Esercizio 14bobina inclinata in un solenoide con corrente sinusoidale

Testo (Prova del 24.06.2025, problema 2). Una bobina di resistenza complessiva $R = 2\ \Omega$ è formata da $N_b = 8$ spire circolari di raggio $R_b = 5$ cm ed è posta al centro di un solenoide cilindrico (raggio $R_s = 7$ cm, lunghezza $L_s = 80$ cm, da considerarsi ideale) con $N_s = 4000$ avvolgimenti. La normale alla bobina forma un angolo $\theta = 60°$ con l'asse del solenoide. Nel solenoide scorre la corrente $i(t) = i_0\sin\omega t$, con $i_0 = 12$ A e $\omega = \frac\pi6$ rad/s. Trascurando gli effetti della bobina sul solenoide e l'autoinduzione della bobina, calcolare:

1. l'energia contenuta nel solenoide al tempo $t_1 = 1$ s (2 punti);
2. il coefficiente di mutua induzione tra solenoide e bobina (3 punti);
3. la forza elettromotrice indotta nella bobina all'istante $t_2 = 2$ s (2 punti);
4. la carica che ha circolato nella bobina tra $t_1$ e $t_2$ (3 punti).

Dati

Spire per unità di lunghezza del solenoide: $n = \frac{N_s}{L_s} = \frac{4000}{0{,}8} = 5000$ spire/m. Area della sezione del solenoide $\pi R_s^2 = 0{,}0154$ m², area di una spira della bobina $\pi R_b^2 = 7{,}85\cdot10^{-3}$ m². Il solenoide è lungo più di dieci volte il suo raggio: lo si tratta come ideale, con campo interno $B = \mu_0 ni$ (Campo di una spira e di un solenoideUna spira circolare di raggio R percorsa da i genera sul suo asse B(z) = μ0 i R²/[2(R² + z²)^(3/2)], diretto lungo l'asse (al centro μ0 i/(2R)); lontano dalla spira B ≈ (μ0/4π)·2m/z³ con m = iπR²: è il campo di un dipolo magnetico (principio di equivalenza di Ampère: una spira piccola equivale a un ago magnetico). Un solenoide di n spire per unità di lunghezza genera all'interno, se indefinito, il campo uniforme B = μ0 n i parallelo all'asse, e nullo all'esterno.Campo di una spira e di un solenoide →).

Valori della corrente: $\omega t_1 = \frac\pi6$, $\omega t_2 = \frac\pi3$.

1. Energia nel solenoide a $t_1$

Autoinduttanza del solenoide

L'energia di un'induttanza è $U = \frac12Li^2$, quindi serve prima $L$ (Autoinduzione, circuiti RL e LC, energia magneticaUn circuito percorso da corrente concatena il flusso del proprio campo: Φ = L i, con L coefficiente di autoinduzione (henry; solenoide L = μ0 n² Σ ℓ). Se i varia compare la fem autoindotta −L di/dt. Circuito RL in chiusura: i = (ℰ/R)(1 − e^(−t/τ)), τ = L/R (extracorrente di chiusura); in apertura i = i₀e^(−t/τ). Un'induttanza percorsa da i immagazzina U = ½Li², con densità di energia magnetica u = B²/(2μ0). Circuito LC: la carica oscilla come q₀cos(ωt), ω = 1/√(LC), con l'energia che passa dal condensatore all'induttanza e viceversa.Autoinduzione, circuiti RL e LC, energia magnetica →). Il flusso del campo del solenoide attraverso le sue $N_s$ spire è

$$\Phi = N_s\cdot B\cdot\pi R_s^2 = N_s\,\mu_0 ni\,\pi R_s^2 \implies L = \frac\Phi i = \mu_0nN_s\pi R_s^2.$$

$$L = 4\pi\cdot10^{-7}\cdot5000\cdot4000\cdot0{,}0154 = 0{,}387\ \text{H}.$$

Energia

$$U(t_1) = \frac12Li(t_1)^2 = \frac12\cdot0{,}387\cdot6^2 = \boxed{6{,}96\ \text{J}}$$

2. Coefficiente di mutua induzione

Come sempre conviene calcolare il flusso del campo del solenoide nella bobina (il campo del solenoide è uniforme e noto, Mutua induzione e circuiti accoppiatiIl flusso del campo di un circuito 1 concatenato con un circuito 2 è proporzionale alla corrente: Φ₂ = M i₁, e vale la simmetria M₁₂ = M₂₁ = M (coefficiente di mutua induzione, in henry). Se i₁ varia, nel circuito 2 compare ℰ₂ = −M di₁/dt. Casi tipici: bobina di N spire e area Σ in un solenoide M = μ0 n N Σ cos θ; piccola bobina vicino a un filo M = μ0 N Σ/(2πd). Energia di due circuiti accoppiati: U = ½L₁i₁² + ½L₂i₂² + M i₁ i₂, con |M| ≤ √(L₁L₂). Il trasformatore sfrutta la mutua induzione: V₂/V₁ = N₂/N₁.Mutua induzione e circuiti accoppiati →):

$$\Phi_b = N_b\cdot\pi R_b^2\cdot B_s\cos\theta = N_b\pi R_b^2\mu_0 ni\cos\theta.$$

Il $\cos\theta$ c'è perché conta solo la componente del campo lungo la normale alla bobina.

$$M = \frac{\Phi_b}{i} = N_b\pi R_b^2\mu_0n\cos\theta = 8\cdot7{,}85\cdot10^{-3}\cdot4\pi\cdot10^{-7}\cdot5000\cdot0{,}5 = \boxed{0{,}197\ \text{mH}}$$

$M$ è costante: la bobina è ferma, cambia solo la corrente.

3. Fem indotta a $t_2$

Per la legge di Faraday, con $M$ costante:

$$\mathcal E_b = -\frac{d\Phi_b}{dt} = -M\frac{di}{dt}, \qquad \frac{di}{dt} = i_0\omega\cos\omega t.$$

A $t_2$: $\frac{di}{dt} = 12\cdot\frac\pi6\cdot\cos\frac\pi3 = 12\cdot\frac\pi6\cdot\frac12 = \pi$ A/s.

$$\mathcal E_b(t_2) = -\pi M = -\pi\cdot0{,}197\cdot10^{-3} = \boxed{-0{,}62\ \text{mV}}$$

Il segno meno (Lenz): la corrente nel solenoide sta crescendo, la fem si oppone all'aumento del flusso.

4. Carica circolata tra $t_1$ e $t_2$

Perché la legge di Felici

La legge di Feliciq =|ΔΦ|/R, se si trascura l'autoinduzione del circuito.Legge di Faraday-Neumann-Lenz e fem indotta → dà la carica dai flussi agli estremi dell'intervallo, senza integrare la corrente. Il testo dice di trascurare l'autoinduzione della bobina, che è proprio l'ipotesi della legge.

Tra $t_1$ e $t_2$ la corrente del solenoide cresce sempre ($\omega t$ va da $30°$ a $60°$, dove il seno è crescente): la corrente indotta non cambia mai verso, e la carica netta coincide con quella totale circolata.

$$Q = \frac{\Phi_b(t_2) - \Phi_b(t_1)}{R} = \frac{M\left[i(t_2) - i(t_1)\right]}{R} = \frac{0{,}197\cdot10^{-3}\cdot(10{,}39 - 6)}{2} = \boxed{433\ \mu\text{C}}$$

Controllo con l'integrale. $Q = \frac{1}{R}\int_{t_1}^{t_2}M\frac{di}{dt}dt = \frac MR\left[i\right]_{t_1}^{t_2}$: è la stessa cosa, la Felici è solo il teorema fondamentale del calcolo applicato alla legge di Faraday.

Riepilogo

Errori comuni

• Usare la sezione della bobina per l'induttanza del solenoide o viceversa: per $L$ serve $\pi R_s^2$, per $M$ (flusso nella bobina) serve $\pi R_b^2$, perché il campo c'è in tutto il solenoide ma la bobina ne raccoglie solo la parte che la attraversa.
• Dimenticare $\cos\theta$ in $M$.
• Lavorare in gradi nel seno: $\omega t$ è in radianti ($\pi/6$ rad $= 30°$).