Esercizio 13condensatori piano e sferico in parallelo con dielettrico

Testo (Prova del 24.06.2025, problema 1). Un condensatore piano $C_1$ e uno sferico $C_2$ sono collegati in parallelo. Le armature piane hanno superficie $S = 400$ cm² e distanza $d = 1{,}5$ cm. I raggi delle armature sferiche sono $r_1 = 0{,}1$ m e $r_2 = 0{,}3$ m. I due condensatori vengono caricati con una carica totale $q = 8\cdot10^{-8}$ C e poi isolati. Determinare:

1. la differenza di potenziale $V$ tra le armature (2 punti).

Lo spazio tra le armature del condensatore piano viene riempito completamente con un dielettrico di costante relativa $\varepsilon_r = 2$. Calcolare:

2. il campo elettrostatico $E$ tra le armature del condensatore piano (2 punti);
3. la densità di carica di polarizzazione $\sigma_p$ (2 punti);
4. il campo elettrico nel condensatore sferico a distanza $r = 0{,}2$ m dal centro (2 punti).

Successivamente il condensatore $C_1$ viene isolato e il dielettrico viene estratto in modo che riempia solo metà del condensatore (metà dell'area delle armature). Calcolare:

5. il lavoro svolto dalla forza esterna per estrarre il dielettrico (2 punti).

Idea guida

In tutto l'esercizio i due condensatori sono in parallelo (stessa d.d.p.) e il sistema è isolato (la carica totale $q$ non cambia). Quando cambia la capacità di uno dei due, la carica si ridistribuisce tra i condensatori finché le d.d.p. tornano uguali. Regola: $V = \frac{q}{C_1 + C_2}$ con le capacità del momento (Condensatori - capacità, serie e paralleloUn condensatore sono due conduttori in induzione completa con cariche ±q; la capacità C = q/ΔV (farad) dipende solo dalla geometria: piano ε₀S/d, sferico 4πε₀R₁R₂/(R₂ − R₁), cilindrico 2πε₀L/ln(R₂/R₁). In parallelo le capacità si sommano (stessa ΔV), in serie si sommano gli inversi (stessa carica). Con un dielettrico che riempie il condensatore C diventa ε_r C.Condensatori - capacità, serie e parallelo →).

1. D.d.p. iniziale

$$C_1 = \frac{\varepsilon_0S}{d} = \frac{8{,}854\cdot10^{-12}\cdot0{,}04}{0{,}015} = 23{,}6\ \text{pF}, \qquad C_2 = 4\pi\varepsilon_0\frac{r_1r_2}{r_2 - r_1} = 4\pi\varepsilon_0\frac{0{,}03}{0{,}2} = 16{,}7\ \text{pF}.$$

$$V = \frac{q}{C_1 + C_2} = \frac{8\cdot10^{-8}}{40{,}3\cdot10^{-12}} = \boxed{1985\ \text{V}}$$

2. Campo nel condensatore piano con il dielettrico

Nuova d.d.p.

Il dielettrico moltiplica la capacità del condensatore piano per $\varepsilon_r$: $C_1' = \varepsilon_rC_1 = 47{,}2$ pF. La carica totale si conserva e si ridistribuisce:

$$V' = \frac{q}{\varepsilon_rC_1 + C_2} = \frac{8\cdot10^{-8}}{63{,}9\cdot10^{-12}} = 1252\ \text{V}.$$

La d.d.p. scende, perché la capacità totale è aumentata. Il condensatore piano ora porta $q_1' = \varepsilon_rC_1V' = 59{,}1$ nC, lo sferico $q_2' = C_2V' = 20{,}9$ nC (prima erano $46{,}9$ e $33{,}1$ nC): parte della carica è passata dallo sferico al piano.

Campo

Tra armature piane il campo è uniforme, $E = V/d$:

$$E_1 = \frac{V'}{d} = \frac{1252}{0{,}015} = \boxed{8{,}34\cdot10^4\ \text{V/m}}$$

3. Carica di polarizzazione

Relazione tra carica libera e di polarizzazione

In un dielettrico che riempie un condensatore piano, sulle facce compare una carica di polarizzazione di segno opposto a quella dell'armatura adiacente, con densità (carica di polarizzazioneσ_p = P = ε0(εr − 1)E = (εr − 1)/εr · σ_libera: riduce il campo di un fattore εr.Dielettrici - polarizzazione e vettore induzione elettrica →)

$$\sigma_p = \frac{\varepsilon_r - 1}{\varepsilon_r}\sigma', \qquad \sigma' = \frac{q_1'}{S}.$$

Calcolo

$\sigma' = \frac{\varepsilon_rC_1V'}{S}$, quindi

$$\sigma_p = \frac{\varepsilon_r - 1}{\varepsilon_r}\cdot\frac{\varepsilon_rC_1V'}{S} = (\varepsilon_r - 1)\frac{C_1V'}{S} = 1\cdot\frac{23{,}6\cdot10^{-12}\cdot1252}{0{,}04} = \boxed{7{,}4\cdot10^{-7}\ \text{C/m}^2}$$

Controllo: $\sigma_p = \varepsilon_0(\varepsilon_r - 1)E_1 = 8{,}854\cdot10^{-12}\cdot8{,}34\cdot10^4 = 7{,}4\cdot10^{-7}$ C/m² ✓.

4. Campo nel condensatore sferico

Tra le armature sferiche il campo è quello della carica dell'armatura interna, come se fosse concentrata nel centro (legge di Gauss su una sfera di raggio $r$, Legge di Gauss - guscio, sfera, cilindro e pianoCon la legge di Gauss e una superficie scelta secondo la simmetria si trovano subito i campi: guscio sferico (nullo dentro, q/(4πε₀r²) fuori), sfera piena uniforme (ρr/(3ε₀) dentro, cresce linearmente), cilindro o filo indefinito (λ/(2πε₀r) fuori), piano indefinito (σ/(2ε₀)); integrando il campo si ottengono i potenziali.Legge di Gauss - guscio, sfera, cilindro e piano →). La carica è quella dopo la ridistribuzione, $q_2' = C_2V'$:

$$E_2(r) = \frac{q_2'}{4\pi\varepsilon_0r^2} = \frac{C_2V'}{4\pi\varepsilon_0r^2} = \frac{20{,}9\cdot10^{-9}}{4\pi\cdot8{,}854\cdot10^{-12}\cdot0{,}04} = \boxed{4694\ \text{V/m}}$$

radiale.

5. Lavoro per estrarre metà dielettrico

Cosa resta fisso

Ora $C_1$ viene staccato dal condensatore sferico e isolato: la sua carica resta $q_1' = 59{,}1$ nC. Estraendo il dielettrico su metà dell'area, il condensatore diventa il parallelo di una metà vuota ($C_1/2$) e di una metà piena ($\varepsilon_rC_1/2$), come in Esercizio 9 · condensatore piano con dielettrico estratto a metà e scarica:

$$C_1'' = \frac{C_1}{2} + \frac{\varepsilon_rC_1}{2} = \frac{(1 + \varepsilon_r)C_1}{2} = 35{,}4\ \text{pF}.$$

(Nella soluzione ufficiale si parla di "serie", ma la formula usata è quella del parallelo, che è quella corretta per questa geometria.)

Energia e lavoro

Con la carica fissa: $U = \frac{q^2}{2C}$.

$$U_i = \frac{q_1'^2}{2\varepsilon_rC_1} = \frac12\varepsilon_rC_1V'^2 = 37{,}0\ \mu\text{J}, \qquad U_f = \frac{q_1'^2}{2C_1''} = \frac{(59{,}1\cdot10^{-9})^2}{2\cdot35{,}4\cdot10^{-12}} = 49{,}3\ \mu\text{J}.$$

Il lavoro della forza esterna (estrazione lenta) è la variazione di energia:

$$W = U_f - U_i = \boxed{12{,}3\ \mu\text{J}}$$

Positivo: il dielettrico tende a restare dentro e va tirato fuori. (La soluzione ufficiale scrive i valori in joule, $36{,}9$ J, $49{,}3$ J e $12{,}4$ J: l'unità corretta è il microjoule; $12{,}4$ invece di $12{,}3$ viene dagli arrotondamenti.)

Riepilogo

Errori comuni

• Tenere la d.d.p. a $1985$ V dopo l'inserimento del dielettrico: il sistema è isolato, la d.d.p. cambia.
• Usare nel punto 4 la carica iniziale dello sferico: la carica si è ridistribuita.
• Nel punto 5 continuare a considerare il parallelo con lo sferico: $C_1$ è stato isolato da solo.