Esercizio 19sfera conduttrice in un dielettrico dentro un guscio

Testo (Primo appello, 22.01.2026, problema 1). Una sfera conduttrice di raggio $R_1 = 3$ cm è immersa in un fluido di costante dielettrica relativa $\varepsilon_r = 4$. La sfera è circondata da un guscio sferico conduttore di spessore trascurabile e raggio $R_2 = 6$ cm. Sulla sfera interna viene depositata la carica $q = 250$ pC. All'esterno del guscio c'è aria. Si calcoli:

1. il campo elettrico a ridosso della superficie esterna del guscio (2,5 punti);
2. la differenza di potenziale $V_1 - V_2$ tra la superficie della sfera e la superficie interna del guscio (2,5 punti);
3. la carica di polarizzazione nel materiale dielettrico (2,5 punti);
4. l'energia elettrostatica totale immagazzinata tra la sfera e il guscio (2,5 punti).

Schema delle cariche

• Sfera interna: carica $q$, tutta sulla superficie (è un conduttore in equilibrio).
• Guscio: è neutro. Per induzione completaLa carica q del conduttore interno induce −q sulla faccia interna del guscio; il guscio neutro porta allora +q sulla faccia esterna.Conduttori in equilibrio, conduttori cavi e schermo elettrostatico →, sulla faccia interna compare $-q$ e sulla faccia esterna $+q$.
• Dielettrico tra $R_1$ e $R_2$: si polarizza e porta cariche di polarizzazione sulle sue superfici (a contatto con la sfera e con il guscio).

1. Campo appena fuori dal guscio

Due ragionamenti equivalenti

Con la legge di Gauss. Una sfera di raggio appena maggiore di $R_2$, in aria, racchiude la carica totale $q + (-q) + q = q$ (le cariche di polarizzazione sono a coppie uguali e opposte e non contribuiscono). Il campo è quello di una carica puntiforme $q$ al centro, nel vuoto:

$$E_{ext} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0R_2^2}.$$

Con il teorema di Coulomb. Vicino alla superficie di un conduttore il campo è $\frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ (Conduttori in equilibrio, conduttori cavi e schermo elettrostaticoIn un conduttore in equilibrio il campo interno è nullo, il conduttore è tutto allo stesso potenziale, la carica sta sulla superficie e appena fuori il campo è perpendicolare alla superficie con modulo σ/ε₀ (teorema di Coulomb). In una cavità vuota il campo è nullo (schermo elettrostatico); una carica q dentro la cavità induce −q sulla parete interna e +q su quella esterna (induzione completa).Conduttori in equilibrio, conduttori cavi e schermo elettrostatico →), con $\sigma = \frac{q}{4\pi R_2^2}$ densità della faccia esterna. Stessa formula.

Calcolo

$$E_{ext} = \frac{250\cdot10^{-12}}{4\pi\cdot8{,}854\cdot10^{-12}\cdot0{,}06^2} = \boxed{624\ \text{V/m}}$$

radiale uscente. Il dielettrico all'interno non conta: il guscio "scherma" l'interno, all'esterno conta solo la carica sulla sua faccia esterna, che è $q$.

2. Differenza di potenziale tra sfera e guscio

Campo nel dielettrico

Per la legge di Gauss in presenza di un dielettrico (Gauss con dielettricoIl flusso di D attraverso una superficie chiusa è la carica libera interna; in un dielettrico lineare E = D/(ε0 εr), cioè il campo è ridotto di εr.Dielettrici - polarizzazione e vettore induzione elettrica →), su una sfera di raggio $R_1 < r < R_2$:

$$\oint\vec E\cdot\vec u_n\,d\Sigma = \frac{q}{\varepsilon_0\varepsilon_r} \implies E_{int}(r) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_rr^2}.$$

È il campo della carica puntiforme ridotto di un fattore $\varepsilon_r = 4$.

Integrale lungo il raggio

$$V_1 - V_2 = \int_{R_1}^{R_2}E_{int}(r)\,dr = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r}\left(\frac1{R_1} - \frac1{R_2}\right).$$

(Il segno: $V_1 - V_2 = -\int_{R_2}^{R_1}\vec E\cdot d\vec s = +\int_{R_1}^{R_2}E\,dr$; il potenziale scende andando verso l'esterno, nel verso del campo.)

$$V_1 - V_2 = \frac{250\cdot10^{-12}\cdot8{,}99\cdot10^9}{4}\left(\frac1{0{,}03} - \frac1{0{,}06}\right) = 0{,}562\cdot16{,}67 = \boxed{9{,}4\ \text{V}}$$

3. Carica di polarizzazione

La carica libera a contatto con il dielettrico è $q$ (sulla sfera). Sulla superficie del dielettrico che tocca la sfera compare la carica di polarizzazione, di segno opposto:

$$q_P = \frac{\varepsilon_r - 1}{\varepsilon_r}q = \frac34\cdot250 = \boxed{187{,}5\ \text{pC}}$$

(in modulo: $-187{,}5$ pC sulla superficie interna del fluido, $+187{,}5$ pC su quella esterna, a contatto con il guscio). Si verifica che il campo vicino alla sfera è quello di $q - q_P = 62{,}5$ pC nel vuoto, cioè $q/\varepsilon_r$: è proprio la riduzione di un fattore $4$.

4. Energia tra la sfera e il guscio

Il sistema come condensatore sferico

Sfera e faccia interna del guscio portano $+q$ e $-q$: formano un condensatore sferico pieno di dielettrico (Condensatori - capacità, serie e paralleloUn condensatore sono due conduttori in induzione completa con cariche ±q; la capacità C = q/ΔV (farad) dipende solo dalla geometria: piano ε₀S/d, sferico 4πε₀R₁R₂/(R₂ − R₁), cilindrico 2πε₀L/ln(R₂/R₁). In parallelo le capacità si sommano (stessa ΔV), in serie si sommano gli inversi (stessa carica). Con un dielettrico che riempie il condensatore C diventa ε_r C.Condensatori - capacità, serie e parallelo →):

$$C = 4\pi\varepsilon_0\varepsilon_r\frac{R_1R_2}{R_2 - R_1} = 4\pi\cdot8{,}854\cdot10^{-12}\cdot4\cdot\frac{0{,}03\cdot0{,}06}{0{,}03} = 26{,}7\ \text{pF}.$$

Energia

$$U = \frac{q^2}{2C} = \frac{(250\cdot10^{-12})^2}{2\cdot26{,}7\cdot10^{-12}} = \boxed{1{,}17\ \text{nJ}}$$

Controllo: $U = \frac12q(V_1 - V_2) = \frac12\cdot250\cdot10^{-12}\cdot9{,}36 = 1{,}17$ nJ ✓.

(È solo l'energia tra sfera e guscio, come chiede il testo; fuori dal guscio c'è altra energia, quella del campo di $q$ nell'aria, pari a $\frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0R_2} = 4{,}7$ nJ.)

Riepilogo

Errori comuni

• Mettere $\varepsilon_r$ nel campo esterno: fuori dal guscio c'è aria.
• Usare $q$ anche per la polarizzazione: la carica di polarizzazione è solo la frazione $(\varepsilon_r - 1)/\varepsilon_r$.
• Dimenticare $\varepsilon_r$ nella capacità del condensatore sferico.