Esercizio 11particella tra due piani carichi e selettore di velocità

Testo (Prova del 18.02.2025, problema 1). Una particella di massa $m = 6{,}64\cdot10^{-27}$ kg e carica $q = +3{,}20\cdot10^{-19}$ C si muove tra due piani carichi orizzontali e paralleli: quello superiore ha densità $\sigma_1 = +4{,}2\cdot10^{-8}$ C/m², quello inferiore $\sigma_2 = +8{,}4\cdot10^{-8}$ C/m². I piani sono abbastanza vicini da potersi considerare indefiniti; la gravità è assente. All'istante $t = 0$ la particella è nel punto P, sull'asse orizzontale a metà tra i piani, con velocità parallela all'asse di modulo $v_0 = 4{,}25\cdot10^5$ m/s. Esce dai piani nel punto Q (da stabilire se sopra o sotto l'asse), a distanza $\Delta y = 3{,}26$ cm dall'asse. Si determini:

f) modulo, direzione e verso del campo elettrico e della forza sulla particella (2 punti); g) il tempo di transito tra P e Q (2 punti); h) l'energia cinetica finale in Q (2 punti); i) il lavoro compiuto dalla forza elettrica (1 punto); j) l'angolo di uscita in Q rispetto all'asse (1 punto).

Si ripete l'esperimento con un campo magnetico uniforme perpendicolare al piano della traiettoria; la particella parte da P con la stessa velocità $v_0$. Si determini:

k) modulo e verso del campo magnetico $B$ perché la particella mantenga invariata la sua energia cinetica da P a Q (2 punti).

Sistema di riferimento

$x$ lungo l'asse, nel verso della velocità iniziale; $y$ verticale verso l'alto (verso il piano 1); $z$ uscente dal foglio. La particella ha la massa e la carica di un nucleo di elio (particella $\alpha$: $q = 2e$).

f) Campo e forza

Campo di ciascun piano

Ogni piano indefinito genera un campo uniforme di modulo $\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$, perpendicolare al piano e uscente dal piano se $\sigma > 0$ (Campo tra due piani carichi e moto di una caricaDue piani indefiniti paralleli sommano i loro campi σ/(2ε₀): con densità opposte ±σ il campo è σ/ε₀ tra i piani e nullo fuori; con densità qualsiasi σ₁, σ₂ tra i piani vale (σ₁ − σ₂)/(2ε₀). In un campo uniforme una carica ha accelerazione costante a = qE/m: se entra con velocità perpendicolare al campo descrive una parabola, come un proiettile.Campo tra due piani carichi e moto di una carica →). Nella zona tra i piani:

• il piano 1 (sopra) dà un campo verso il basso: $-\frac{\sigma_1}{2\varepsilon_0}\vec u_y$;
• il piano 2 (sotto) dà un campo verso l'alto: $+\frac{\sigma_2}{2\varepsilon_0}\vec u_y$.

Campo totale

I due campi sono opposti e prevale quello del piano più carico:

$$\vec E = \frac{\sigma_2 - \sigma_1}{2\varepsilon_0}\vec u_y = \frac{4{,}2\cdot10^{-8}}{2\cdot8{,}854\cdot10^{-12}}\vec u_y = \boxed{2{,}37\cdot10^3\ \text{V/m}\ \vec u_y}$$

(Con due piani di carica uguale il campo tra di essi sarebbe nullo; con cariche opposte sarebbe $\sigma/\varepsilon_0$, come nel condensatore.)

Forza

$q > 0$, quindi la forza ha il verso del campo:

$$\vec F = q\vec E = 3{,}20\cdot10^{-19}\cdot2372\ \vec u_y = \boxed{7{,}59\cdot10^{-16}\ \text{N}\ \vec u_y}$$

La particella viene deviata verso l'alto: Q è sopra l'asse.

g) Tempo di transito

Due moti indipendenti

La forza è costante e solo lungo $y$:

• lungo $x$ nessuna forza: moto uniforme con velocità $v_0$;
• lungo $y$ accelerazione costante $a = \frac{qE}{m}$, partendo con $v_y = 0$: moto uniformemente accelerato.

È lo stesso moto di un proiettile lanciato orizzontalmente, con la forza elettrica al posto del peso. La lunghezza dei piani non è data, ma è dato lo spostamento verticale in uscita: si lavora sulla componente $y$.

$$a = \frac{qE}{m} = \frac{7{,}59\cdot10^{-16}}{6{,}64\cdot10^{-27}} = 1{,}143\cdot10^{11}\ \text{m/s}^2.$$

$$\Delta y = \frac12at^2 \implies t = \sqrt{\frac{2\Delta y}{a}} = \sqrt{\frac{2\cdot0{,}0326}{1{,}143\cdot10^{11}}} = \boxed{7{,}55\cdot10^{-7}\ \text{s}}$$

(Ne segue la lunghezza dei piani: $L = v_0t = 32$ cm.)

h) Energia cinetica finale

Velocità verticale in uscita: $v_y = at = 1{,}143\cdot10^{11}\cdot7{,}55\cdot10^{-7} = 8{,}63\cdot10^4$ m/s. La componente $x$ è rimasta $v_0$:

$$E_{c,f} = \frac12m\left(v_0^2 + v_y^2\right) = \frac12\cdot6{,}64\cdot10^{-27}\cdot\left(1{,}806\cdot10^{11} + 7{,}45\cdot10^9\right) = \boxed{6{,}24\cdot10^{-16}\ \text{J}}$$

i) Lavoro della forza elettrica

Per il teorema dell'energia cinetica il lavoro è la variazione di energia cinetica. Quella iniziale è $E_{c,i} = \frac12mv_0^2 = 6{,}00\cdot10^{-16}$ J:

$$W = E_{c,f} - E_{c,i} = \frac12mv_y^2 = \boxed{2{,}47\cdot10^{-17}\ \text{J}}$$

Controllo diretto. La forza è costante e lo spostamento lungo la forza è $\Delta y$: $W = F\,\Delta y = 7{,}59\cdot10^{-16}\cdot0{,}0326 = 2{,}47\cdot10^{-17}$ J ✓ (equivale a $q\,\Delta V$ con $\Delta V = E\Delta y = 77$ V).

j) Angolo di uscita

La direzione della velocità in Q è data dal rapporto tra le componenti:

$$\theta = \arctan\frac{v_y}{v_0} = \arctan\frac{8{,}63\cdot10^4}{4{,}25\cdot10^5} = \arctan0{,}203 = \boxed{11{,}5°}$$

sopra l'asse.

k) Campo magnetico per l'energia costante

Perché serve un moto rettilineo

La forza magnetica non compie lavoro, quella elettrica sì (se la particella si sposta lungo $y$). Perché l'energia cinetica resti costante, la forza elettrica non deve compiere lavoro: la particella non deve spostarsi lungo $\vec E$. Il modo più semplice è che proceda in linea retta lungo l'asse, con la forza magnetica che bilancia esattamente quella elettrica: è il selettore di velocitàCon E e B perpendicolari, le forze elettrica e magnetica si bilanciano solo per v = E/B: quelle particelle passano dritte.Moto di una carica in un campo magnetico uniforme →.

Modulo

$$qE = qv_0B \implies B = \frac E{v_0} = \frac{2372}{4{,}25\cdot10^5} = \boxed{5{,}58\ \text{mT}}$$

Verso

Serve una forza magnetica verso $-y$. Con $\vec v = v_0\vec u_x$ e $q > 0$: $q\vec v \times \vec B$ deve essere lungo $-\vec u_y$. Poiché $\vec u_x \times \vec u_z = -\vec u_y$, il campo deve essere lungo $+z$, uscente dal foglio.

In questo caso la particella esce sull'asse (non più in Q sopra l'asse), con la stessa velocità di ingresso.

Riepilogo

Errori comuni

• Sommare i campi dei due piani: tra due piani con cariche dello stesso segno i campi sono opposti.
• Cercare la lunghezza dei piani per il tempo: basta il moto lungo $y$.
• Scegliere il verso di $B$ per tentativi: si scrive $\vec u_x \times \vec u_z = -\vec u_y$ e si controlla il segno di $q$.