Esercizio 17condensatori sferico e piano in serie, carica RC ed estrazione del dielettrico

Testo (Prova del 16.09.2025, problema 1). Un generatore di forza elettromotrice $\mathcal E = 20$ V è collegato, attraverso un interruttore T (inizialmente aperto) e una resistenza $R = 500$ k$\Omega$, a due condensatori in serie. Le armature del primo sono sfere concentriche di raggi $r_1 = 5$ mm e $r_2 = 6$ mm, tra cui c'è un dielettrico di costante relativa $\kappa_1 = 2{,}7$. Il secondo è piano, con armature di superficie $A = 0{,}049$ m² distanti $h = 4$ cm, e per metà volume è riempito con un dielettrico di costante $\kappa_2 = 2$ (in figura il dielettrico occupa metà dell'area delle armature, per tutto lo spessore). Calcolare:

1. la capacità equivalente del sistema di condensatori (3 punti).

All'istante $t = 0$ l'interruttore viene chiuso. Calcolare:

2. il tempo necessario perché la carica del sistema sia $q = 110$ pC (3 punti).

Raggiunto il regime, il dielettrico viene estratto completamente dal condensatore piano. Calcolare:

3. il lavoro svolto dal generatore per riportare il sistema a regime (3 punti);
4. la carica di polarizzazione sul condensatore sferico quando il sistema è tornato a regime (1 punto).

1. Capacità equivalente

Condensatore sferico

Capacità di un condensatore sferico pieno di dielettrico (Condensatori - capacità, serie e paralleloUn condensatore sono due conduttori in induzione completa con cariche ±q; la capacità C = q/ΔV (farad) dipende solo dalla geometria: piano ε₀S/d, sferico 4πε₀R₁R₂/(R₂ − R₁), cilindrico 2πε₀L/ln(R₂/R₁). In parallelo le capacità si sommano (stessa ΔV), in serie si sommano gli inversi (stessa carica). Con un dielettrico che riempie il condensatore C diventa ε_r C.Condensatori - capacità, serie e parallelo →):

$$C_1 = 4\pi\varepsilon_0\kappa_1\frac{r_1r_2}{r_2 - r_1} = 4\pi\cdot8{,}854\cdot10^{-12}\cdot2{,}7\cdot\frac{5\cdot10^{-3}\cdot6\cdot10^{-3}}{10^{-3}} = 9{,}01\ \text{pF}.$$

Condensatore piano riempito a metà

Il dielettrico occupa metà dell'area per tutto lo spessore: le due metà hanno le stesse armature e la stessa d.d.p., quindi sono in parallelo, ciascuna con area $A/2$:

$$C_2 = \frac{\varepsilon_0A}{2h} + \frac{\varepsilon_0\kappa_2A}{2h} = \frac{\varepsilon_0A}{2h}(1 + \kappa_2) = \frac{8{,}854\cdot10^{-12}\cdot0{,}049}{0{,}08}\cdot3 = 16{,}3\ \text{pF}.$$

Serie

$$C_{eq} = \frac{C_1C_2}{C_1 + C_2} = \frac{9{,}01\cdot16{,}27}{25{,}28} = \boxed{5{,}80\ \text{pF}}$$

La serie ha capacità minore della più piccola delle due.

2. Tempo per arrivare a $110$ pC

Carica RC

Chiuso l'interruttore, il sistema (capacità $C_{eq}$) si carica attraverso $R$ (Carica e scarica di un condensatore (circuito RC)In un circuito RC la carica non cambia istantaneamente: in carica q(t) = Cℰ(1 − e^(−t/τ)), i(t) = (ℰ/R)e^(−t/τ); in scarica q(t) = q₀e^(−t/τ), con costante di tempo τ = RC (dopo circa 5τ il transitorio è finito). Durante la carica il generatore fornisce Cℰ², metà va nel condensatore e metà è dissipata nella resistenza; in scarica tutta l'energia ½q₀²/C si dissipa, con legge e^(−2t/τ).Carica e scarica di un condensatore (circuito RC) →):

$$q(t) = q_0\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \qquad q_0 = \mathcal EC_{eq} = 20\cdot5{,}80\cdot10^{-12} = 116\ \text{pC}, \qquad \tau = RC_{eq} = 2{,}90\ \mu\text{s}.$$

Nei condensatori in serie la carica è la stessa su tutti: la "carica del sistema" è quella su ciascuno.

Inversione

$$1 - \frac{q}{q_0} = e^{-t/\tau} \implies t = -\tau\ln\left(1 - \frac{q}{q_0}\right) = -2{,}90\cdot10^{-6}\cdot\ln\left(1 - \frac{110}{116}\right).$$

$1 - \frac{110}{116} = 0{,}0517$, $\ln0{,}0517 = -2{,}96$:

$$t = 2{,}90\cdot10^{-6}\cdot2{,}96 = \boxed{8{,}6\ \mu\text{s}}$$

Circa $3\tau$: per raggiungere il $95\%$ della carica finale servono proprio tre costanti di tempo.

3. Lavoro del generatore dopo l'estrazione

Nuova capacità

Senza dielettrico il condensatore piano ha $C_2' = \frac{\varepsilon_0A}{h} = 10{,}85$ pF e

$$C_{eq}' = \frac{C_1C_2'}{C_1 + C_2'} = 4{,}92\ \text{pF}.$$

Perché il lavoro del generatore è $\mathcal E\,\Delta q$

Il generatore resta collegato: a regime la d.d.p. ai capi della serie è ancora $\mathcal E$, ma la carica passa da $q_0 = \mathcal EC_{eq}$ a $q' = \mathcal EC_{eq}'$. Il generatore sposta la carica $\Delta q = q' - q_0$ alla f.e.m. $\mathcal E$, quindi compie il lavoro

$$W_{gen} = \mathcal E\,\Delta q = \mathcal E^2\left(C_{eq}' - C_{eq}\right) = 400\cdot(4{,}92 - 5{,}80)\cdot10^{-12} = \boxed{-351\ \text{pJ}}$$

Negativo: la carica torna indietro nel generatore (la capacità è diminuita), che quindi riceve energia invece di fornirla.

Confronto con l'energia dei condensatori. $\Delta U = \frac12\mathcal E^2(C_{eq}' - C_{eq}) = -175$ pJ: il lavoro del generatore è il doppio della variazione di energia immagazzinata, come sempre a d.d.p. fissa (Energia del campo elettrostaticoCaricare un condensatore costa lavoro, immagazzinato come energia U = ½q²/C = ½CΔV² = ½qΔV; questa energia è localizzata nel campo, con densità u = ½ε₀E² (½εE² in un dielettrico). Con il condensatore isolato si conserva q, collegato al generatore si conserva ΔV: nel secondo caso il generatore fa un lavoro doppio della variazione di energia del condensatore.Energia del campo elettrostatico →). Se l'estrazione è lenta (dissipazione in $R$ trascurabile), il bilancio è $W_{gen} + W_{ext} = \Delta U$, quindi chi estrae il dielettrico compie $W_{ext} = \Delta U - W_{gen} = -175 + 351 = +175$ pJ: positivo, il dielettrico va tirato fuori.

4. Carica di polarizzazione nel condensatore sferico

A regime la carica sulle armature (uguale nei due condensatori in serie) è $q' = \mathcal EC_{eq}' = 20\cdot4{,}92\cdot10^{-12} = 98{,}4$ pC. Sulla superficie del dielettrico a contatto con un'armatura compare la carica di polarizzazione (carica di polarizzazioneq_p = (κ − 1)/κ · q_libera, di segno opposto alla carica dell'armatura adiacente.Dielettrici - polarizzazione e vettore induzione elettrica →)

$$q_p = \frac{\kappa_1 - 1}{\kappa_1}q' = \frac{1{,}7}{2{,}7}\cdot98{,}4 = \boxed{62\ \text{pC}}$$

Riepilogo

Errori comuni

• Trattare il condensatore piano come una serie di due strati: il dielettrico copre metà area, non metà spessore.
• Usare $\frac12\mathcal E^2\Delta C$ per il lavoro del generatore: quella è la variazione di energia dei condensatori.
• Usare la carica di prima dell'estrazione nel punto 4.