Esercizio 4bobina che ruota in un solenoide, mutua induzione e legge di Felici

Testo (Secondo appello, 20.02.2024, problema 2). Una bobina quadrata di lato $a = 1$ cm, con $N = 40$ spire e resistenza totale $R = 30\ \Omega$, è completamente contenuta in un solenoide indefinito con $n = 500$ spire/cm, percorso da una corrente $i = 3{,}5$ A. A partire da $t_0 = 0$ l'angolo tra l'asse del solenoide e la normale alla bobina varia con la legge

$$\theta(t) = \frac\pi2e^{-t/\tau}, \qquad \tau = 1\ \text{ms}.$$

Determinare:

a) il coefficiente di mutua induzione $M$ tra bobina e solenoide al tempo $t_0 = 0$ e al tempo $t_1 = \tau\ln3$ (4 punti); b) la carica (in modulo) che fluisce nella bobina tra $t_0$ e la fine del moto ($t_2 \to +\infty$) (3 punti); c) la forza elettromotrice indotta nella bobina all'istante $t_0 = 0$ (3 punti).

Dati e lettura del moto

Attenzione alla conversione: $500$ spire per centimetro sono $50\,000$ spire per metro.

Come si muove la bobina. A $t = 0$, $\theta = \pi/2$: la normale è perpendicolare all'asse, cioè la bobina è "di taglio" rispetto alle linee di campo e non concatena flusso. Poi $\theta$ decresce esponenzialmente fino a $0$: alla fine la bobina è perpendicolare all'asse e concatena il flusso massimo. La corrente del solenoide è costante: a cambiare è solo l'orientazione.

a) Coefficiente di mutua induzione

Perché si calcola il flusso nella bobina

Per la simmetria $M_{12} = M_{21}$ (Mutua induzione e circuiti accoppiatiIl flusso del campo di un circuito 1 concatenato con un circuito 2 è proporzionale alla corrente: Φ₂ = M i₁, e vale la simmetria M₁₂ = M₂₁ = M (coefficiente di mutua induzione, in henry). Se i₁ varia, nel circuito 2 compare ℰ₂ = −M di₁/dt. Casi tipici: bobina di N spire e area Σ in un solenoide M = μ0 n N Σ cos θ; piccola bobina vicino a un filo M = μ0 N Σ/(2πd). Energia di due circuiti accoppiati: U = ½L₁i₁² + ½L₂i₂² + M i₁ i₂, con |M| ≤ √(L₁L₂). Il trasformatore sfrutta la mutua induzione: V₂/V₁ = N₂/N₁.Mutua induzione e circuiti accoppiati →) si può scegliere il circuito più comodo come sorgente. Il campo del solenoide è uniforme e noto, quello della bobina no: si fa "sorgente" il solenoide e si calcola il flusso nella bobina.

Calcolo

1. Campo del solenoide indefinitoAll'interno B = μ0 n i, uniforme e parallelo all'asse; all'esterno zero.Campo di una spira e di un solenoide →: $B_s = \mu_0 n i = 4\pi\cdot10^{-7}\cdot5\cdot10^4\cdot3{,}5 = 0{,}22$ T.
2. Flusso concatenato con la bobina ($N$ spire di area $a^2$, normale inclinata di $\theta$): $\Phi_b = Na^2B_s\cos\theta = Na^2\mu_0 n i\cos\theta$.
3. Mutua induzione: $M = \frac{\Phi_b}{i}$, la corrente si semplifica:

$$M(t) = \mu_0 nNa^2\cos\theta(t).$$

Il prodotto $\mu_0 nNa^2 = 4\pi\cdot10^{-7}\cdot5\cdot10^4\cdot40\cdot10^{-4} = 2{,}513\cdot10^{-4}$ H è il valore massimo $M_{\max}$ (bobina perpendicolare all'asse).

I due istanti

• $t_0 = 0$: $\theta = \frac\pi2$, $\cos\theta = 0$: $\boxed{M(t_0) = 0}$.
• $t_1 = \tau\ln3$: $e^{-t_1/\tau} = e^{-\ln3} = \frac13$, quindi $\theta = \frac\pi6$ e $\cos\theta = \frac{\sqrt3}{2}$: $$M(t_1) = 2{,}513\cdot10^{-4}\cdot0{,}866 = \boxed{217{,}7\ \mu\text{H}}$$

Il valore di $t_1$ è stato scelto apposta perché l'angolo diventi $30°$.

b) Carica circolata

Perché la legge di Felici

La domanda chiede la carica totale, non la corrente istante per istante. La legge di FeliciLa carica che attraversa un circuito di resistenza R è|ΔΦ|/R: dipende solo dal flusso iniziale e finale.Legge di Faraday-Neumann-Lenz e fem indotta → la dà direttamente dai flussi iniziale e finale, senza integrare la legge oraria.

Calcolo

• Flusso iniziale ($\theta = \pi/2$): $\Phi_b(0) = M(0)\,i = 0$.
• Flusso finale ($t \to \infty$, $\theta \to 0$): $\Phi_b(\infty) = M_{\max}\,i$.

$$|\Delta q| = \frac{|\Phi_b(\infty) - \Phi_b(0)|}{R} = \frac{i\,\mu_0 nNa^2}{R} = \frac{3{,}5\cdot2{,}513\cdot10^{-4}}{30} = \boxed{29{,}3\ \mu\text{C}}$$

c) Fem indotta a $t_0 = 0$

Derivata del flusso

Per la legge di Faraday $\mathcal E = -\frac{d\Phi_b}{dt}$, con $\Phi_b = M(t)\,i$ e $i$ costante. Si deriva $\cos\theta(t)$ con la regola della catena:

$$\frac{d}{dt}\cos\theta(t) = -\sin\theta(t)\cdot\frac{d\theta}{dt}, \qquad \frac{d\theta}{dt} = \frac\pi2e^{-t/\tau}\cdot\left(-\frac1\tau\right).$$

I due segni meno si compensano:

$$\frac{d\Phi_b}{dt} = \mu_0 nNa^2 i\,\sin\left(\frac\pi2e^{-t/\tau}\right)\frac{\pi}{2\tau}e^{-t/\tau}, \qquad \mathcal E(t) = -\mu_0 nNa^2 i\,\sin\left(\frac\pi2e^{-t/\tau}\right)\frac{\pi}{2\tau}e^{-t/\tau}.$$

A $t = 0$

$\sin(\pi/2) = 1$ ed $e^0 = 1$:

$$\mathcal E(0) = -\frac{\pi\mu_0 nNa^2 i}{2\tau} = -\frac{\pi\cdot2{,}513\cdot10^{-4}\cdot3{,}5}{2\cdot10^{-3}} = \boxed{-1{,}38\ \text{V}}$$

Interpretazione. All'istante iniziale il flusso è nullo ma varia più rapidamente che in ogni altro momento: la velocità angolare $|\dot\theta| = \frac{\pi}{2\tau}e^{-t/\tau}$ è massima a $t = 0$, e il fattore $\sin\theta$, che misura quanto una rotazione cambia il flusso, è anch'esso massimo. Il segno negativo dice (legge di Lenz) che la corrente indotta circola in modo da opporsi all'aumento del flusso. La corrente iniziale è $|\mathcal E|/R = 46$ mA.

Riepilogo

Errori comuni

• Convertire male $n$: con $500$ spire/m il risultato è cento volte più piccolo.
• Dimenticare $N$ nel flusso della bobina.
• Concludere che a $t = 0$ la fem è nulla perché il flusso è nullo: conta la derivata del flusso, non il suo valore.
• Derivare solo l'esponenziale e dimenticare il fattore $\sin\theta$ della regola della catena.