Esercizio 7tre condensatori, commutazione e dielettrico

Testo (Quarto appello, 03.09.2024, problema 1). Il sistema di tre condensatori di capacità $C_1 = 2\ \mu$F, $C_2 = 4\ \mu$F e $C_3 = 6\ \mu$F, nella configurazione (a) della figura, viene caricato con carica complessiva $q = 600\ \mu$C e poi isolato. Calcolare:

1. le cariche $q_1$, $q_2$, $q_3$ sulle armature di ciascun condensatore.

Si sposta l'interruttore dalla posizione A alla posizione B, configurazione (b). Determinare:

2. la nuova differenza di potenziale $\Delta V'$ a regime ai capi del sistema.

I condensatori, sempre nella configurazione (b), vengono completamente riempiti con un dielettrico omogeneo di costante relativa $\kappa$. Sapendo che per riempirli tutti si compie il lavoro esterno $W_{ext} = -0{,}03$ J, calcolare:

3. la costante dielettrica relativa $\kappa$.

Le due configurazioni

• (a), interruttore in A: $C_1$ e $C_2$ hanno le armature collegate agli stessi due nodi, quindi sono in parallelo; il loro gruppo è in serie con $C_3$ tra i due morsetti.
• (b), interruttore in B: l'armatura destra di $C_1$ viene collegata direttamente al morsetto destro. Ora $C_1$ è da solo tra i due morsetti, mentre $C_2$ e $C_3$ formano una serie: le due cose sono in parallelo.

Regole (Condensatori - capacità, serie e paralleloUn condensatore sono due conduttori in induzione completa con cariche ±q; la capacità C = q/ΔV (farad) dipende solo dalla geometria: piano ε₀S/d, sferico 4πε₀R₁R₂/(R₂ − R₁), cilindrico 2πε₀L/ln(R₂/R₁). In parallelo le capacità si sommano (stessa ΔV), in serie si sommano gli inversi (stessa carica). Con un dielettrico che riempie il condensatore C diventa ε_r C.Condensatori - capacità, serie e parallelo →): in parallelo le capacità si sommano e la d.d.p. è comune; in serie si sommano gli inversi e la carica è comune.

1) Cariche nella configurazione (a)

Capacità equivalente e d.d.p.

$$C_{12} = C_1 + C_2 = 6\ \mu\text{F}, \qquad C_{eq} = \frac{C_{12}C_3}{C_{12} + C_3} = \frac{6\cdot6}{12} = 3\ \mu\text{F}.$$

$$\Delta V = \frac{q}{C_{eq}} = \frac{600\ \mu\text{C}}{3\ \mu\text{F}} = 200\ \text{V}.$$

Ragionando con le cariche

• $C_3$ è in serie con tutto il resto: la carica che entra nel sistema dal morsetto passa tutta su di esso, quindi $\boxed{q_3 = q = 600\ \mu\text{C}}$ (e $\Delta V_3 = 600/6 = 100$ V).
• Il parallelo $C_1$, $C_2$ porta in tutto la stessa carica: $q_1 + q_2 = 600\ \mu$C, con la stessa d.d.p. $\Delta V_{12} = 200 - 100 = 100$ V.

$$\boxed{q_1 = C_1\Delta V_{12} = 200\ \mu\text{C}, \qquad q_2 = C_2\Delta V_{12} = 400\ \mu\text{C}}$$

In parallelo la carica si divide in proporzione alle capacità: $q_1 = q\frac{C_1}{C_1 + C_2} = 600\cdot\frac26$ ✓.

2) D.d.p. nella configurazione (b)

Capacità equivalente

$$C_{23} = \frac{C_2C_3}{C_2 + C_3} = \frac{4\cdot6}{10} = 2{,}4\ \mu\text{F}, \qquad C_{eq}' = C_1 + C_{23} = 4{,}4\ \mu\text{F}.$$

Conservazione della carica

Il sistema è isolato: nessuna carica può entrare o uscire dai morsetti. La soluzione ufficiale considera il sistema come un unico condensatore equivalente che conserva la carica complessiva $q$:

$$\Delta V' = \frac{q}{C_{eq}'} = \frac{600}{4{,}4} = \boxed{136{,}4\ \text{V}}$$

(Per un'analisi più accurata, che tiene conto delle cariche rimaste sui nodi interni, vedi l'approfondimento in fondo.)

3) Costante dielettrica

Cosa succede inserendo il dielettrico

Riempiendo tutti i condensatori con lo stesso dielettrico, ogni capacità viene moltiplicata per $\kappa$ (Dielettrici - polarizzazione e vettore induzione elettricaUn dielettrico che riempie un condensatore ne moltiplica la capacità per la costante dielettrica relativa ε_r (κ) e, a carica fissata, divide campo e d.d.p. per ε_r. Il motivo è la polarizzazione: i dipoli molecolari si allineano (vettore P = momento di dipolo per unità di volume) e compaiono cariche di polarizzazione σ_p = P·n = (ε_r − 1)/ε_r · σ_lib che schermano il campo. Il vettore D = ε₀E + P ha flusso uguale alla sola carica libera: ∮D·n dS = Q_lib, e D = ε₀ε_r E.Dielettrici - polarizzazione e vettore induzione elettrica →), quindi anche la capacità equivalente: $C_{eq}'' = \kappa C_{eq}'$. Le cariche restano le stesse (sistema isolato), quindi la d.d.p. diventa $\Delta V'' = \frac{\Delta V'}{\kappa}$.

Lavoro esterno ed energia

Il lavoro fatto dall'esterno su un sistema isolato è uguale alla variazione della sua energia (Energia del campo elettrostaticoCaricare un condensatore costa lavoro, immagazzinato come energia U = ½q²/C = ½CΔV² = ½qΔV; questa energia è localizzata nel campo, con densità u = ½ε₀E² (½εE² in un dielettrico). Con il condensatore isolato si conserva q, collegato al generatore si conserva ΔV: nel secondo caso il generatore fa un lavoro doppio della variazione di energia del condensatore.Energia del campo elettrostatico →). Con carica fissa conviene $U = \frac{q^2}{2C}$:

$$W_{ext} = \frac{q^2}{2\kappa C_{eq}'} - \frac{q^2}{2C_{eq}'} = U'\left(\frac1\kappa - 1\right), \qquad U' = \frac{q^2}{2C_{eq}'} = \frac12C_{eq}'\Delta V'^2.$$

$W_{ext} < 0$: il dielettrico viene risucchiato dentro i condensatori, e chi lo inserisce deve trattenerlo (l'energia del sistema diminuisce).

Calcolo

$U' = \frac{(600\cdot10^{-6})^2}{2\cdot4{,}4\cdot10^{-6}} = 0{,}0409$ J. Risolvendo per $\kappa$:

$$\frac1\kappa = 1 + \frac{W_{ext}}{U'} \implies \kappa = \frac{U'}{U' + W_{ext}} = \frac{0{,}0409}{0{,}0409 - 0{,}03} = \boxed{3{,}75}$$

(La soluzione ufficiale riporta $3{,}74$ per gli arrotondamenti intermedi.)

Approfondimento: le cariche sui nodi interni

Nella configurazione (a) il nodo interno che collega le armature destre di $C_1$ e $C_2$ con quella sinistra di $C_3$ ha carica totale $-q_1 - q_2 + q_3 = 0$. Spostando l'interruttore, però, l'armatura destra di $C_1$ (con la sua carica $-200\ \mu$C) passa al morsetto destro. Il nodo tra $C_2$ e $C_3$ resta isolato con carica $-q_2 + q_3 = +200\ \mu$C, che non può andare da nessuna parte.

Imponendo la conservazione della carica su ogni nodo isolato (morsetto sinistro: $+600\ \mu$C; nodo tra $C_2$ e $C_3$: $+200\ \mu$C) si trova $\Delta V' = 154{,}5$ V, con cariche $309$, $291$ e $491\ \mu$C su $C_1$, $C_2$, $C_3$. L'energia è $0{,}0545$ J e il punto 3 darebbe $\kappa = \frac{0{,}0545}{0{,}0245} = 2{,}22$.

La differenza nasce dal fatto che il sistema non si comporta esattamente come un unico condensatore di capacità $C_{eq}'$ con carica $q$: la carica "intrappolata" nel nodo interno conta. All'esame il risultato atteso era quello della soluzione ufficiale ($136{,}4$ V e $\kappa \approx 3{,}75$).

Riepilogo

Errori comuni

• Riconoscere male serie e parallelo: due condensatori sono in parallelo se le loro armature sono collegate agli stessi due nodi, non perché sono disegnati uno sopra l'altro.
• Usare $U = \frac12CV^2$ con $V$ fisso: il sistema è isolato, è la carica a restare fissa.
• Dare a $W_{ext}$ il segno sbagliato: con carica fissa inserire un dielettrico abbassa l'energia, quindi il lavoro esterno è negativo.