Esercizio 9condensatore piano con dielettrico estratto a metà e scarica

Testo (Prova del 23.01.2025, problema 1). Un condensatore piano è riempito con materiale dielettrico di costante relativa $\kappa = 2$. L'area delle armature è $\Sigma = 125$ cm² e la distanza tra le armature è $d = 0{,}2$ cm. Il condensatore viene caricato con un generatore di forza elettromotrice $\mathcal E = 120$ V e poi isolato. Si calcoli:

a) la carica sulle armature (2 punti).

Il dielettrico viene estratto fino a occupare solo metà del volume (figura 1B: metà dell'area delle armature, parte A, è senza dielettrico, l'altra metà, parte B, è piena). Si calcoli:

b) il nuovo potenziale tra le armature (2 punti); c) il rapporto tra le cariche delle due sezioni A e B del condensatore (2 punti); d) il lavoro fatto dalla forza esterna per estrarre il dielettrico (2 punti).

Il condensatore viene chiuso su una resistenza $R = 5$ M$\Omega$. Calcolare:

e) l'energia dissipata sulla resistenza dopo $t_1 = \tau$ (2 punti).

Dati in unità SI

$\Sigma = 125\cdot10^{-4} = 0{,}0125$ m², $d = 2\cdot10^{-3}$ m, $\varepsilon_0 = 8{,}854\cdot10^{-12}$ F/m.

a) Carica

La capacità di un condensatore piano pieno di dielettrico è $\kappa$ volte quella nel vuoto (Dielettrici - polarizzazione e vettore induzione elettricaUn dielettrico che riempie un condensatore ne moltiplica la capacità per la costante dielettrica relativa ε_r (κ) e, a carica fissata, divide campo e d.d.p. per ε_r. Il motivo è la polarizzazione: i dipoli molecolari si allineano (vettore P = momento di dipolo per unità di volume) e compaiono cariche di polarizzazione σ_p = P·n = (ε_r − 1)/ε_r · σ_lib che schermano il campo. Il vettore D = ε₀E + P ha flusso uguale alla sola carica libera: ∮D·n dS = Q_lib, e D = ε₀ε_r E.Dielettrici - polarizzazione e vettore induzione elettrica →):

$$C = \frac{\varepsilon_0\kappa\Sigma}{d} = \frac{8{,}854\cdot10^{-12}\cdot2\cdot0{,}0125}{0{,}002} = 110{,}7\ \text{pF}.$$

Il generatore impone la d.d.p. $\mathcal E$ finché è collegato:

$$q = C\mathcal E = 110{,}7\cdot10^{-12}\cdot120 = \boxed{13{,}3\ \text{nC}}$$

b) Nuovo potenziale

Il condensatore come due condensatori in parallelo

Con il dielettrico solo su metà area (la lastra è sfilata lateralmente, e copre tutto lo spessore $d$ ma metà della superficie), le due metà hanno le armature in comune e la stessa d.d.p.: sono due condensatori in parallelo, ciascuno con area $\Sigma/2$.

• Parte A (vuoto): $C_A = \frac{\varepsilon_0\Sigma}{2d}$.
• Parte B (dielettrico): $C_B = \frac{\varepsilon_0\kappa\Sigma}{2d} = \kappa C_A$.

$$C_{eq} = C_A + C_B = \frac{\varepsilon_0\Sigma}{2d}(1 + \kappa) = \frac{8{,}854\cdot10^{-12}\cdot0{,}0125}{0{,}004}\cdot3 = 83{,}0\ \text{pF}.$$

È $\frac{1 + \kappa}{2\kappa} = \frac34$ della capacità iniziale: logico, metà condensatore ha perso il dielettrico.

Il condensatore è isolato: si conserva la carica

$$V_C = \frac{q}{C_{eq}} = \frac{13{,}28\cdot10^{-9}}{83{,}0\cdot10^{-12}} = \boxed{160\ \text{V}}$$

Il potenziale aumenta (da $120$ a $160$ V): la stessa carica su una capacità minore. Più precisamente $V_C = \mathcal E\frac{C}{C_{eq}} = 120\cdot\frac43$.

c) Rapporto tra le cariche delle due sezioni

Le due parti sono in parallelo, quindi hanno la stessa d.d.p. $V_C$. La carica di ciascuna è proporzionale alla sua capacità:

$$q_A = C_AV_C, \qquad q_B = C_BV_C = \kappa C_AV_C \implies \frac{q_A}{q_B} = \frac1\kappa = \boxed{0{,}5}$$

Numericamente $q_A = 4{,}43$ nC e $q_B = 8{,}85$ nC (somma $13{,}3$ nC ✓). La carica si sposta sulla parte con il dielettrico: lì le cariche di polarizzazione schermano parte del campo e l'armatura può ospitare più carica libera a parità di d.d.p. (il campo $E = V_C/d$ è lo stesso nelle due parti).

d) Lavoro della forza esterna

Perché la variazione di energia

Il condensatore è isolato e l'estrazione è lenta: il lavoro della forza esterna va tutto in energia del condensatore (Energia del campo elettrostaticoCaricare un condensatore costa lavoro, immagazzinato come energia U = ½q²/C = ½CΔV² = ½qΔV; questa energia è localizzata nel campo, con densità u = ½ε₀E² (½εE² in un dielettrico). Con il condensatore isolato si conserva q, collegato al generatore si conserva ΔV: nel secondo caso il generatore fa un lavoro doppio della variazione di energia del condensatore.Energia del campo elettrostatico →). Con la carica fissa si usa $U = \frac{q^2}{2C}$:

$$W_{ext} = \Delta U = \frac{q^2}{2C_{eq}} - \frac{q^2}{2C} = \frac{q^2}{2}\left(\frac1{C_{eq}} - \frac1C\right).$$

$U_i = \frac{(13{,}28\cdot10^{-9})^2}{2\cdot110{,}7\cdot10^{-12}} = 0{,}797\ \mu$J, $U_f = \frac{(13{,}28\cdot10^{-9})^2}{2\cdot83{,}0\cdot10^{-12}} = 1{,}062\ \mu$J.

$$W_{ext} = 1{,}062 - 0{,}797 = \boxed{0{,}27\ \mu\text{J}}$$

È positivo: il dielettrico è attratto dentro il condensatore e per estrarlo bisogna tirarlo.

e) Energia dissipata nella scarica dopo $\tau$

Scarica RC

Chiuso su $R$, il condensatore (capacità $C_{eq}$, d.d.p. iniziale $V_C(0) = 160$ V) si scarica con costante di tempo $\tau = RC_{eq} = 5\cdot10^6\cdot83\cdot10^{-12} = 415\ \mu$s (Carica e scarica di un condensatore (circuito RC)In un circuito RC la carica non cambia istantaneamente: in carica q(t) = Cℰ(1 − e^(−t/τ)), i(t) = (ℰ/R)e^(−t/τ); in scarica q(t) = q₀e^(−t/τ), con costante di tempo τ = RC (dopo circa 5τ il transitorio è finito). Durante la carica il generatore fornisce Cℰ², metà va nel condensatore e metà è dissipata nella resistenza; in scarica tutta l'energia ½q₀²/C si dissipa, con legge e^(−2t/τ).Carica e scarica di un condensatore (circuito RC) →):

$$V_C(t) = V_C(0)\,e^{-t/\tau}, \qquad P(t) = \frac{V_C(t)^2}{R} = \frac{V_C(0)^2}{R}e^{-2t/\tau}.$$

Integrale

$$W_R = \int_0^{\tau}P\,dt = \frac{V_C(0)^2}{R}\cdot\frac\tau2\left(1 - e^{-2}\right) = \frac12C_{eq}V_C(0)^2\left(1 - e^{-2}\right),$$

usando $\frac{\tau}{R} = C_{eq}$. L'energia dissipata è la frazione $1 - e^{-2} = 0{,}865$ dell'energia iniziale $U_f = 1{,}062\ \mu$J:

$$W_R = 1{,}062\cdot0{,}865 = \boxed{0{,}92\ \mu\text{J}}$$

Dopo una sola costante di tempo resta solo il $13{,}5\%$ dell'energia, perché l'energia decade come $e^{-2t/\tau}$, il doppio più in fretta della carica.

Riepilogo

Errori comuni

• Trattare le due metà come una serie: la serie si ha quando il dielettrico riempie metà dello spessore su tutta l'area.
• Tenere fissa la d.d.p. dopo l'isolamento: è la carica a restare costante.
• Usare $e^{-1}$ per l'energia dopo $\tau$: l'esponente dell'energia è $-2t/\tau$.