Forze e momenti magnetici su circuiti percorsi da corrente

Lezione del 19.11 (sezioni 6.4 e 6.5 del libro di testo). Prerequisiti: Campo magnetico, legge di Gauss magnetica e forza di LorentzIl campo magnetico B si definisce attraverso la forza che esercita su una carica in moto: forza di Lorentz F = q v × B, perpendicolare sia a v sia a B, quindi non compie lavoro e non cambia l'energia cinetica. Unità: tesla, 1 T = 1 N/(A·m). Con anche un campo elettrico F = q(E + v × B). Le linee di B sono chiuse (non esistono monopoli magnetici): il flusso di B attraverso qualunque superficie chiusa è nullo, ∮B·dΣ = 0, in forma locale div B = 0.Campo magnetico, legge di Gauss magnetica e forza di Lorentz →, Corrente elettrica, densità di corrente ed equazione di continuitàLa corrente i = dq/dt (ampere) è la carica che attraversa una sezione per unità di tempo; la densità di corrente J = n q v_d (portatori per unità di volume × carica × velocità di deriva) ha flusso i = ∫ J·n dS. La conservazione della carica si scrive come equazione di continuità ∇·J = −∂ρ/∂t; in regime stazionario ∇·J = 0, cioè la corrente entrante in una superficie chiusa è uguale a quella uscente.Corrente elettrica, densità di corrente ed equazione di continuità →, Dipolo elettrico e momento in un campo esternoUn dipolo elettrico è una coppia di cariche +q e −q a distanza a, descritta dal momento di dipolo p = qa (da −q a +q). A grande distanza il potenziale vale V = p cos θ/(4πε₀r²) e il campo decresce come 1/r³. In un campo uniforme il dipolo non subisce forza ma un momento meccanico M = p × E, che tende ad allinearlo al campo; la sua energia è U = −p·E.Dipolo elettrico e momento in un campo esterno → (l'analogo elettrico). Segue: Effetto Hall e tensione di HallIn un conduttore percorso da corrente e immerso in un campo B perpendicolare, la forza di Lorentz spinge i portatori verso un lato: si accumulano cariche sui bordi finché il campo elettrico di Hall E_H bilancia il campo elettromotore v_d × B (E_H = v_d B). La tensione di Hall tra i bordi è V_H = iB/(nqa), con a lo spessore lungo B: il suo segno rivela il segno dei portatori, il suo valore permette di misurare n o, nelle sonde di Hall, il campo B.Effetto Hall e tensione di Hall →.

Seconda legge elementare di Laplace

Dalla forza di Lorentz alla forza sul filo

Un filo di sezione $\Sigma$ è percorso dalla corrente $i$. Al suo interno ci sono $n$ portatori di carica $q$ per unità di volume, che si muovono con la velocità di derivaLa velocità media ordinata dei portatori lungo il filo, legata alla corrente da i = n q v_d Σ.Corrente elettrica, densità di corrente ed equazione di continuità → $\vec v_d$. Su ciascun portatore agisce $q\vec v_d \times \vec B$.

In un tratto di filo di lunghezza $ds$ i portatori sono $n\,\Sigma\,ds$ (densità per volume). La forza totale sul tratto è

$$d\vec F = (n\Sigma\,ds)\,q\,\vec v_d \times \vec B.$$

Si definisce il vettore $d\vec s$ di modulo $ds$, diretto lungo il filo nel verso della corrente. Poiché $nq\vec v_d\Sigma\,ds = (nqv_d\Sigma)\,d\vec s = i\,d\vec s$:

Seconda legge elementare di Laplace: $$d\vec F = i\,d\vec s \times \vec B.$$

La forza sui portatori si trasmette al reticolo del conduttore (i portatori non possono uscire dal filo), quindi è il filo intero a subirla. La forza su un circuito si ottiene integrando lungo il filo: $\vec F = i\int d\vec s \times \vec B$.

Filo rettilineo in campo uniforme

Se il filo è rettilineo, lungo $L$, e $\vec B$ è uniforme, $d\vec s$ ha sempre la stessa direzione e l'integrale è immediato:

$$\vec F = i\,\vec L \times \vec B, \qquad F = iLB\sin\theta.$$

Esempio. Filo lungo $\vec u_z$ percorso da $i_3 = 1{,}5$ A, in un campo $\vec B = -B\,\vec u_y$ con $B = 15{,}97\ \mu$T. Forza per unità di lunghezza: $\frac{d\vec F}{ds} = i_3\,\vec u_z \times (-B\,\vec u_y) = i_3 B\,\vec u_x$ (perché $\vec u_z \times \vec u_y = -\vec u_x$), di modulo $2{,}4\cdot10^{-5}$ N/m (appello 23.01.2024, Esercizio 2 · due fili paralleli, circuitazione e forza su un terzo filo).

Filo di forma qualsiasi in campo uniforme

Se $\vec B$ è uniforme si può portare fuori dall'integrale:

$$\vec F = i\left(\int_A^B d\vec s\right) \times \vec B = i\,\overrightarrow{AB} \times \vec B.$$

La somma dei tratti $d\vec s$ è il vettore che va dall'inizio alla fine del filo. Conseguenze:

• un filo curvo tra $A$ e $B$ subisce la stessa forza del segmento rettilineo $AB$;
• un circuito chiuso in un campo uniforme ha $\overrightarrow{AB} = \vec 0$: forza totale nulla. Può però subire un momento che lo fa ruotare.

Spira rettangolare in campo uniforme

Le forze sui quattro lati

Una spira rettangolare di lati $a$ e $b$, percorsa dalla corrente $i$, può ruotare attorno a un asse passante per il centro e parallelo ai lati $b$. Il campo $\vec B$ è uniforme, perpendicolare all'asse, e forma un angolo $\theta$ con la normale $\vec u_n$ alla spira (orientata con la regola della mano destra rispetto al verso della corrente).

• Lati $a$ (perpendicolari all'asse): le forze sono uguali e opposte e agiscono sulla stessa retta (lungo l'asse): si annullano e non producono momento.
• Lati $b$ (paralleli all'asse, perpendicolari a $\vec B$): ciascuno subisce una forza di modulo $F = ibB$, perpendicolare a $\vec B$, con versi opposti. Le due forze sono uguali e opposte ma su rette diverse: formano una coppia.

Il momento della coppia

Il braccio della coppia è la distanza tra le due rette d'azione, cioè la proiezione del lato $a$ sulla direzione perpendicolare alle forze: $a\sin\theta$. Il momento ha modulo

$$M = F\cdot a\sin\theta = iabB\sin\theta = i\Sigma B\sin\theta,$$

con $\Sigma = ab$ l'area della spira. Il prodotto $i\Sigma$ e la direzione $\vec u_n$ caratterizzano completamente la spira: si definisce

Momento magnetico della spira: $$\vec m = i\,\Sigma\,\vec u_n \qquad (\text{per una bobina di } N \text{ spire: } \vec m = N i\Sigma\,\vec u_n),$$ e il momento meccanico in un campo uniforme è $$\vec M = \vec m \times \vec B.$$

Unità di $m$: A·m². Il risultato vale per qualunque spira piana, non solo rettangolare (si decompone la spira in tante strisce rettangolari sottili).

Esempio (domanda dell'appello 22.01.2026). Spira quadrata di lato $a$ percorsa da $i$: $\vec m = i a^2\,\vec u_n$; se $\vec B$ forma l'angolo $\theta$ con $\vec u_n$, $M = ia^2B\sin\theta$, diretto lungo l'asse di rotazione.

Energia potenziale del dipolo magnetico

Calcolo

Per ruotare la spira dall'angolo $\theta$ a $\theta + d\theta$ contro il momento magnetico, un agente esterno compie il lavoro $dW = M\,d\theta = mB\sin\theta\,d\theta$. Questo lavoro si accumula come energia potenziale:

$$U(\theta) = \int mB\sin\theta\,d\theta = -mB\cos\theta + \text{cost}.$$

Scegliendo la costante nulla:

$$U = -\vec m\cdot\vec B = -mB\cos\theta.$$

È la stessa forma dell'energia del dipolo elettrico, $U = -\vec p\cdot\vec E$.

Equilibrio e moto

• Il momento tende sempre a portare $\vec m$ parallelo e concorde a $\vec B$, come un ago magnetico che si orienta nel campo.
• Moto della spira lasciata libera con $\theta \ne 0$: ruota verso $\theta = 0$, ci arriva con velocità angolare non nulla e lo supera; in assenza di attriti oscilla attorno alla posizione di equilibrio stabile come un pendolo. Per piccoli angoli, $\sin\theta \approx \theta$ e il moto è armonico con $\Omega = \sqrt{mB/I}$, dove $I$ è il momento d'inerzia della spira. Con attriti le oscillazioni si smorzano e la spira si ferma allineata al campo.
• Lavoro della forza magnetica quando il dipolo ruota da $\theta_i$ a $\theta_f$: $W = -\Delta U = U_i - U_f$. Nell'appello del 02.09.2025 (Esercizio 16 · tre fili paralleli e dipolo magnetico) il dipolo si allinea al campo: $U_f = -mB$ e $W = U_i + mB > 0$.
• Se un dipolo è in equilibrio stabile e si conosce la sua energia, si ricava subito il campo: $U = -mB \implies B = -U/m$ (appello 03.09.2024, Esercizio 8 · filo con tratti semi-infiniti e semicirconferenza, dipolo magnetico al centro).

Forza in un campo non uniforme (cenno)

In un campo uniforme la forza totale su una spira è nulla. Se il campo non è uniforme, la forza è $\vec F = -\nabla U = \nabla(\vec m\cdot\vec B)$: un dipolo allineato al campo viene attirato verso le zone dove $B$ è più intenso (per questo una calamita attira un pezzo di ferro, che si magnetizza allineato al campo).

Applicazioni

• Motore elettrico in corrente continua: una bobina in un campo magnetico ruota per effetto del momento; un commutatore inverte la corrente ogni mezzo giro, così il momento ha sempre lo stesso verso.
• Galvanometro: una bobina sospesa a una molla a torsione ruota di un angolo proporzionale alla corrente; misura le correnti.

Analogia con il dipolo elettrico

L'analogia vale anche per il campo prodotto a grande distanza: una piccola spira genera un campo con la stessa forma di quello del dipolo elettrico (Campo di una spira e di un solenoideUna spira circolare di raggio R percorsa da i genera sul suo asse B(z) = μ0 i R²/[2(R² + z²)^(3/2)], diretto lungo l'asse (al centro μ0 i/(2R)); lontano dalla spira B ≈ (μ0/4π)·2m/z³ con m = iπR²: è il campo di un dipolo magnetico (principio di equivalenza di Ampère: una spira piccola equivale a un ago magnetico). Un solenoide di n spire per unità di lunghezza genera all'interno, se indefinito, il campo uniforme B = μ0 n i parallelo all'asse, e nullo all'esterno.Campo di una spira e di un solenoide →).

Errori comuni

• Dimenticare $N$ nel momento magnetico di una bobina.
• Confondere l'angolo: $\theta$ è tra $\vec B$ e la normale alla spira, non tra $\vec B$ e il piano della spira. Con $\vec B$ nel piano della spira il momento è massimo.
• Pensare che in un campo uniforme la spira trasli: la forza totale è nulla, c'è solo rotazione.
• Segno del lavoro: il lavoro della forza magnetica è $-\Delta U$, quello di un agente esterno (a velocità trascurabile) è $+\Delta U$.