Esercizio 18particella su un'elica in un campo magnetico e piano carico

Testo (Prova del 16.09.2025, problema 2). Una particella carica di massa $m = 7{,}34\cdot10^{-19}$ kg si muove con velocità uniforme $\vec v = v_x\vec u_x + v_y\vec u_y$, con $v_x = 1$ m/s e $v_y = 5$ m/s. Al tempo $t_0 = 0$ entra in una zona con campo magnetico uniforme $\vec B = (18\ \text{T})\,\vec u_x$ e percorre un'elica con asse nella direzione del campo. Per raggiungere il punto P la particella percorre un tratto parallelo all'asse $x$ di lunghezza $L = 2$ m e compie esattamente $N = 5$ giri attorno all'asse. Calcolare:

1. la distanza della particella dall'asse $x$ (4 punti);
2. il numero netto di cariche elementari $e = 1{,}6\cdot10^{-19}$ C contenute nella particella (1 punto);
3. l'energia cinetica della particella alla fine del tratto $L$ (2 punti).

Raggiunto P, si inserisce molto lontano da P una distribuzione piana indefinita di carica con densità $\sigma = 5\ \mu$C/m², in un piano perpendicolare a $\vec u_x$ (oltre P, nel verso del moto). Calcolare:

4. quanto tempo impiega la particella a raggiungere il punto Q in cui si inverte il moto lungo $x$ (3 punti).

Scomposizione del moto

La velocità ha una parte parallela al campo ($v_x$) e una perpendicolare ($v_y$). La forza di Lorentz dipende solo dalla parte perpendicolare: $q\vec v \times \vec B = q(v_x\vec u_x + v_y\vec u_y) \times B\vec u_x = qv_yB\,(\vec u_y \times \vec u_x)$, perché $\vec u_x \times \vec u_x = 0$. Quindi (Moto di una carica in un campo magnetico uniformeIn un campo B uniforme una carica con velocità perpendicolare a B percorre un moto circolare uniforme di raggio r = mv/(|q|B) con pulsazione ω = |q|B/m e periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipendono dalla velocità. Se v ha anche una componente parallela a B il moto è un'elica di passo p = v∥T. Applicazioni: selettore di velocità (E ⊥ B, passa chi ha v = E/B), spettrometro di massa, ciclotrone.Moto di una carica in un campo magnetico uniforme →):

• lungo $x$: nessuna forza, moto uniforme con $v_x = 1$ m/s;
• nel piano $yz$: moto circolare uniforme con velocità $v_\perp = v_y = 5$ m/s.

La composizione è un'elica con asse parallelo a $x$.

1. Raggio dell'elica

Due espressioni dello stesso tempo

Il tempo per percorrere il tratto $L$ lungo l'asse, con velocità costante $v_x$, è $t = \frac{L}{v_x} = 2$ s. In questo tempo la particella compie $N = 5$ giri, ciascuno di durata pari al periodo di ciclotrone $T = \frac{2\pi m}{qB}$:

$$\frac{L}{v_x} = N\frac{2\pi m}{qB}.$$

Quindi $T = \frac{2\ \text{s}}{5} = 0{,}4$ s. La carica non è nota, ma si ricava da questa equazione:

$$q = \frac{2\pi mNv_x}{LB} = \frac{2\pi\cdot7{,}34\cdot10^{-19}\cdot5\cdot1}{2\cdot18} = 6{,}41\cdot10^{-19}\ \text{C}.$$

Raggio

Uguagliando la forza di Lorentz alla forza centripeta del moto circolare:

$$qv_yB = m\frac{v_y^2}{r} \implies r = \frac{mv_y}{qB} = \frac{7{,}34\cdot10^{-19}\cdot5}{6{,}41\cdot10^{-19}\cdot18} = \boxed{0{,}32\ \text{m}}$$

Nel raggio entra solo $v_y$, la componente perpendicolare al campo. (Il risultato esatto è $\frac{v_yL}{2\pi Nv_x} = \frac{1}{\pi}$ m: in un giro la particella avanza di $L/N = 0{,}4$ m lungo l'asse e percorre una circonferenza lunga $2\pi r = v_yT = 2$ m.)

2. Numero di cariche elementari

$$n_e = \frac qe = \frac{6{,}41\cdot10^{-19}}{1{,}6\cdot10^{-19}} = \boxed{4}$$

(Il valore esatto $4{,}003$ si arrotonda a un intero, come deve essere.)

3. Energia cinetica alla fine del tratto

La forza di Lorentz è sempre perpendicolare alla velocità e non compie lavoroP = F·v = q(v × B)·v = 0.Campo magnetico, legge di Gauss magnetica e forza di Lorentz →: l'energia cinetica resta quella di ingresso.

$$E_k = \frac12m\left(v_x^2 + v_y^2\right) = \frac12\cdot7{,}34\cdot10^{-19}\cdot26 = \boxed{9{,}54\cdot10^{-18}\ \text{J}}$$

4. Tempo per l'inversione del moto lungo $x$

Il campo del piano

Il piano carico è perpendicolare a $x$ e "molto lontano": nella zona della particella genera un campo uniforme di modulo $\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$, perpendicolare al piano e uscente da esso ($\sigma > 0$). Il piano sta oltre P nel verso del moto, quindi nella zona della particella il campo punta verso $-x$, contro la velocità:

$$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{5\cdot10^{-6}}{2\cdot8{,}854\cdot10^{-12}} = 2{,}82\cdot10^5\ \text{V/m}.$$

Cosa succede al moto

$\vec E$ è parallelo a $\vec B$: la forza elettrica $q\vec E$ agisce solo lungo $x$ e non disturba il moto circolare nel piano $yz$ (che continua con lo stesso raggio e periodo). Lungo $x$ il moto diventa uniformemente decelerato, con decelerazione $a = \frac{qE}{m}$ (la particella è positiva, la forza è verso $-x$):

$$v_x(t) = v_x - \frac{qE}{m}t.$$

Il moto lungo $x$ si inverte quando $v_x(t) = 0$:

$$t = \frac{mv_x}{qE} = \frac{2\varepsilon_0mv_x}{q\sigma} = \frac{2\cdot8{,}854\cdot10^{-12}\cdot7{,}34\cdot10^{-19}\cdot1}{6{,}41\cdot10^{-19}\cdot5\cdot10^{-6}} = \boxed{4{,}06\ \mu\text{s}}$$

Il tempo è minuscolo rispetto al periodo di rotazione ($0{,}4$ s): la particella si ferma lungo $x$ dopo appena $2\ \mu$m, praticamente nel punto P, e poi torna indietro sempre ruotando attorno all'asse.

Riepilogo

Errori comuni

• Usare $|\vec v| = \sqrt{26}$ m/s nel raggio: nel raggio va solo la componente perpendicolare a $\vec B$.
• Pensare che il campo elettrico cambi il raggio: $\vec E$ parallelo a $\vec B$ agisce solo lungo l'asse.
• Usare $\sigma/\varepsilon_0$: un piano isolato dà $\sigma/(2\varepsilon_0)$; $\sigma/\varepsilon_0$ è il campo di un condensatore o vicino a un conduttore.