Esercizio 8filo con tratti semi-infiniti e semicirconferenza, dipolo magnetico al centro

Testo (Quarto appello, 03.09.2024, problema 2). Un filo, percorso dalla corrente stazionaria $I$, giace nel piano $(x, y)$ ed è piegato come in figura: il tratto PQ è un filo semi-infinito parallelo all'asse $x$; il tratto QR è una semicirconferenza di raggio $R = 20$ cm nel piano $(x, y)$; il tratto RS è un filo semi-infinito parallelo all'asse $x$. Un piccolo dipolo magnetico di momento $m = 4\cdot10^{-6}$ A·m² è posto nel centro O della semicirconferenza ed è in equilibrio. Sapendo che l'energia magnetica del dipolo è $U_m = -8\cdot10^{-12}$ J, determinare:

a) l'espressione vettoriale del campo magnetico $\vec B_O$ nel punto O; b) il valore della corrente $I$.

Il dipolo in O è sostituito da un circuito di quattro piccole spire di area $A = 0{,}2$ cm² e resistenza $R_S = 0{,}5\ \Omega$. Sapendo che la corrente $I$ viene progressivamente annullata, calcolare:

c) la carica totale circolata nel circuito durante il transitorio di annullamento della corrente.

Forma del filo

Il filo ha la forma di una "forcina": arriva dall'infinito lungo una retta parallela all'asse $x$ fino a Q, gira attorno a O lungo la semicirconferenza fino a R (diametralmente opposto a Q) e torna all'infinito lungo una retta parallela alla prima. Q e R sono gli estremi del diametro perpendicolare ai tratti rettilinei, quindi O è proprio di fronte agli estremi Q e R dei due fili semi-infiniti, a distanza $R$ da ciascuno. Il dipolo, nella figura, ha il momento lungo $+z$.

a) Campo in O

Perché si parte dall'energia

L'equilibrio di un dipolo in un campo uniforme è stabile quando $\vec m$ è parallelo e concorde a $\vec B$, e in quella posizione l'energia è minima e negativa (energia del dipoloU = −m·B = −mB cos θ: minima (−mB) per m concorde a B, massima (+mB) per m opposto.Forze e momenti magnetici su circuiti percorsi da corrente →). L'energia data è negativa, quindi l'equilibrio è quello stabile, con $\theta = 0$:

$$U_m = -mB_O \implies B_O = -\frac{U_m}{m} = \frac{8\cdot10^{-12}}{4\cdot10^{-6}} = 2\cdot10^{-6}\ \text{T}.$$

(Se fosse stato l'equilibrio instabile, $\theta = \pi$, l'energia sarebbe stata positiva.)

Direzione

$\vec B_O$ ha la direzione di $\vec m$, cioè $+z$. Lo conferma la regola della mano destra: lungo tutta la forcina la corrente gira attorno a O nello stesso senso, e ciascuno dei tre tratti dà in O un campo perpendicolare al piano, con lo stesso verso.

$$\boxed{\vec B_O = (2\ \mu\text{T})\,\vec u_z}$$

b) Corrente $I$

I tre contributi

Si usa la sovrapposizione con le formule di Legge di Biot-Savart e campo di un filo rettilineoPrima legge elementare di Laplace: un tratto di filo ds percorso da i genera dB = (μ0/4π) i ds × u_r / r², con μ0 = 4π·10⁻⁷ T·m/A; una carica in moto genera B = (μ0/4π) q v × u_r / r². Integrando su un filo rettilineo: tratto finito B = μ0 i (sin α2 − sin α1)/(4πR); filo indefinito B = μ0 i/(2πR) (legge di Biot-Savart), con linee di campo circolari attorno al filo; filo semi-infinito visto dal piede della perpendicolare: metà. Un arco di circonferenza di angolo Δθ genera al centro B = μ0 i Δθ/(4πR).Legge di Biot-Savart e campo di un filo rettilineo →:

• Tratti semi-infiniti PQ e RS. O è di fronte all'estremo di ciascun filo, a distanza $R$: ognuno dà metà del campo di un filo indefinito, $$B_{PQ} = B_{RS} = \frac12\cdot\frac{\mu_0I}{2\pi R} = \frac{\mu_0I}{4\pi R}.$$
• Semicirconferenza QR. Un arco di angolo $\Delta\theta$ genera al centro $\frac{\mu_0I\Delta\theta}{4\pi R}$; con $\Delta\theta = \pi$: $$B_{QR} = \frac{\mu_0I}{4R}.$$

Somma e inversione

I tre contributi sono concordi:

$$B_O = \frac{\mu_0I}{4\pi R} + \frac{\mu_0I}{4\pi R} + \frac{\mu_0I}{4R} = \frac{\mu_0I}{4\pi R}(2 + \pi).$$

$$I = \frac{4\pi RB_O}{\mu_0(2 + \pi)} = \frac{4\pi\cdot0{,}2\cdot2\cdot10^{-6}}{4\pi\cdot10^{-7}\cdot5{,}1416} = \frac{0{,}2\cdot2\cdot10^{-6}}{10^{-7}\cdot5{,}1416} = \boxed{0{,}78\ \text{A}}$$

c) Carica circolata nelle quattro spire

Perché la legge di Felici

Quando $I$ si annulla, il campo in O scende da $B_O$ a zero: il flusso nel circuito delle quattro spire cambia e circola una corrente indotta. Non si sa come $I$ si annulli nel tempo ("progressivamente"), ma la legge di Feliciq =|ΔΦ|/R: la carica circolata dipende solo dai flussi iniziale e finale.Legge di Faraday-Neumann-Lenz e fem indotta → non ha bisogno di saperlo.

Flussi

Il circuito è piccolo: il campo su di esso è praticamente uniforme e uguale a $B_O$. Si assume che le spire siano disposte come il dipolo che sostituiscono (normale lungo $\vec B_O$), quindi il flusso è massimo:

$$\Phi_i = 4AB_O = 4\cdot0{,}2\cdot10^{-4}\cdot2\cdot10^{-6} = 1{,}6\cdot10^{-10}\ \text{Wb}, \qquad \Phi_f = 0.$$

(Attenzione: $0{,}2$ cm² $= 0{,}2\cdot10^{-4}$ m² $= 2\cdot10^{-5}$ m².)

$$q = \frac{\Phi_i - \Phi_f}{R_S} = \frac{1{,}6\cdot10^{-10}}{0{,}5} = \boxed{0{,}32\ \text{nC}}$$

Riepilogo

Errori comuni

• Usare $\frac{\mu_0I}{2\pi R}$ per i tratti semi-infiniti: quello è il filo indefinito.
• Usare $\frac{\mu_0I}{2R}$ per la semicirconferenza: quello è la spira intera.
• Convertire male i cm²: $1$ cm² $= 10^{-4}$ m².
• Dimenticare il fattore 4 delle spire nel flusso.