e^{at}$

Anche la f.e.m. cresce esponenzialmente, con la stessa legge della corrente nel solenoide (la derivata di un esponenziale è proporzionale all'esponenziale stesso).

a) Istante in cui inizia la fusione

La potenza dissipata nella bobina è

$P(t) = \frac{\mathcal E_i^2}{R} = \underbrace{\frac{(\mu_0 n N A\,i_0\,a)^2}{R}}_{b}\,e^{2at}$

dove conviene dare un nome alla costante:

$b = \frac{(4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 2 \cdot 10^4 \cdot 30 \cdot 10^{-3} \cdot 2 \cdot 10^{-3} \cdot 0{,}5)^2}{8 \cdot 10^{-3}} = \frac{(7{,}54 \cdot 10^{-7}\ \text{V})^2}{8 \cdot 10^{-3}\ \Omega} = 7{,}11 \cdot 10^{-11}\ \text{W}$

( $7{,}54 \cdot 10^{-7}\ \text{V}$ è la f.e.m. all'istante iniziale.) La fusione inizia quando $P(t_1) = P_{\max}$ :

$b\,e^{2at_1} = P_{\max} \quad\Longrightarrow\quad t_1 = \frac{1}{2a}\ln\frac{P_{\max}}{b} = \frac{1}{1}\ln\frac{0{,}25}{7{,}11 \cdot 10^{-11}} = \ln(3{,}52 \cdot 10^9) = 22{,}0\ \text{s}$

La potenza parte da un valore minuscolo, ma un esponenziale con costante di tempo di $1\ \text{s}$ (quella della potenza, $1/2a$ ) la moltiplica per $3{,}5$ miliardi in soli $22\ \text{s}$ .

b) Temperatura di fusione

Energia dissipata tra $0$ e $t_1$ :

$W = \int_0^{t_1} b\,e^{2at}\,dt = \frac{b}{2a}\left(e^{2at_1} - 1\right) \approx \frac{b\,e^{2at_1}}{2a} = \frac{P_{\max}}{2a} = \frac{0{,}25}{1} = 0{,}25\ \text{J}$

(il $-1$ è trascurabile rispetto a $e^{2at_1} = 3{,}5 \cdot 10^9$ .) Si noti la scorciatoia: l'energia è la potenza finale per la costante di tempo $1/2a$ .

Riscaldamento. La bobina è isolata: tutto il calore Joule ne alza la temperatura, $W = C\,(T_1 - T_0)$ :

$T_1 = T_0 + \frac{W}{C} = 293\ \text{K} + \frac{0{,}25}{2{,}5 \cdot 10^{-4}}\ \text{K} = 293 + 1000 = 1293\ \text{K} = 1020\ °\text{C}$

Un valore plausibile per la temperatura di fusione di una lega metallica (il rame fonde a $1085\ °\text{C}$ ).

(La soluzione ufficiale scrive $W = 0{,}025\ \text{J}$ , ma poi usa $0{,}25\ \text{J}$ per trovare $T_1 = 1293\ \text{K}$ : lo $0{,}025$ è un refuso.)

c) Carica circolata

Con la legge di Felici:

$q_1 = \frac{\Phi(t_1) - \Phi(0)}{R} = \frac{\mu_0 n N A\,i_0}{R}\left(e^{at_1} - 1\right)$

con $\mu_0 n N A\,i_0 = 1{,}51 \cdot 10^{-6}\ \text{Wb}$ (flusso iniziale) ed $e^{at_1} = e^{11{,}0} = 5{,}93 \cdot 10^4$ :

$q_1 = \frac{1{,}51 \cdot 10^{-6} \cdot 5{,}93 \cdot 10^4}{8 \cdot 10^{-3}} = 11{,}2\ \text{C}$

Lo stesso risultato si ottiene integrando $i = \mathcal E_i/R$ nel tempo. Nel frattempo la corrente nel solenoide è passata da $2\ \text{mA}$ a $i_0 e^{at_1} = 119\ \text{A}$ (e il suo campo a $3\ \text{T}$ ): è questo aumento enorme a fondere la bobina.

Verifica numerica

python

import numpy as np
mu0 = 4e-7*np.pi
N, A, R, n, i0, a, Pm, C, T0 = 30, 10e-4, 8e-3, 2e4, 2e-3, 0.5, 0.25, 2.5e-4, 293.15
b = (mu0*n*N*A*i0*a)**2/R
t1 = np.log(Pm/b)/(2*a)
W = b/(2*a)*(np.exp(2*a*t1) - 1)
print(b, t1, W, T0 + W/C)                          # 7.11e-11 W, 22.0 s, 0.25 J, 1293 K
print(mu0*n*N*A*i0*(np.exp(a*t1) - 1)/R)          # 11.2 C
print(i0*np.exp(a*t1), mu0*n*i0*np.exp(a*t1))      # 119 A, 3.0 T

Risultati

grandezza	valore
f.e.m. iniziale	$7{,}54 \cdot 10^{-7}\ \text{V}$
costante $b$	$7{,}11 \cdot 10^{-11}\ \text{W}$
istante di fusione	$t_1 = 22{,}0\ \text{s}$
energia dissipata	$0{,}25\ \text{J}$
temperatura di fusione	$1293\ \text{K} = 1020\ °\text{C}$
carica circolata	$11{,}2\ \text{C}$

Errori comuni

Non convertire le spire/cm in spire/m: l'errore è un fattore $100$ sul campo e $10^4$ sulla potenza.
Usare la potenza massima per tutto l'intervallo: la potenza cresce esponenzialmente, l'energia va integrata.
Dimenticare che la f.e.m. dipende dalla derivata della corrente, non dalla corrente: qui coincidono a meno del fattore $a$ solo perché la legge è esponenziale.