Mutua induzione

Segue Autoinduzione, circuiti RL ed energia magneticaLa corrente di un circuito produce un flusso concatenato con il circuito stesso, Φ = L i; L (induttanza, in henry) dipende solo dalla geometria: per un solenoide L = μ0 n² S ℓ. Se la corrente cambia nasce una f.e.m. autoindotta −L di/dt che si oppone alla variazione. In un circuito RL la corrente cresce come i = (ℰ/R)(1 − e^(−t/τ)) e si spegne come i0 e^(−t/τ), con τ = L/R. Un induttore percorso da corrente immagazzina l'energia ½ L i², distribuita nel campo con densità u = B²/2μ0.Autoinduzione, circuiti RL ed energia magnetica →. Seguito: Corrente di spostamento ed equazioni di MaxwellLa legge di Ampère non vale per correnti non stazionarie (condensatore in carica). Maxwell aggiunse la corrente di spostamento i_s = ε0 dΦ(E)/dt, che tra le armature di un condensatore è uguale alla corrente di conduzione nei fili: legge di Ampère-Maxwell ∮B·ds = μ0(i + ε0 dΦ(E)/dt), rot B = μ0 J + μ0ε0 ∂E/∂t. Con Gauss elettrica, Gauss magnetica e Faraday formano le quattro equazioni di Maxwell. Nel vuoto senza sorgenti E e B soddisfano l'equazione delle onde, con velocità c = 1/√(ε0μ0) = 3·10⁸ m/s: la luce è un'onda elettromagnetica, con E ⊥ B ⊥ direzione di propagazione ed E = cB.Corrente di spostamento ed equazioni di Maxwell →. Esercizi: Esercizio 44 · mutua induzione con una bobina che ruota nel solenoide, Esercizio 45 · solenoide in corrente alternata e bobina inclinata.

Il coefficiente di mutua induzione

Due circuiti, 1 e 2, uno vicino all'altro. La corrente $i_1$ nel primo produce un campo $\vec B_1$, proporzionale a $i_1$, e una parte delle sue linee attraversa il secondo circuito. Il flusso di $\vec B_1$ concatenato con il circuito 2 è quindi proporzionale a $i_1$:

$$\boxed{\Phi_{21} = M_{21}\,i_1}$$

$M_{21}$ è il coefficiente di mutua induzione (o mutua induttanza): come l'induttanzaΦ = L i: flusso del campo di un circuito concatenato con il circuito stesso; dipende solo dalla geometria.Autoinduzione, circuiti RL ed energia magnetica →, dipende solo dalla geometria dei due circuiti e dalla loro posizione reciproca, e si misura in henry.

Simmetria. Si dimostra (formula di Neumann) che il flusso prodotto da 1 su 2, per unità di corrente, è uguale a quello prodotto da 2 su 1:

$$M_{12} = M_{21} = M$$

È un risultato per niente ovvio (i due circuiti possono essere diversissimi, una piccola spira e un grande solenoide), ma molto comodo: si può calcolare $M$ nel verso in cui è più facile. Per esempio, per una piccola bobina dentro un solenoide, il campo del solenoide sulla bobina è uniforme e facile da calcolare, mentre il campo della bobina attraverso le spire del solenoide sarebbe complicatissimo.

La f.e.m. indotta. Se $i_1$ cambia, cambia $\Phi_{21}$ e nel circuito 2 si induce

$$\boxed{\mathcal E_2 = -M\,\frac{di_1}{dt}}$$

e viceversa $\mathcal E_1 = -M\,di_2/dt$. Ognuno dei due circuiti, se la sua corrente cambia, risente anche della propria autoinduzione: in totale $\mathcal E_1 = -L_1\frac{di_1}{dt} - M\frac{di_2}{dt}$.

Segno di $M$. Dipende dai versi scelti come positivi per le correnti dei due circuiti: $M > 0$ se il flusso prodotto da una corrente positiva nel circuito 1 attraversa il circuito 2 nel verso della sua normale positiva. Se si ruota uno dei due circuiti di $180°$, $M$ cambia segno.

Bobina dentro un solenoide

Un solenoide indefinito (o molto lungo) con $n$ spire per metro, corrente $i$; dentro, una bobina di $N$ spire di area $A$, la cui normale forma l'angolo $\theta$ con l'asse del solenoide.

Il campo del solenoide è uniforme, $B = \mu_0 n i$, e il flusso concatenato con la bobina è $N\,B\,A\cos\theta$:

$$\boxed{M = \mu_0\,n\,N\,A\cos\theta}$$

Conta l'area della bobina (dove passa il flusso), non quella del solenoide. Se la bobina è più grande del solenoide e lo circonda, conta invece la sezione del solenoide, perché fuori dal solenoide il campo è nullo.

Esempio. $n = 2000$ spire/m, bobina di $N = 50$ spire con $A = 2\ \text{cm}^2$, coassiale ($\theta = 0$): $M = 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 2000 \cdot 50 \cdot 2 \cdot 10^{-4} = 2{,}5 \cdot 10^{-5}\ \text{H}$. Se la corrente nel solenoide cresce di $100\ \text{A/s}$, nella bobina si inducono $2{,}5\ \text{mV}$.

Due solenoidi coassiali lunghi $\ell$, uno dentro l'altro, con $N_1$ e $N_2$ spire e la stessa sezione $S$: $M = \mu_0\frac{N_1N_2}{\ell}S$. Confrontando con $L_1 = \mu_0\frac{N_1^2}{\ell}S$ e $L_2 = \mu_0\frac{N_2^2}{\ell}S$ si trova $M = \sqrt{L_1L_2}$. Questo è il massimo possibile: in generale $|M| \le \sqrt{L_1L_2}$, con l'uguaglianza solo se tutte le linee del campo di un circuito attraversano anche l'altro (accoppiamento perfetto).

Energia di due circuiti accoppiati

Si portano le correnti a $i_1$ e $i_2$ in due tempi.

1. Prima si porta $i_1$ da $0$ al valore finale, con $i_2 = 0$: il generatore 1 fa il lavoro $\frac12 L_1 i_1^2$.
2. Poi si porta $i_2$ da $0$ al suo valore. Il generatore 2 fa il lavoro $\frac12 L_2 i_2^2$; ma ora nel circuito 1 si induce $-M\,di_2/dt$, e per tenere $i_1$ costante il generatore 1 deve fare in più il lavoro $\int M\,i_1\,di_2 = M i_1 i_2$.

$$\boxed{U = \frac12 L_1 i_1^2 + \frac12 L_2 i_2^2 + M\,i_1\,i_2}$$

Il termine misto è l'energia di interazione: positivo se i campi dei due circuiti si rinforzano, negativo se si oppongono.

Il trasformatore

Due bobine avvolte sullo stesso nucleo di ferro chiuso: il primario con $N_1$ spire, collegato a una tensione alternata $V_1$, e il secondario con $N_2$ spire. Il ferro, con la sua $\mu_r$ grandissima, convoglia quasi tutto il flusso: le linee restano nel nucleoIn un materiale con μr molto grande le linee di B restano intrappolate nel materiale e lo seguono.Magnetizzazione e campo H →, e il flusso $\Phi$ attraverso ogni spira è lo stesso per le due bobine.

• Nel primario (resistenza trascurabile) la tensione applicata bilancia la f.e.m. autoindotta: $V_1 = N_1\,\frac{d\Phi}{dt}$;
• nel secondario si induce $V_2 = N_2\,\frac{d\Phi}{dt}$.

Dividendo:

$$\boxed{\frac{V_2}{V_1} = \frac{N_2}{N_1}}$$

Con più spire nel secondario la tensione si alza, con meno si abbassa. In un trasformatore ideale la potenza si conserva, $V_1 i_1 = V_2 i_2$, quindi le correnti stanno nel rapporto inverso: $\frac{i_2}{i_1} = \frac{N_1}{N_2}$.

Perché serve. La potenza dissipata nelle linee elettriche è $R_{\text{linea}}\,i^2$: trasportando la stessa potenza a tensione $100$ volte più alta, la corrente è $100$ volte più piccola e le perdite $10\,000$ volte minori. Per questo l'energia viaggia a centinaia di kilovolt e viene abbassata a $230\ \text{V}$ vicino alle case. Il trasformatore funziona solo in corrente alternata: con una corrente costante il flusso non cambia e nel secondario non si induce nulla.

Le perdite reali di un trasformatore vengono dalla resistenza degli avvolgimenti, dalle correnti di FoucaultCorrenti indotte che circolano in anelli dentro un conduttore massiccio: frenano e scaldano; si riducono con nuclei a lamierini.Legge di Faraday-Neumann-Lenz → nel nucleo (ridotte dai lamierini) e dall'isteresi del ferro (ridotta usando ferro dolce, con un ciclo stretto: vedi Diamagnetismo, paramagnetismo e ferromagnetismoI materiali "amagnetici" hanno suscettività piccolissima: diamagnetici χm ≈ −10⁻⁵ (tutti gli atomi, momenti indotti opposti al campo, respinti dai magneti), paramagnetici χm ≈ +10⁻⁵ (momenti permanenti allineati poco dall'agitazione termica, legge di Curie χm = C/T). I ferromagnetici (Fe, Ni, Co) hanno χm da 10² a 10⁵, non costante: sono divisi in domini di Weiss già magnetizzati, presentano isteresi (campo residuo, campo coercitivo) e sopra la temperatura di Curie diventano paramagnetici.Diamagnetismo, paramagnetismo e ferromagnetismo →).

Errori comuni

• Usare l'area del solenoide invece di quella della bobina interna nel calcolo di $M$.
• Dimenticare il $\cos\theta$ quando la bobina è inclinata, o il segno quando è capovolta.
• Dimenticare il termine misto nell'energia di due circuiti.
• Applicare il rapporto di trasformazione in corrente continua: un trasformatore in continua non trasforma nulla.