Esercizio 2due fili paralleli, circuitazione e forza su un terzo filo

Testo (Primo appello, 23.01.2024, problema 2). Un filo conduttore indefinito parallelo all'asse $z$ è percorso dalla corrente $i_1 = 4$ A. Un secondo filo dista $d = 30$ cm dal primo, è parallelo a esso ed è percorso da una corrente $i_2$. I versi delle correnti sono opposti. La circuitazione del campo magnetico lungo la curva orientata C, che racchiude entrambi i fili, è $\Lambda_C(\vec B) = 5\cdot10^{-6}$ T·m. Calcolare:

a) l'intensità della corrente $i_2$ (3 punti); b) il modulo del campo magnetico risultante nel punto P, a metà tra i due fili (3 punti).

Si inserisce in P un filo indefinito, parallelo ai precedenti, percorso dalla corrente $i_3 = 1{,}5$ A concorde all'asse $z$ (uscente dal foglio). Determinare:

c) la forza per unità di lunghezza, con il verso, agente su questo filo (3 punti).

Schema

Nella figura i fili sono sull'asse $x$: il filo 1 a sinistra, con corrente entrante nel foglio (verso $-z$); il filo 2 a destra, a distanza $d$, con corrente uscente (verso $+z$); P è a metà, a distanza $d/2 = 15$ cm da entrambi. La curva C è un'ellisse che racchiude i due fili, percorsa in modo che la corrente uscente $i_2$ sia positiva (senso antiorario visto dall'alto dell'asse $z$).

a) Corrente $i_2$

Perché la legge di Ampère

Il testo dà la circuitazione di $\vec B$ lungo una curva chiusa: la legge di AmpèreLa circuitazione di B lungo una curva chiusa è μ0 per la somma, con segno, delle correnti concatenate.Legge di Ampère e circuitazione del campo magnetico → la collega direttamente alle correnti concatenate, senza dover calcolare il campo lungo la curva.

Segni

La regola della mano destra con le dita nel verso di percorrenza di C (antiorario) dà il pollice verso $+z$: le correnti uscenti sono positive, quelle entranti negative. Quindi $i_2$ conta con il segno $+$ e $i_1$ con il segno $-$:

$$\Lambda_C = \oint_C\vec B\cdot d\vec s = \mu_0(i_2 - i_1).$$

Calcolo

$$i_2 = \frac{\Lambda_C}{\mu_0} + i_1 = \frac{5\cdot10^{-6}}{4\pi\cdot10^{-7}} + 4 = 3{,}98 + 4 = \boxed{7{,}98\ \text{A}}$$

La circuitazione è positiva, quindi prevale la corrente positiva: $i_2 > i_1$, coerente con il risultato.

b) Campo in P

Direzione di ciascun contributo

Ogni filo genera un campo di Biot-SavartFilo indefinito: B = μ0 i/(2πR), linee di campo circolari, verso dato dalla mano destra.Legge di Biot-Savart e campo di un filo rettilineo → tangente alle circonferenze centrate sul filo. In P, sull'asse $x$ tra i fili, i campi sono lungo $\pm y$.

• Filo 1 (corrente verso $-z$, P alla sua destra): versore della corrente $-\vec u_z$, versore radiale verso P $+\vec u_x$; $\vec B_1 \propto (-\vec u_z) \times \vec u_x = -\vec u_y$.
• Filo 2 (corrente verso $+z$, P alla sua sinistra): $\vec u_z \times (-\vec u_x) = -\vec u_y$.

Entrambi i campi puntano verso $-y$: con correnti opposte, nel punto di mezzo i campi si sommano.

Modulo

$$B_1 = \frac{\mu_0 i_1}{2\pi(d/2)} = \frac{\mu_0 i_1}{\pi d} = 5{,}33\ \mu\text{T}, \qquad B_2 = \frac{\mu_0 i_2}{\pi d} = 10{,}64\ \mu\text{T}.$$

$$\vec B(P) = -\frac{\mu_0}{\pi d}(i_1 + i_2)\,\vec u_y = -\frac{4\pi\cdot10^{-7}}{\pi\cdot0{,}3}\cdot11{,}98\ \vec u_y = \boxed{-15{,}97\ \mu\text{T}\ \vec u_y}$$

c) Forza sul terzo filo

Perché la seconda legge di Laplace

Il terzo filo è percorso da corrente e immerso nel campo $\vec B(P)$ dei primi due: la forza su ogni suo tratto è data dalla seconda legge elementare di LaplacedF = i ds × B: somma delle forze di Lorentz sui portatori di carica del tratto.Forze e momenti magnetici su circuiti percorsi da corrente →. Il campo è lo stesso in tutti i punti del filo (che è parallelo agli altri e sempre alla stessa distanza da essi), quindi la forza per unità di lunghezza è costante.

Calcolo

$d\vec s = ds\,\vec u_z$ (corrente uscente), $\vec B = -B\,\vec u_y$:

$$d\vec F = i_3\,ds\,\vec u_z \times (-B\,\vec u_y) = i_3 B\,ds\,(-\vec u_z \times \vec u_y) = i_3B\,ds\,\vec u_x,$$

perché $\vec u_z \times \vec u_y = -\vec u_x$.

$$\frac{d\vec F}{ds} = i_3B\,\vec u_x = 1{,}5\cdot15{,}97\cdot10^{-6}\ \vec u_x = \boxed{2{,}4\cdot10^{-5}\ \text{N/m}\ \vec u_x}$$

Controllo con la regola attrazione/repulsione

Si può ragionare con la Forza tra fili percorsi da correnteDue fili rettilinei paralleli indefiniti a distanza d, percorsi dalle correnti i1 e i2, si scambiano una forza per unità di lunghezza F/L = μ0 i1 i2/(2πd), lungo la congiungente: attrattiva se le correnti sono concordi, repulsiva se discordi (il contrario delle cariche elettriche). La forza si trova combinando Biot-Savart (campo di un filo nel punto dell'altro) e seconda legge di Laplace. Su questa forza si basava la definizione dell'ampere: 2·10⁻⁷ N/m tra fili a 1 m con 1 A.Forza tra fili percorsi da corrente →: il filo 3 (uscente) ha corrente opposta al filo 1 (entrante), quindi ne è respinto, cioè spinto verso destra ($+x$); ha corrente concorde con il filo 2 (uscente), quindi ne è attratto, di nuovo verso destra. Le due forze sono concordi:

$$\frac FL = \frac{\mu_0 i_3 i_1}{2\pi(d/2)} + \frac{\mu_0 i_3 i_2}{2\pi(d/2)} = i_3(B_1 + B_2) = 2{,}4\cdot10^{-5}\ \text{N/m},$$

verso $+x$, come trovato.

Riepilogo

Errori comuni

• Ignorare i segni nella circuitazione: $\mu_0(i_1 + i_2)$ darebbe una corrente negativa, segno che il ragionamento è sbagliato.
• Sottrarre i campi in P: si sottraggono solo se le correnti sono concordi.
• Usare $d$ invece di $d/2$ nella distanza tra P e ciascun filo.