Domande di teoria degli appelli

Lo scritto ha 2 domande di teoria da 5 punti ciascuna e una domanda di laboratorio da 1 punto. Qui sotto le domande delle prove dal 23.01.2025 al 26.06.2026, raggruppate per argomento. Per ognuna: la traccia di risposta (cosa scrivere, in ordine) e la nota dove l'argomento è svolto per esteso. Le risposte vanno date con formule e poche righe di commento.

Legge di Ampère e Ampère-Maxwell

È la domanda più frequente (23.01.2025, 02.09.2025, 18.02.2026, 26.06.2026). Nota: Legge di Ampère e circuitazione del campo magneticoLegge di Ampère: la circuitazione di B lungo una curva chiusa qualsiasi è μ0 per la somma (con segno) delle correnti concatenate, ∮B·ds = μ0 Σi; con il teorema di Stokes diventa rot B = μ0 J. B quindi non è conservativo. Con curve simmetriche dà subito: filo B = μ0 i/(2πr); cilindro pieno B = μ0 i r/(2πR²) dentro; solenoide indefinito B = μ0 n i dentro e 0 fuori; toroide B = μ0 N i/(2πr). Con la legge di Gauss magnetica forma le equazioni di Maxwell per i campi statici; per correnti non stazionarie va corretta con la corrente di spostamento.Legge di Ampère e circuitazione del campo magnetico →.

"Si enunci la legge di Ampère in forma integrale e se ne riassuma il significato."

• $\oint_C\vec B\cdot d\vec s = \mu_0\sum i_{\text{conc}}$, correnti concatenate con il segno dato dalla mano destra rispetto al verso di $C$.
• Significato: la circuitazione dipende solo dalle correnti concatenate; $\vec B$ non è conservativo, le sue linee si avvolgono attorno alle correnti. Vale per correnti stazionarie.

"Si dimostri come dalla forma integrale si passa alla forma locale."

• Teorema di Stokes: $\oint_C\vec B\cdot d\vec s = \int_\Sigma(\nabla\times\vec B)\cdot\vec u_n\,d\Sigma$; corrente concatenata $= \int_\Sigma\vec J\cdot\vec u_n\,d\Sigma$.
• L'uguaglianza vale per ogni superficie $\Sigma$, quindi $\nabla\times\vec B = \mu_0\vec J$.

"Quando è necessario estendere la legge di Ampère a quella di Ampère-Maxwell? Si scriva la legge di Ampère-Maxwell in forma locale."

• Quando le correnti non sono stazionarie (es. condensatore in carica): la divergenza di $\nabla\times\vec B = \mu_0\vec J$ darebbe $\nabla\cdot\vec J = 0$, in contrasto con l'equazione di continuità; e due superfici con lo stesso bordo darebbero circuitazioni diverse.
• $\nabla\times\vec B = \mu_0\vec J + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}$; il termine aggiunto è la corrente di spostamento (Corrente di spostamento ed equazioni di MaxwellLa legge di Ampère non vale per correnti non stazionarie (condensatore in carica). Maxwell aggiunse la corrente di spostamento i_s = ε0 dΦ(E)/dt, che tra le armature di un condensatore è uguale alla corrente di conduzione nei fili: legge di Ampère-Maxwell ∮B·ds = μ0(i + ε0 dΦ(E)/dt), rot B = μ0 J + μ0ε0 ∂E/∂t. Con Gauss elettrica, Gauss magnetica e Faraday formano le quattro equazioni di Maxwell. Nel vuoto senza sorgenti E e B soddisfano l'equazione delle onde, con velocità c = 1/√(ε0μ0) = 3·10⁸ m/s: la luce è un'onda elettromagnetica, con E ⊥ B ⊥ direzione di propagazione ed E = cB.Corrente di spostamento ed equazioni di Maxwell →).

Legge di Gauss

18.02.2025 e 22.01.2026. Note: Flusso elettrico e legge di GaussIl flusso di E attraverso una superficie è Φ = ∫ E·n dS (quante linee di campo la attraversano). Legge di Gauss: il flusso uscente da qualunque superficie chiusa è uguale alla carica interna divisa per ε₀, Φ = Q_int/ε₀; le cariche esterne danno flusso totale nullo. Si dimostra con l'angolo solido ed è conseguenza diretta del fatto che il campo di Coulomb va come 1/r².Flusso elettrico e legge di Gauss →, Divergenza, rotore ed equazioni di Maxwell per l'elettrostaticaCon l'operatore nabla ∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) si definiscono divergenza ∇·E (quanto campo "nasce" in un punto) e rotore ∇×E (quanto campo "gira"). Teoremi della divergenza e di Stokes trasformano le leggi integrali in leggi locali: le equazioni dell'elettrostatica sono ∮E·n dS = Q/ε₀ ⇔ ∇·E = ρ/ε₀ e ∮E·ds = 0 ⇔ ∇×E = 0; da E = −∇V segue l'equazione di Poisson ∇²V = −ρ/ε₀.Divergenza, rotore ed equazioni di Maxwell per l'elettrostatica →.

"Si scriva e spieghi la legge di Gauss; la si dimostri per una carica in una superficie sferica; se ne scriva la forma locale."

• $\oint_\Sigma\vec E\cdot\vec u_n\,d\Sigma = \frac{q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}$ per ogni superficie chiusa.
• Sfera di raggio $r$ centrata sulla carica: $E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}$ costante e normale alla superficie, flusso $E\cdot4\pi r^2 = q/\varepsilon_0$, indipendente da $r$.
• Teorema della divergenza: $\int_\tau\left(\nabla\cdot\vec E - \frac\rho{\varepsilon_0}\right)d\tau = 0$ per ogni volume, quindi $\nabla\cdot\vec E = \rho/\varepsilon_0$.

"Perché le cariche esterne alla superficie non contano? Come cambia la legge con un dielettrico?"

• Le linee di campo di una carica esterna entrano nella superficie e ne escono: il flusso netto è nullo (l'angolo solido sotteso da una superficie chiusa visto da un punto esterno è zero).
• Con un dielettrico conta solo la carica libera se si usa $\vec D$: $\oint\vec D\cdot\vec u_n\,d\Sigma = q_{\text{lib}}$; per un dielettrico lineare $\oint\vec E\cdot\vec u_n\,d\Sigma = \frac{q_{\text{lib}}}{\varepsilon_0\varepsilon_r}$ (Dielettrici - polarizzazione e vettore induzione elettricaUn dielettrico che riempie un condensatore ne moltiplica la capacità per la costante dielettrica relativa ε_r (κ) e, a carica fissata, divide campo e d.d.p. per ε_r. Il motivo è la polarizzazione: i dipoli molecolari si allineano (vettore P = momento di dipolo per unità di volume) e compaiono cariche di polarizzazione σ_p = P·n = (ε_r − 1)/ε_r · σ_lib che schermano il campo. Il vettore D = ε₀E + P ha flusso uguale alla sola carica libera: ∮D·n dS = Q_lib, e D = ε₀ε_r E.Dielettrici - polarizzazione e vettore induzione elettrica →).

Equazioni di Maxwell dalla forma integrale alla locale

16.09.2025: "Date le equazioni di Maxwell in forma integrale, si dimostri il passaggio a quella differenziale con i teoremi della divergenza e del rotore (1,25 punti per equazione)." Nota: Corrente di spostamento ed equazioni di MaxwellLa legge di Ampère non vale per correnti non stazionarie (condensatore in carica). Maxwell aggiunse la corrente di spostamento i_s = ε0 dΦ(E)/dt, che tra le armature di un condensatore è uguale alla corrente di conduzione nei fili: legge di Ampère-Maxwell ∮B·ds = μ0(i + ε0 dΦ(E)/dt), rot B = μ0 J + μ0ε0 ∂E/∂t. Con Gauss elettrica, Gauss magnetica e Faraday formano le quattro equazioni di Maxwell. Nel vuoto senza sorgenti E e B soddisfano l'equazione delle onde, con velocità c = 1/√(ε0μ0) = 3·10⁸ m/s: la luce è un'onda elettromagnetica, con E ⊥ B ⊥ direzione di propagazione ed E = cB.Corrente di spostamento ed equazioni di Maxwell →, sezione "Dalla forma integrale alla locale".

• Gauss elettrica e magnetica: teorema della divergenza, uguaglianza degli integrandi perché il volume è arbitrario.
• Faraday e Ampère-Maxwell: teorema di Stokes, superficie fissa (la derivata temporale entra come derivata parziale), uguaglianza degli integrandi perché la superficie è arbitraria.

Conduttori

16.09.2025: "In un conduttore carico cavo dove si distribuisce la carica (con dimostrazione)? Quanto vale il campo vicino al conduttore? Con un conduttore carico isolato all'interno, cosa si intende per induzione completa?" Nota: Conduttori in equilibrio, conduttori cavi e schermo elettrostaticoIn un conduttore in equilibrio il campo interno è nullo, il conduttore è tutto allo stesso potenziale, la carica sta sulla superficie e appena fuori il campo è perpendicolare alla superficie con modulo σ/ε₀ (teorema di Coulomb). In una cavità vuota il campo è nullo (schermo elettrostatico); una carica q dentro la cavità induce −q sulla parete interna e +q su quella esterna (induzione completa).Conduttori in equilibrio, conduttori cavi e schermo elettrostatico →.

• In equilibrio $\vec E = 0$ nel conduttore; legge di Gauss su una superficie dentro il materiale, attorno alla cavità: carica interna nulla, quindi (cavità vuota) la carica sta tutta sulla superficie esterna.
• Teorema di Coulomb: $E = \sigma/\varepsilon_0$, perpendicolare alla superficie.
• Induzione completa: una carica $q$ nella cavità induce $-q$ sulla superficie interna (tutte le linee di campo che partono da $q$ finiscono sul conduttore) e $+q$ su quella esterna.

Circuiti RC e corrente di spostamento

24.06.2025: "Equazione di Ohm per un circuito RC; soluzione in chiusura; corrente di spostamento e flusso del campo elettrico nel condensatore." Note: Carica e scarica di un condensatore (circuito RC)In un circuito RC la carica non cambia istantaneamente: in carica q(t) = Cℰ(1 − e^(−t/τ)), i(t) = (ℰ/R)e^(−t/τ); in scarica q(t) = q₀e^(−t/τ), con costante di tempo τ = RC (dopo circa 5τ il transitorio è finito). Durante la carica il generatore fornisce Cℰ², metà va nel condensatore e metà è dissipata nella resistenza; in scarica tutta l'energia ½q₀²/C si dissipa, con legge e^(−2t/τ).Carica e scarica di un condensatore (circuito RC) →, Corrente di spostamento ed equazioni di MaxwellLa legge di Ampère non vale per correnti non stazionarie (condensatore in carica). Maxwell aggiunse la corrente di spostamento i_s = ε0 dΦ(E)/dt, che tra le armature di un condensatore è uguale alla corrente di conduzione nei fili: legge di Ampère-Maxwell ∮B·ds = μ0(i + ε0 dΦ(E)/dt), rot B = μ0 J + μ0ε0 ∂E/∂t. Con Gauss elettrica, Gauss magnetica e Faraday formano le quattro equazioni di Maxwell. Nel vuoto senza sorgenti E e B soddisfano l'equazione delle onde, con velocità c = 1/√(ε0μ0) = 3·10⁸ m/s: la luce è un'onda elettromagnetica, con E ⊥ B ⊥ direzione di propagazione ed E = cB.Corrente di spostamento ed equazioni di Maxwell →.

• $\mathcal E = Ri + q/C$, con $i = dq/dt$.
• $q = C\mathcal E(1 - e^{-t/RC})$, $i = \frac{\mathcal E}{R}e^{-t/RC}$.
• $i_s = \varepsilon_0\frac{d\Phi(\vec E)}{dt}$; tra le armature $\Phi(\vec E) = q/\varepsilon_0$, quindi $i_s = dq/dt = i$.

Circuiti RL, autoinduzione e mutua induzione

18.02.2025 e 02.09.2025. Note: Autoinduzione, circuiti RL e LC, energia magneticaUn circuito percorso da corrente concatena il flusso del proprio campo: Φ = L i, con L coefficiente di autoinduzione (henry; solenoide L = μ0 n² Σ ℓ). Se i varia compare la fem autoindotta −L di/dt. Circuito RL in chiusura: i = (ℰ/R)(1 − e^(−t/τ)), τ = L/R (extracorrente di chiusura); in apertura i = i₀e^(−t/τ). Un'induttanza percorsa da i immagazzina U = ½Li², con densità di energia magnetica u = B²/(2μ0). Circuito LC: la carica oscilla come q₀cos(ωt), ω = 1/√(LC), con l'energia che passa dal condensatore all'induttanza e viceversa.Autoinduzione, circuiti RL e LC, energia magnetica →, Mutua induzione e circuiti accoppiatiIl flusso del campo di un circuito 1 concatenato con un circuito 2 è proporzionale alla corrente: Φ₂ = M i₁, e vale la simmetria M₁₂ = M₂₁ = M (coefficiente di mutua induzione, in henry). Se i₁ varia, nel circuito 2 compare ℰ₂ = −M di₁/dt. Casi tipici: bobina di N spire e area Σ in un solenoide M = μ0 n N Σ cos θ; piccola bobina vicino a un filo M = μ0 N Σ/(2πd). Energia di due circuiti accoppiati: U = ½L₁i₁² + ½L₂i₂² + M i₁ i₂, con |M| ≤ √(L₁L₂). Il trasformatore sfrutta la mutua induzione: V₂/V₁ = N₂/N₁.Mutua induzione e circuiti accoppiati →.

"Equazione di Ohm per un circuito RL; soluzione in chiusura; extracorrente di chiusura."

• $\mathcal E - L\frac{di}{dt} = Ri$; $i = \frac{\mathcal E}{R}(1 - e^{-Rt/L})$.
• Extracorrente: $-\frac{\mathcal E}{R}e^{-t/\tau}$, dovuta alla fem autoindotta che si oppone all'aumento della corrente; si smorza con $\tau = L/R$.

"Si definisca l'autoinduzione; si scriva la fem indotta per corrente variabile; per due circuiti accoppiati a geometria fissa, la fem nel circuito 1 dovuta alla corrente del circuito 2."

• $\Phi = Li$, $L$ dipende solo dalla geometria; $\mathcal E = -L\frac{di}{dt}$.
• $\Phi_1 = Mi_2$ con $M_{12} = M_{21}$; $\mathcal E_1 = -M\frac{di_2}{dt}$.

Forza di Lorentz e moto in campo magnetico

23.01.2025: "Forza di Lorentz e moto in campo uniforme: legge del moto con velocità iniziale normale al campo; periodo; velocità con componente parallela." Note: Campo magnetico, legge di Gauss magnetica e forza di LorentzIl campo magnetico B si definisce attraverso la forza che esercita su una carica in moto: forza di Lorentz F = q v × B, perpendicolare sia a v sia a B, quindi non compie lavoro e non cambia l'energia cinetica. Unità: tesla, 1 T = 1 N/(A·m). Con anche un campo elettrico F = q(E + v × B). Le linee di B sono chiuse (non esistono monopoli magnetici): il flusso di B attraverso qualunque superficie chiusa è nullo, ∮B·dΣ = 0, in forma locale div B = 0.Campo magnetico, legge di Gauss magnetica e forza di Lorentz →, Moto di una carica in un campo magnetico uniformeIn un campo B uniforme una carica con velocità perpendicolare a B percorre un moto circolare uniforme di raggio r = mv/(|q|B) con pulsazione ω = |q|B/m e periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipendono dalla velocità. Se v ha anche una componente parallela a B il moto è un'elica di passo p = v∥T. Applicazioni: selettore di velocità (E ⊥ B, passa chi ha v = E/B), spettrometro di massa, ciclotrone.Moto di una carica in un campo magnetico uniforme →.

• $\vec F = q\vec v \times \vec B$, perpendicolare a $\vec v$: moto circolare uniforme, $r = \frac{mv}{qB}$; legge oraria $x = r\sin\omega t$, $y = r(\cos\omega t - 1)$.
• $T = \frac{2\pi m}{qB}$, indipendente da $v$.
• Componente parallela costante: elica di passo $v_\parallel T$.

Momento su una spira

22.01.2026: "Momento magnetico di una spira quadrata; momento meccanico in un campo $\vec B$ che forma l'angolo $\theta$ con la normale; descrizione del moto." Nota: Forze e momenti magnetici su circuiti percorsi da correnteSeconda legge elementare di Laplace: su un tratto di filo ds percorso dalla corrente i agisce dF = i ds × B (somma delle forze di Lorentz sui portatori). Filo rettilineo in campo uniforme: F = i L × B; circuito chiuso in campo uniforme: forza totale nulla. Una spira piana ha momento magnetico m = iΣ u_n (N spire: NiΣ u_n); in un campo uniforme subisce il momento meccanico M = m × B, che la fa ruotare verso m parallelo a B, e ha energia potenziale U = −m·B.Forze e momenti magnetici su circuiti percorsi da corrente →.

• $\vec m = ia^2\vec u_n$.
• $\vec M = \vec m \times \vec B$, $M = ia^2B\sin\theta$, lungo l'asse di rotazione; forza totale nulla.
• La spira ruota verso $\vec m$ concorde a $\vec B$ (minimo di $U = -\vec m\cdot\vec B$), supera la posizione di equilibrio e oscilla attorno a essa come un pendolo; con attriti si ferma allineata.

Effetto Hall

24.06.2025: "Nastro di sezione $a\cdot b$, corrente lungo $x$, campo $B$ perpendicolare: campo elettromotore, tensione di Hall, funzionamento delle sonde." Nota: Effetto Hall e tensione di HallIn un conduttore percorso da corrente e immerso in un campo B perpendicolare, la forza di Lorentz spinge i portatori verso un lato: si accumulano cariche sui bordi finché il campo elettrico di Hall E_H bilancia il campo elettromotore v_d × B (E_H = v_d B). La tensione di Hall tra i bordi è V_H = iB/(nqa), con a lo spessore lungo B: il suo segno rivela il segno dei portatori, il suo valore permette di misurare n o, nelle sonde di Hall, il campo B.Effetto Hall e tensione di Hall →.

• $\vec E_m = \vec v_d \times \vec B$, $v_d = \frac{i}{nq\Sigma}$.
• Equilibrio: $E_H = v_dB$, $V_H = \frac{iB}{nqa}$ ($a$ spessore lungo $\vec B$).
• Sonda: semiconduttore con $i$, $n$, $a$ noti; $V_H \propto B$.

Seconda legge di Laplace, forza tra fili, ampere

26.06.2026: "Seconda legge elementare di Laplace; forza tra due fili paralleli con correnti uguali e opposte; definizione dell'unità di corrente." Note: Forze e momenti magnetici su circuiti percorsi da correnteSeconda legge elementare di Laplace: su un tratto di filo ds percorso dalla corrente i agisce dF = i ds × B (somma delle forze di Lorentz sui portatori). Filo rettilineo in campo uniforme: F = i L × B; circuito chiuso in campo uniforme: forza totale nulla. Una spira piana ha momento magnetico m = iΣ u_n (N spire: NiΣ u_n); in un campo uniforme subisce il momento meccanico M = m × B, che la fa ruotare verso m parallelo a B, e ha energia potenziale U = −m·B.Forze e momenti magnetici su circuiti percorsi da corrente →, Forza tra fili percorsi da correnteDue fili rettilinei paralleli indefiniti a distanza d, percorsi dalle correnti i1 e i2, si scambiano una forza per unità di lunghezza F/L = μ0 i1 i2/(2πd), lungo la congiungente: attrattiva se le correnti sono concordi, repulsiva se discordi (il contrario delle cariche elettriche). La forza si trova combinando Biot-Savart (campo di un filo nel punto dell'altro) e seconda legge di Laplace. Su questa forza si basava la definizione dell'ampere: 2·10⁻⁷ N/m tra fili a 1 m con 1 A.Forza tra fili percorsi da corrente →.

• $d\vec F = i\,d\vec s \times \vec B$.
• $\frac FL = \frac{\mu_0i^2}{2\pi d}$, lungo la congiungente, repulsiva (correnti opposte), uguale e opposta sui due fili.
• Ampere: corrente che in due fili paralleli indefiniti a $1$ m produce $2\cdot10^{-7}$ N/m (definizione storica; dal 2019 si fissa il valore di $e$).

Generatore di corrente continua

18.02.2026: "Circuito rettangolare con una sbarretta mobile e una resistenza $R$, in un campo $B$ uniforme ortogonale; sbarretta a velocità costante $v$: corrente, resistenza di attrito viscosa, potenza meccanica." Nota: Legge di Faraday-Neumann-Lenz e fem indottaQuando il flusso di B concatenato con un circuito cambia nel tempo, nel circuito compare la fem indotta ℰ = −dΦ/dt (legge di Faraday-Neumann); il segno meno (legge di Lenz) dice che la corrente indotta si oppone alla variazione di flusso. Il flusso può cambiare perché cambia B, l'area, l'orientazione o la posizione del circuito. Sbarretta su rotaie: ℰ = Bℓv, forza frenante B²ℓ²v/R, potenza meccanica uguale a quella dissipata; lasciata libera rallenta come v₀e^(−t/τ) con τ = mR/(B²ℓ²). Legge di Felici: la carica che circola è q = ΔΦ/R. In forma generale ∮E·ds = −dΦ/dt, cioè rot E = −∂B/∂t: il campo elettrico indotto non è conservativo.Legge di Faraday-Neumann-Lenz e fem indotta →.

• $\mathcal E = B\ell v$, $i = \frac{B\ell v}{R}$.
• $F = i\ell B = \frac{B^2\ell^2v}{R}$, opposta al moto.
• $P = Fv = \frac{B^2\ell^2v^2}{R} = Ri^2$: tutta la potenza meccanica diventa calore per effetto Joule.

Domande di laboratorio

Riguardano le tre esperienze di laboratorio del corso e valgono 1 punto; si risponde in tre righe descrivendo quello che si è fatto in laboratorio.

• 22.01.2026: valore della costante dielettrica del vuoto misurato nella prima esperienza e cause dello scostamento dal valore vero ($8{,}85\cdot10^{-12}$ F/m). Cause tipiche nella misura con un condensatore piano: effetti di bordo, capacità parassite dei cavi e dello strumento, incertezza sulla distanza tra le armature e sul loro parallelismo.
• 18.02.2026: nella misura del campo del solenoide, come si determina la densità di spire $n$ (spire per unità di lunghezza: numero di spire diviso per la lunghezza dell'avvolgimento).
• 26.06.2026: nella misura della costante dielettrica dell'aria, come si variava in modo controllato la distanza tra le armature del condensatore.