Esercizio 10spira quadrata in un campo crescente che poi esce dal campo

Testo (Prova del 23.01.2025, problema 2). Un circuito quadrato di lato $a = 0{,}2$ m è vincolato a muoversi con velocità costante $v_0 = 0{,}2$ m/s lungo un piano orizzontale, attraversando una regione in cui c'è un campo magnetico spazialmente uniforme, ortogonale al piano della spira (uscente dal foglio, figura 2A). La massa del circuito è $m = 0{,}15$ kg e la sua resistenza $R = 8\ \Omega$. Al tempo $t = 0$ il campo viene imposto con legge $B(t) = b\,t$. Sapendo che la carica complessiva circolata dopo $5$ s è $\Delta q = 75$ mC, si calcoli:

a) il valore del campo magnetico a $t_1 = 2$ s (2 punti); b) la potenza dissipata nella resistenza a $t_1$ (2 punti); c) il modulo della forza su ciascun braccio del circuito a $t_1$, indicandone la direzione (2 punti).

Al tempo $t_2 = 10$ s il circuito raggiunge il bordo della zona del campo (figura 2B) e comincia a uscire (figura 2C). Da $t_2$ il circuito è libero di muoversi, quindi la sua velocità cambia; inoltre il campo diventa costante, $B = 0{,}75$ T. Si calcoli:

d) la velocità del circuito all'istante $t_3 = 11$ s (3 punti); e) la forza sul braccio del circuito ancora dentro il campo all'istante $t_3$ (1 punto).

Le due fasi

1. Da $0$ a $10$ s: la spira è tutta dentro la regione del campo e trasla a velocità costante. Poiché il campo è uniforme, traslare non cambia il flusso: il flusso cambia solo perché $B$ cresce nel tempo.
2. Da $10$ s in poi: il campo è costante, ma la spira esce dalla regione: l'area immersa diminuisce, quindi diminuisce il flusso. La corrente indotta frena la spira, che non è più spinta da nessuno.

Assi: $x$ nel verso del moto, $y$ nel piano, $z$ uscente (verso del campo).

a) Campo a $t_1 = 2$ s

Perché la legge di Felici

Il dato è una carica circolata: la legge di Feliciq =|ΔΦ|/R, indipendente da come varia il flusso nel tempo.Legge di Faraday-Neumann-Lenz e fem indotta → la collega ai flussi iniziale e finale, e da lì si ricava $b$.

Flusso nella spira (campo perpendicolare): $\Phi(t) = a^2B(t) = a^2bt$, con $\Phi(0) = 0$. In $t = 5$ s:

$$\Delta q = \frac{a^2b\cdot5\ \text{s}}{R} \implies b = \frac{R\,\Delta q}{a^2\cdot5\ \text{s}} = \frac{8\cdot0{,}075}{0{,}04\cdot5} = 3\ \text{T/s}.$$

$$B(t_1) = b\,t_1 = 3\cdot2 = \boxed{6\ \text{T}}$$

b) Potenza dissipata

Fem costante

Per la legge di Faraday, trascurando l'autoinduzione:

$$\mathcal E = -\frac{d\Phi}{dt} = -a^2b = -0{,}04\cdot3 = -0{,}12\ \text{V}.$$

Il flusso cresce linearmente, quindi la fem è costante per tutta la prima fase, e così la corrente $i = \frac{|\mathcal E|}{R} = 15$ mA.

$$P(t_1) = \frac{\mathcal E^2}{R} = \frac{0{,}12^2}{8} = \boxed{1{,}8\ \text{mW}}$$

c) Forza su ciascun braccio

Verso della corrente

Il flusso del campo uscente aumenta: per la legge di Lenz la corrente indotta genera dentro la spira un campo entrante, quindi circola in senso orario (visto dall'alto, con $z$ verso l'osservatore).

Forze

Su ogni lato, di lunghezza $a$ e perpendicolare a $\vec B$, la seconda legge di LaplacedF = i ds × B; per un lato rettilineo in campo uniforme F = i L × B.Forze e momenti magnetici su circuiti percorsi da corrente → dà una forza di modulo

$$F = i\,a\,B(t_1) = \frac{|\mathcal E|}{R}\,a\,b\,t_1 = 0{,}015\cdot0{,}2\cdot6 = \boxed{18\ \text{mN}}$$

Direzioni (corrente oraria). Lato superiore: corrente verso $+x$, $\vec u_x \times \vec u_z = -\vec u_y$, verso il basso. Lato destro: corrente verso $-y$, $(-\vec u_y) \times \vec u_z = -\vec u_x$, verso sinistra. Allo stesso modo il lato inferiore è spinto verso $+y$ e il sinistro verso $+x$.

Tutte le forze puntano verso il centro della spira: tendono a comprimerla, cioè a ridurne l'area e quindi il flusso che sta aumentando (di nuovo la legge di Lenz). Le forze su lati opposti sono uguali e opposte: la forza totale è nulla, coerente con il moto a velocità costante.

d) Velocità a $t_3 = 11$ s

Fem durante l'uscita

Sia $x$ il tratto di spira già uscito dalla regione del campo (misurato dal bordo). L'area ancora immersa è $a(a - x)$ e il flusso è $\Phi = Ba(a - x)$. La sua derivata:

$$\mathcal E = -\frac{d\Phi}{dt} = Ba\frac{dx}{dt} = Bav(t).$$

È la fem di una "sbarretta" di lunghezza $a$ (il lato ancora dentro) che si muove con velocità $v$. Corrente: $i = \frac{Bav}{R}$.

Equazione del moto

Sul lato ancora dentro agisce la forza di Laplace $F = iaB = \frac{B^2a^2}{R}v$; per la legge di Lenz si oppone al moto (frena l'uscita, che fa diminuire il flusso). I due lati perpendicolari al bordo hanno forze opposte che si annullano; il lato già uscito non sente forze. Quindi, lungo $x$:

$$m\frac{dv}{dt} = -\frac{B^2a^2}{R}v.$$

Soluzione

Equazione a variabili separabili: $\frac{dv}{v} = -\frac{B^2a^2}{mR}dt$. Integrando da $t_2$ (dove $v = v_0$) a $t$:

$$\ln\frac{v}{v_0} = -\frac{t - t_2}{\tau}, \qquad \tau = \frac{mR}{B^2a^2} = \frac{0{,}15\cdot8}{0{,}75^2\cdot0{,}2^2} = \frac{1{,}2}{0{,}0225} = 53{,}3\ \text{s}.$$

$$v(t_3) = v_0\,e^{-(t_3 - t_2)/\tau} = 0{,}2\cdot e^{-1/53{,}3} = \boxed{0{,}196\ \text{m/s}}$$

La frenata è debole ($\tau$ molto maggiore di $1$ s): la spira ha rallentato di meno del $2\%$.

Controllo: a $t_3$ la spira è ancora a cavallo del bordo? Lo spazio percorso in $1$ s è $v_0\tau(1 - e^{-1/\tau}) = 0{,}198$ m, appena meno del lato $a = 0{,}2$ m: sì, un lato è ancora nel campo e la formula vale fino a $t_3$.

e) Forza sul braccio ancora nel campo

$$F(t_3) = -\frac{B^2a^2}{R}v(t_3) = -\frac{0{,}0225}{8}\cdot0{,}196 = \boxed{-0{,}55\ \text{mN}}$$

(segno meno: verso $-x$, opposta alla velocità).

Riepilogo

Errori comuni

• Includere la traslazione nella prima fase: in un campo uniforme traslare non cambia il flusso.
• Nella seconda fase usare $v$ costante: la spira è libera, la forza frenante cambia la velocità.
• Mettere la forza su tutti e quattro i lati durante l'uscita: il lato fuori non sente il campo e i due lati paralleli al moto si compensano.