Effetto Hall e tensione di Hall

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Lezione del 19.11 (sezione 6.6 del libro di testo). Prerequisiti: Forze e momenti magnetici su circuiti percorsi da corrente, Conduzione, legge di Ohm ed effetto Joule, Forza elettromotrice e resistenza interna del generatore (il concetto di campo elettromotore). È una domanda di teoria (appello 24.06.2025).

Il fenomeno

Geometria

Un conduttore a forma di nastro ha sezione rettangolare $\Sigma = a\cdot b$ . La corrente $i$ scorre lungo l'asse $x$ (perpendicolare alla sezione). Un campo magnetico uniforme $\vec B$ è diretto lungo $z$ , perpendicolare alla corrente; $a$ è lo spessore del nastro lungo $z$ , $b$ la larghezza lungo $y$ .

Cosa succede ai portatori

I portatori di carica $q$ si muovono con la velocità di deriva $\vec v_d$ , parallela alla corrente se $q > 0$ e opposta se $q < 0$ . Su ognuno agisce la forza di Lorentz $q\vec v_d \times \vec B$ , diretta lungo $y$ , cioè verso uno dei due bordi del nastro.

Portatori positivi ( $\vec v_d$ lungo $+x$ ): $\vec v_d \times \vec B \propto \vec u_x \times \vec u_z = -\vec u_y$ , la forza $q\vec v_d \times \vec B$ con $q > 0$ punta verso $-y$ .
Portatori negativi ( $\vec v_d$ lungo $-x$ ): $\vec v_d \times \vec B \propto +\vec u_y$ , ma moltiplicato per $q < 0$ la forza punta di nuovo verso $-y$ .

In entrambi i casi i portatori vengono spinti verso lo stesso bordo ( $-y$ ). Cambia però il segno della carica che vi si accumula: positiva nel primo caso, negativa nel secondo.

Il campo elettromotore e il campo di Hall

Campo elettromotore

La forza per unità di carica che agisce sui portatori è

$\vec E_m = \frac{\vec F}{q} = \vec v_d \times \vec B,$

detto campo elettromotore (di Hall). Non è un campo elettrostatico: è una forza di origine magnetica che agisce solo sulle cariche in moto, come il campo elettromotore all'interno di un generatore.

Equilibrio: il campo di Hall

Le cariche che si accumulano sui due bordi (un bordo si carica, quello opposto resta con la carica di segno contrario) creano un campo elettrostatico $\vec E_H$ trasversale, diretto lungo $y$ , che si oppone all'ulteriore accumulo. L'accumulo si ferma quando la forza elettrica bilancia quella magnetica:

$q\vec E_H + q\vec v_d \times \vec B = 0 \implies \vec E_H = -\vec v_d \times \vec B, \qquad E_H = v_d B.$

Da questo momento i portatori proseguono dritti lungo $x$ . Il transitorio è brevissimo.

Tensione di Hall

Tra i due bordi, distanti $b$ , c'è la d.d.p.

$V_H = E_H\,b = v_d B b.$

Si esprime $v_d$ in funzione della corrente: $i = nq v_d\Sigma = nqv_d ab$ , quindi $v_d = \frac{i}{nqab}$ . Sostituendo, la larghezza $b$ si semplifica:

Tensione di Hall: $V_H = \frac{iB}{nqa},$ con $n$ densità dei portatori e $a$ spessore del nastro nella direzione di $\vec B$ .

Si definisce la costante di Hall $R_H = \frac{1}{nq}$ , che ha il segno dei portatori: $V_H = R_H\frac{iB}{a}$ .

Cosa si misura con l'effetto Hall

Il segno dei portatori. A parità di verso di $i$ e $\vec B$ , la tensione di Hall ha segni opposti per portatori positivi e negativi. L'esperimento ha mostrato che nei metalli i portatori sono negativi (elettroni), mentre in certi semiconduttori (tipo p) si comportano come cariche positive (lacune).
La densità dei portatori. Misurati $i$ , $B$ , $a$ e $V_H$ : $n = \frac{iB}{qaV_H}$ .
Il campo magnetico (sonde di Hall, vedi sotto).

Ordine di grandezza. Nel rame $n \approx 8{,}5\cdot10^{28}$ m⁻³. Con $i = 10$ A, $B = 1$ T, $a = 0{,}1$ mm: $V_H = \frac{10\cdot1}{8{,}5\cdot10^{28}\cdot1{,}6\cdot10^{-19}\cdot10^{-4}} \approx 7\ \mu$ V, molto piccola. Nei semiconduttori $n$ è molto minore e $V_H$ molto maggiore: per questo le sonde si fanno con semiconduttori.

Sonde di Hall

Una sonda di Hall è un piccolo nastro di semiconduttore con $n$ , $q$ e $a$ noti, alimentato con una corrente $i$ nota. Messa in un campo magnetico, misura la tensione di Hall, da cui:

$B = \frac{nqa}{i}V_H.$

$V_H$ è proporzionale a $B$ : la sonda si tara una volta e poi fornisce il campo con una semplice misura di tensione.
Misura solo la componente di $\vec B$ perpendicolare al nastro: ruotandola si trova anche la direzione del campo.
È lo strumento usato in laboratorio per misurare il campo di un solenoide.

Domanda d'esame tipo

"Nastro di sezione $\Sigma = a\cdot b$ , corrente $i$ lungo $x$ , campo $B$ perpendicolare: si scriva il campo elettromotore, la tensione di Hall all'equilibrio e si dica come funzionano le sonde di Hall." (appello 24.06.2025)

$\vec E_m = \vec v_d \times \vec B$ , di modulo $v_d B$ , con $v_d = i/(nq\Sigma)$ .
All'equilibrio $E_H = v_d B$ e $V_H = E_H b = \frac{iB}{nqa}$ .
Sonda: semiconduttore con $i$ noto; $V_H \propto B$ , quindi dalla tensione si ricava il campo.

Errori comuni

Usare la dimensione sbagliata al denominatore: è lo spessore lungo $\vec B$ , non la larghezza tra i bordi su cui si misura $V_H$ .
Pensare che il verso della deflessione riveli il segno dei portatori: i portatori vanno sempre verso lo stesso bordo; è il segno della tensione a cambiare.
Confondere il campo elettromotore con il campo di Hall: sono uguali in modulo e opposti in verso all'equilibrio; il primo è magnetico (agisce solo su cariche in moto), il secondo elettrostatico.