Esercizio 24protone tra due piani carichi e poi in un campo magnetico

Testo (Prova del 26.06.2026, problema 2). Un protone ($m = 1{,}67\cdot10^{-27}$ kg, carica $e = 1{,}6\cdot10^{-19}$ C) si muove nel campo elettrostatico generato da due piani dielettrici paralleli orizzontali, da considerarsi indefiniti, carichi con densità $-\sigma$ (quello superiore) e $-5\sigma$ (quello inferiore), dove $\sigma = 6\cdot10^{-8}$ C/m². All'istante $t_0 = 0$ il protone è nel punto P, vicino al piano superiore, con velocità $v_0 = 3\cdot10^5$ m/s inclinata di $\theta = 45°$ verso il basso rispetto all'orizzontale; esce dalla zona del campo elettrostatico nel punto Q. Uscito da questa regione, entra con velocità $v$ in una regione con campo magnetico uniforme $B$ (perpendicolare al foglio), dove percorre una traiettoria circolare di raggio $r = 30$ cm e periodo $T = 5\ \mu$s. Determinare:

a) l'intensità del campo magnetico $B$ (2 punti); b) l'angolo $\phi$ rispetto all'orizzontale con cui il protone esce dalla zona del campo elettrostatico (3 punti); c) la differenza di potenziale elettrostatico tra i punti Q e P (2,5 punti); d) lo spostamento verticale $\Delta y$ tra P e Q (2,5 punti).

Strategia

Il problema si risolve all'indietro: il moto circolare nel campo magnetico fornisce la velocità in Q; da questa, con la conservazione della componente orizzontale e dell'energia, si ricava tutto il resto. Assi: $x$ orizzontale verso destra, $y$ verticale verso l'alto.

a) Campo magnetico

Nel campo magnetico il protone percorre un moto circolare uniforme. Uguagliando la forza di Lorentz alla forza centripeta (Moto di una carica in un campo magnetico uniformeIn un campo B uniforme una carica con velocità perpendicolare a B percorre un moto circolare uniforme di raggio r = mv/(|q|B) con pulsazione ω = |q|B/m e periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipendono dalla velocità. Se v ha anche una componente parallela a B il moto è un'elica di passo p = v∥T. Applicazioni: selettore di velocità (E ⊥ B, passa chi ha v = E/B), spettrometro di massa, ciclotrone.Moto di una carica in un campo magnetico uniforme →):

$$evB = m\frac{v^2}{r} \implies eB = m\frac vr = m\omega = m\frac{2\pi}{T}.$$

Il periodo non dipende dalla velocità, quindi basta $T$:

$$B = \frac{2\pi m}{eT} = \frac{2\pi\cdot1{,}67\cdot10^{-27}}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot5\cdot10^{-6}} = \boxed{13{,}1\ \text{mT}}$$

b) Angolo di uscita

Velocità in Q

Nel moto circolare uniforme la velocità è costante in modulo e vale

$$v = \frac{2\pi r}{T} = \frac{2\pi\cdot0{,}3}{5\cdot10^{-6}} = 3{,}77\cdot10^5\ \text{m/s}.$$

La forza magnetica non cambia il modulo della velocità, quindi questo è anche il modulo della velocità con cui il protone arriva in Q.

Conservazione della componente orizzontale

Tra i piani il campo elettrico è verticale (i piani sono orizzontali): la forza è solo lungo $y$ e la componente $x$ della velocità non cambia:

$$v_{0x} = v_0\cos\theta = 3\cdot10^5\cdot0{,}7071 = 2{,}12\cdot10^5\ \text{m/s}.$$

Angolo

In Q: $v_x = v_{0x}$ e $|v_y| = \sqrt{v^2 - v_{0x}^2} = 3{,}12\cdot10^5$ m/s. L'angolo con l'orizzontale è

$$\phi = \arctan\frac{|v_y|}{v_{0x}} = \arctan\sqrt{\left(\frac{v}{v_{0x}}\right)^2 - 1} = \arctan\sqrt{1{,}777^2 - 1} = \boxed{55{,}8°}$$

verso il basso. L'angolo è aumentato da $45°$ a $55{,}8°$: il protone è stato accelerato verso il basso.

c) Differenza di potenziale tra Q e P

Perché la conservazione dell'energia

Tra P e Q agisce solo la forza elettrostatica, conservativa: $E_k + eV$ si conserva (Energia potenziale elettrostatica e conservazione dell'energiaUna carica q in un punto a potenziale V ha energia potenziale U = qV; il lavoro del campo è W = −ΔU = −qΔV e l'energia meccanica si conserva: ½mv² + qV = costante. L'energia di un sistema di cariche puntiformi è U = Σ (coppie) qᵢqⱼ/(4πε₀rᵢⱼ), il lavoro necessario per assemblarlo dall'infinito. 1 eV = 1,6·10⁻¹⁹ J è l'energia guadagnata da una carica e attraverso 1 V.Energia potenziale elettrostatica e conservazione dell'energia →).

$$\frac12mv_0^2 + eV_P = \frac12mv^2 + eV_Q \implies V_Q - V_P = \frac{m}{2e}\left(v_0^2 - v^2\right).$$

$$V_Q - V_P = \frac{1{,}67\cdot10^{-27}}{2\cdot1{,}6\cdot10^{-19}}\left(9{,}00\cdot10^{10} - 1{,}421\cdot10^{11}\right) = \boxed{-272\ \text{V}}$$

Il protone, positivo, ha guadagnato energia cinetica scendendo verso potenziali più bassi.

d) Spostamento verticale

Campo tra i piani

Un piano carico negativamente genera un campo diretto verso il piano, di modulo $\frac{|\sigma|}{2\varepsilon_0}$ (Campo tra due piani carichi e moto di una caricaDue piani indefiniti paralleli sommano i loro campi σ/(2ε₀): con densità opposte ±σ il campo è σ/ε₀ tra i piani e nullo fuori; con densità qualsiasi σ₁, σ₂ tra i piani vale (σ₁ − σ₂)/(2ε₀). In un campo uniforme una carica ha accelerazione costante a = qE/m: se entra con velocità perpendicolare al campo descrive una parabola, come un proiettile.Campo tra due piani carichi e moto di una carica →). Tra i due piani:

• piano inferiore ($-5\sigma$): campo verso il basso, $-\frac{5\sigma}{2\varepsilon_0}\vec u_y$;
• piano superiore ($-\sigma$): campo verso l'alto, $+\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\vec u_y$.

$$\vec E = -\frac{5\sigma}{2\varepsilon_0}\vec u_y + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\vec u_y = -\frac{2\sigma}{\varepsilon_0}\vec u_y = -\frac{2\cdot6\cdot10^{-8}}{8{,}854\cdot10^{-12}}\vec u_y = (-13{,}6\ \text{kV/m})\,\vec u_y.$$

Il campo punta verso il basso, coerente con il protone accelerato verso il basso.

Dalla d.d.p. allo spostamento

In un campo uniforme la d.d.p. tra due punti dipende solo dallo spostamento lungo il campo: $|\Delta V| = |\vec E|\,\Delta y$.

$$\Delta y = \frac{|\Delta V|}{|\vec E|} = \frac{272}{13\,553} = \boxed{20{,}1\ \text{mm}}$$

Controllo con la cinematica. Accelerazione $a = \frac{eE}{m} = 1{,}30\cdot10^{12}$ m/s²; $v_y^2 - v_{0y}^2 = 2a\,\Delta y$ con $v_{0y} = 2{,}12\cdot10^5$ m/s e $v_y = 3{,}12\cdot10^5$ m/s dà $\Delta y = \frac{(3{,}12^2 - 2{,}12^2)\cdot10^{10}}{2\cdot1{,}30\cdot10^{12}} = 20{,}1$ mm ✓. Il tempo di transito è $\frac{v_y - v_{0y}}{a} = 77$ ns.

Riepilogo

Errori comuni

• Cercare la velocità in Q con la cinematica senza sapere $\Delta y$: conviene ricavarla dal moto circolare.
• Far cambiare $v_x$ tra i piani: la forza elettrica è verticale.
• Sommare i moduli dei campi dei due piani: tra due piani con cariche dello stesso segno i campi sono opposti, e prevale il piano più carico.