Corrente di spostamento ed equazioni di Maxwell

Lezioni del 10.11 (corrente di spostamento, sezione 5.10) e del 15.12 (sezioni 8.9, 10.1 e 10.3, queste ultime solo come cenni). Prerequisiti: Legge di Ampère e circuitazione del campo magneticoLegge di Ampère: la circuitazione di B lungo una curva chiusa qualsiasi è μ0 per la somma (con segno) delle correnti concatenate, ∮B·ds = μ0 Σi; con il teorema di Stokes diventa rot B = μ0 J. B quindi non è conservativo. Con curve simmetriche dà subito: filo B = μ0 i/(2πr); cilindro pieno B = μ0 i r/(2πR²) dentro; solenoide indefinito B = μ0 n i dentro e 0 fuori; toroide B = μ0 N i/(2πr). Con la legge di Gauss magnetica forma le equazioni di Maxwell per i campi statici; per correnti non stazionarie va corretta con la corrente di spostamento.Legge di Ampère e circuitazione del campo magnetico →, Legge di Faraday-Neumann-Lenz e fem indottaQuando il flusso di B concatenato con un circuito cambia nel tempo, nel circuito compare la fem indotta ℰ = −dΦ/dt (legge di Faraday-Neumann); il segno meno (legge di Lenz) dice che la corrente indotta si oppone alla variazione di flusso. Il flusso può cambiare perché cambia B, l'area, l'orientazione o la posizione del circuito. Sbarretta su rotaie: ℰ = Bℓv, forza frenante B²ℓ²v/R, potenza meccanica uguale a quella dissipata; lasciata libera rallenta come v₀e^(−t/τ) con τ = mR/(B²ℓ²). Legge di Felici: la carica che circola è q = ΔΦ/R. In forma generale ∮E·ds = −dΦ/dt, cioè rot E = −∂B/∂t: il campo elettrico indotto non è conservativo.Legge di Faraday-Neumann-Lenz e fem indotta →, Divergenza, rotore ed equazioni di Maxwell per l'elettrostaticaCon l'operatore nabla ∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) si definiscono divergenza ∇·E (quanto campo "nasce" in un punto) e rotore ∇×E (quanto campo "gira"). Teoremi della divergenza e di Stokes trasformano le leggi integrali in leggi locali: le equazioni dell'elettrostatica sono ∮E·n dS = Q/ε₀ ⇔ ∇·E = ρ/ε₀ e ∮E·ds = 0 ⇔ ∇×E = 0; da E = −∇V segue l'equazione di Poisson ∇²V = −ρ/ε₀.Divergenza, rotore ed equazioni di Maxwell per l'elettrostatica →, Carica e scarica di un condensatore (circuito RC)In un circuito RC la carica non cambia istantaneamente: in carica q(t) = Cℰ(1 − e^(−t/τ)), i(t) = (ℰ/R)e^(−t/τ); in scarica q(t) = q₀e^(−t/τ), con costante di tempo τ = RC (dopo circa 5τ il transitorio è finito). Durante la carica il generatore fornisce Cℰ², metà va nel condensatore e metà è dissipata nella resistenza; in scarica tutta l'energia ½q₀²/C si dissipa, con legge e^(−2t/τ).Carica e scarica di un condensatore (circuito RC) →. Domande di teoria negli appelli 24.06.2025, 02.09.2025, 16.09.2025, 18.02.2026 e 26.06.2026.

Il problema: la legge di Ampère con correnti variabili

Un condensatore piano si sta caricando: nei fili scorre la corrente $i(t)$, tra le armature non passa nessuna carica. Si prende una curva $C$ che gira attorno al filo e due superfici con bordo $C$:

• $\Sigma_1$, un disco piatto attraversato dal filo: corrente concatenata $i$, quindi $\oint_C\vec B\cdot d\vec s = \mu_0 i$;
• $\Sigma_2$, una superficie a "sacchetto" che passa tra le armature: nessuna corrente la attraversa, quindi $\oint_C\vec B\cdot d\vec s = 0$.

La circuitazione lungo la stessa curva non può avere due valori: la legge di Ampère, così com'è, è contraddittoria quando le correnti non sono stazionarie. Lo stesso problema in forma locale: da $\nabla\times\vec B = \mu_0\vec J$ segue $\nabla\cdot\vec J = 0$, mentre l'equazione di continuitàdiv J + ∂ρ/∂t = 0: espressione locale della conservazione della carica.Corrente elettrica, densità di corrente ed equazione di continuità → richiede $\nabla\cdot\vec J = -\frac{\partial\rho}{\partial t}$, che sulle armature non è zero.

La corrente di spostamento

Cosa cambia tra le armature

Tra le armature non c'è corrente, ma c'è un campo elettrico che cresce. Con carica $q$ sulle armature di area $\Sigma$: $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{q}{\varepsilon_0\Sigma}$, e il flusso di $\vec E$ attraverso una superficie tra le armature (parallela a esse) è

$$\Phi(\vec E) = E\Sigma = \frac{q}{\varepsilon_0}.$$

Derivando nel tempo:

$$\varepsilon_0\frac{d\Phi(\vec E)}{dt} = \frac{dq}{dt} = i.$$

La quantità $\varepsilon_0\frac{d\Phi(\vec E)}{dt}$ tra le armature vale esattamente quanto la corrente nei fili.

Corrente di spostamento: $$i_s = \varepsilon_0\frac{d\Phi(\vec E)}{dt}, \qquad \vec J_s = \varepsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}.$$

Non è un movimento di cariche: è il nome dato alla variazione del flusso del campo elettrico, che ha lo stesso effetto magnetico di una corrente. Con la corrente di spostamento la "corrente totale" $i + i_s$ è continua: nei fili è tutta di conduzione, tra le armature tutta di spostamento.

Verifica con il condensatore

Sulla superficie $\Sigma_2$ ora c'è $i_s = i$: entrambe le superfici danno $\mu_0 i$, e la contraddizione sparisce. Il campo magnetico tra le armature (piane e circolari di raggio $a$) si calcola come quello di un cilindro percorso da corrente uniforme: a distanza $r < a$ dall'asse, $B\cdot2\pi r = \mu_0 i\frac{r^2}{a^2}$.

Legge di Ampère-Maxwell

Forma integrale: $$\oint_C\vec B\cdot d\vec s = \mu_0\left(i + \varepsilon_0\frac{d\Phi_\Sigma(\vec E)}{dt}\right).$$ Forma locale: $$\nabla\times\vec B = \mu_0\vec J + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}.$$

Coerenza con la conservazione della carica. Prendendo la divergenza: $0 = \mu_0\nabla\cdot\vec J + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\nabla\cdot\vec E = \mu_0\left(\nabla\cdot\vec J + \frac{\partial\rho}{\partial t}\right)$, usando la legge di Gauss $\nabla\cdot\vec E = \rho/\varepsilon_0$. Si ottiene proprio l'equazione di continuità.

Significato fisico. Come un campo magnetico variabile genera un campo elettrico (Faraday), così un campo elettrico variabile genera un campo magnetico. Questa simmetria è ciò che rende possibili le onde elettromagnetiche.

Quando serve. In regime stazionario $\frac{\partial\vec E}{\partial t} = 0$ e si ritrova la legge di Ampère. La correzione serve ogni volta che le correnti non sono stazionarie: condensatori in carica o scarica, circuiti in corrente alternata, propagazione di onde. Nei conduttori ordinari, a basse frequenze, la corrente di spostamento è trascurabile rispetto a quella di conduzione.

Le equazioni di Maxwell

Nel vuoto

Insieme alla forza di Lorentz $\vec F = q(\vec E + \vec v \times \vec B)$ e all'equazione di continuità descrivono tutti i fenomeni elettromagnetici classici.

Nella materia

Con i campi ausiliari $\vec D = \varepsilon_0\vec E + \vec P$ (Dielettrici - polarizzazione e vettore induzione elettricaUn dielettrico che riempie un condensatore ne moltiplica la capacità per la costante dielettrica relativa ε_r (κ) e, a carica fissata, divide campo e d.d.p. per ε_r. Il motivo è la polarizzazione: i dipoli molecolari si allineano (vettore P = momento di dipolo per unità di volume) e compaiono cariche di polarizzazione σ_p = P·n = (ε_r − 1)/ε_r · σ_lib che schermano il campo. Il vettore D = ε₀E + P ha flusso uguale alla sola carica libera: ∮D·n dS = Q_lib, e D = ε₀ε_r E.Dielettrici - polarizzazione e vettore induzione elettrica →) e $\vec H = \vec B/\mu_0 - \vec M$ (Magnetizzazione della materia (cenni)La materia contiene momenti magnetici atomici (correnti amperiane). In un campo esterno si magnetizza: il vettore magnetizzazione M è il momento magnetico per unità di volume, ed equivale a correnti di magnetizzazione sulla superficie (densità M × u_n). Si introduce H = B/μ0 − M, la cui circuitazione dipende solo dalle correnti di conduzione; nei materiali lineari M = χm H e B = μ0 μr H con μr = 1 + χm. Diamagneti: χm < 0 piccolissimo; paramagneti: χm > 0 piccolo; ferromagneti: μr fino a 10³–10⁵, non lineari, con isteresi. Un solenoide riempito di materiale ha B = μ0 μr n i.Magnetizzazione della materia (cenni) →), compaiono solo le cariche e le correnti libere:

$$\nabla\cdot\vec D = \rho_{\text{lib}}, \quad \nabla\cdot\vec B = 0, \quad \nabla\times\vec E = -\frac{\partial\vec B}{\partial t}, \quad \nabla\times\vec H = \vec J_{\text{lib}} + \frac{\partial\vec D}{\partial t}.$$

Dalla forma integrale alla locale

È una domanda d'esame (appello 16.09.2025: "si dimostri come si passa dalla forma integrale a quella differenziale con i teoremi della divergenza e del rotore"). Lo schema è sempre lo stesso:

1. Equazioni di flusso (I e II): teorema della divergenza, $\oint_\Sigma\vec E\cdot\vec u_n\,d\Sigma = \int_\tau\nabla\cdot\vec E\,d\tau$; la carica è $q = \int_\tau\rho\,d\tau$. Si ottiene $\int_\tau\left(\nabla\cdot\vec E - \frac\rho{\varepsilon_0}\right)d\tau = 0$ per ogni volume $\tau$, quindi l'integranda è nulla in ogni punto. Per II allo stesso modo con $0$ a destra.
2. Equazioni di circuitazione (III e IV): teorema di Stokes, $\oint_C\vec E\cdot d\vec s = \int_\Sigma(\nabla\times\vec E)\cdot\vec u_n\,d\Sigma$; per una superficie fissa la derivata temporale entra nell'integrale come derivata parziale. Si ottiene $\int_\Sigma\left(\nabla\times\vec E + \frac{\partial\vec B}{\partial t}\right)\cdot\vec u_n\,d\Sigma = 0$ per ogni superficie, quindi l'integranda è nulla. Per IV si scrive anche $i = \int_\Sigma\vec J\cdot\vec u_n\,d\Sigma$.

Equazione delle onde (cenno)

Ricavo nel caso più semplice

Nel vuoto, lontano da cariche e correnti ($\rho = 0$, $\vec J = 0$). Si cerca una soluzione con $\vec E = E_y(x, t)\,\vec u_y$ e $\vec B = B_z(x, t)\,\vec u_z$, che dipendono solo da $x$ e $t$. Calcolando i rotori, le equazioni III e IV si riducono a

$$\frac{\partial E_y}{\partial x} = -\frac{\partial B_z}{\partial t}, \qquad -\frac{\partial B_z}{\partial x} = \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial E_y}{\partial t}.$$

Derivando la prima rispetto a $x$ e usando la seconda (derivata rispetto a $t$):

$$\frac{\partial^2E_y}{\partial x^2} = -\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial B_z}{\partial x} = \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2E_y}{\partial t^2}.$$

Equazione delle onde: $$\frac{\partial^2E}{\partial x^2} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2E}{\partial t^2}, \qquad c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}},$$ e la stessa equazione vale per $B$.

Le soluzioni sono funzioni del tipo $f(x - ct)$: una forma che trasla senza deformarsi con velocità $c$. Per esempio l'onda sinusoidale $E_y = E_0\sin(kx - \omega t)$ con $\omega = ck$.

La velocità della luce

$$c = \frac{1}{\sqrt{8{,}854\cdot10^{-12}\cdot4\pi\cdot10^{-7}}} = 2{,}998\cdot10^8\ \text{m/s}.$$

Maxwell notò che questo valore, calcolato da due costanti misurate con esperimenti di elettrostatica e magnetismo, coincideva con la velocità della luce misurata otticamente. Concluse che la luce è un'onda elettromagnetica. Hertz produsse e rivelò onde elettromagnetiche con circuiti oscillanti nel 1887: è l'origine delle telecomunicazioni via radio.

Proprietà delle onde piane

• $\vec E$ e $\vec B$ sono perpendicolari tra loro e alla direzione di propagazione (onde trasversali); $\vec E \times \vec B$ indica il verso di propagazione.
• Sostituendo $E_y = E_0\sin(kx - \omega t)$ nella prima equazione si trova $B_z = \frac{E_0}{c}\sin(kx - \omega t)$: $E$ e $B$ oscillano in fase e $$E = c\,B.$$
• L'energia è divisa in parti uguali tra campo elettrico e magnetico: $\frac12\varepsilon_0E^2 = \frac{B^2}{2\mu_0}$ (si verifica con $E = cB$ e $c^2 = 1/(\varepsilon_0\mu_0)$).

Domanda d'esame tipo

"Si definisca la corrente di spostamento e la si metta in relazione con la variazione nel tempo del flusso del campo elettrico attraverso la sezione del condensatore." (appello 24.06.2025)

1. Tra le armature $\Phi(\vec E) = q/\varepsilon_0$, quindi $\varepsilon_0\frac{d\Phi(\vec E)}{dt} = \frac{dq}{dt} = i$.
2. Si definisce $i_s = \varepsilon_0\frac{d\Phi(\vec E)}{dt}$: tra le armature sostituisce la corrente di conduzione e rende coerente la legge di Ampère (Ampère-Maxwell).

Errori comuni

• Pensare che la corrente di spostamento sia un moto di cariche nel vuoto tra le armature.
• Dimenticare $\varepsilon_0$ nella definizione: $i_s = \varepsilon_0\,d\Phi(\vec E)/dt$.
• Mettere il segno meno nella legge di Ampère-Maxwell per analogia con Faraday: il termine di spostamento ha segno $+$.
• Usare $\nabla\times\vec E = 0$ con campi variabili: vale solo in elettrostatica.