Esercizio 12sbarretta mobile in un campo uniforme e vicino a un filo

Testo (Prova del 18.02.2025, problema 2). Si consideri il circuito rettangolare OO'CC', in cui un lato CC' è una barretta conduttrice mobile di lunghezza $d = 12$ cm che si muove con velocità mantenuta costante da forze esterne, $v = 0{,}4$ m/s, allontanandosi dal lato fisso OO'. Nel circuito ci sono due resistenze in serie, $R_1 = 7\ \Omega$ e $R_2 = 5\ \Omega$. Il circuito è immerso in un campo magnetico uniforme, perpendicolare al foglio e uscente, di modulo $B = 0{,}6$ T. Al tempo $t_0 = 0$ la barretta è sovrapposta al lato opposto (CC' $\equiv$ OO'). Calcolare:

a) il flusso del campo magnetico attraverso il circuito all'istante $t^* = 5$ s (2 punti); b) la corrente nel circuito nello stesso istante (2 punti).

Il campo $B$ viene rimosso e il circuito viene posto vicino a un filo indefinito percorso dalla corrente $i = 9$ A, parallelo alla barretta e a distanza $b = 5$ cm dal lato fisso, dalla parte opposta alla barretta. Di nuovo la barretta a $t_0 = 0$ è sovrapposta al lato fisso e si muove con velocità $v$.

c) Il flusso del campo magnetico attraverso il circuito a $t^* = 5$ s in questa configurazione (2 punti). d) Modulo, direzione e verso della forza magnetica sulla barretta nello stesso istante (3 punti). e) La carica complessiva circolata nel circuito tra $t_0$ e $t^*$ (1 punto).

Schema

$x$ è la distanza della barretta dal lato fisso OO': $x(t) = vt$, e $x(t^*) = 0{,}4\cdot5 = 2$ m. L'area del circuito è $d\cdot x$. Le due resistenze sono in serie: $R_{tot} = R_1 + R_2 = 12\ \Omega$. Nella seconda configurazione il filo è parallelo a OO' a distanza $b$ dall'altra parte: un punto del circuito a distanza $x'$ da OO' dista $b + x'$ dal filo.

a) Flusso nel campo uniforme

Il campo è uniforme e perpendicolare al circuito, quindi il flusso è campo per area:

$$\Phi_B(t) = B\,d\,x(t) = B\,d\,v\,t \implies \Phi_B(t^*) = 0{,}6\cdot0{,}12\cdot0{,}4\cdot5 = \boxed{0{,}144\ \text{Wb}}$$

b) Corrente

La fem indotta è la derivata del flusso (sbarretta su rotaieL'area cresce di d·v al secondo, quindi la fem è B d v, la stessa che si ottiene dalla forza di Lorentz sugli elettroni della sbarretta.Legge di Faraday-Neumann-Lenz e fem indotta →):

$$|\mathcal E| = \left|\frac{d\Phi_B}{dt}\right| = Bdv = 0{,}6\cdot0{,}12\cdot0{,}4 = 0{,}0288\ \text{V}.$$

È costante, quindi la corrente non dipende dall'istante:

$$i = \frac{|\mathcal E|}{R_1 + R_2} = \frac{0{,}0288}{12} = \boxed{2{,}4\ \text{mA}}$$

Verso: il flusso uscente cresce, la corrente indotta deve creare un campo entrante nel circuito: circola in senso orario.

c) Flusso del campo del filo

Perché un integrale

Il campo del filo, $B'(r) = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$ (Legge di Biot-Savart e campo di un filo rettilineoPrima legge elementare di Laplace: un tratto di filo ds percorso da i genera dB = (μ0/4π) i ds × u_r / r², con μ0 = 4π·10⁻⁷ T·m/A; una carica in moto genera B = (μ0/4π) q v × u_r / r². Integrando su un filo rettilineo: tratto finito B = μ0 i (sin α2 − sin α1)/(4πR); filo indefinito B = μ0 i/(2πR) (legge di Biot-Savart), con linee di campo circolari attorno al filo; filo semi-infinito visto dal piede della perpendicolare: metà. Un arco di circonferenza di angolo Δθ genera al centro B = μ0 i Δθ/(4πR).Legge di Biot-Savart e campo di un filo rettilineo →), non è uniforme: diminuisce allontanandosi dal filo. Non si può moltiplicare per l'area. Si divide il circuito in strisce sottili parallele al filo, di lunghezza $d$ e larghezza $dx'$: su ogni striscia il campo è costante.

$$d\Phi = B'(b + x')\,d\,dx' = \frac{\mu_0 i\,d}{2\pi(b + x')}dx'.$$

Integrale

$$\Phi_{B'}(x) = \int_0^x\frac{\mu_0 i\,d}{2\pi(b + x')}dx' = \frac{\mu_0 i\,d}{2\pi}\ln\frac{b + x}{b}.$$

Con $x = 2$ m: $\ln\frac{2{,}05}{0{,}05} = \ln41 = 3{,}714$, e $\frac{\mu_0 i\,d}{2\pi} = 2\cdot10^{-7}\cdot9\cdot0{,}12 = 2{,}16\cdot10^{-7}$ Wb:

$$\Phi_{B'}(t^*) = 2{,}16\cdot10^{-7}\cdot3{,}714 = \boxed{8{,}02\cdot10^{-7}\ \text{Wb}}$$

Molto più piccolo del caso a): il filo produce un campo di qualche microtesla, contro $0{,}6$ T.

d) Forza sulla barretta

Fem e corrente

Il flusso cambia perché la barretta si sposta; la derivata del logaritmo è semplice:

$$|\mathcal E'| = \frac{d\Phi_{B'}}{dt} = \frac{\mu_0 i\,d}{2\pi}\cdot\frac{1}{b + x}\cdot\frac{dx}{dt} = \frac{\mu_0 i\,d\,v}{2\pi(b + x)}.$$

È la fem della sbarretta $B'dv$ con il campo nella posizione della barretta, come deve essere. A $t^*$:

$$|\mathcal E'| = \frac{2{,}16\cdot10^{-7}\cdot0{,}4}{2{,}05} = 4{,}21\cdot10^{-8}\ \text{V}, \qquad i' = \frac{|\mathcal E'|}{R_1 + R_2} = 3{,}51\ \text{nA}.$$

Forza

Campo nella posizione della barretta: $B' = \frac{\mu_0 i}{2\pi(b + x)} = \frac{2\cdot10^{-7}\cdot9}{2{,}05} = 8{,}78\cdot10^{-7}$ T. La barretta è perpendicolare al campo, quindi (seconda legge di LaplaceF = i L × B; per un tratto perpendicolare al campo F = i L B.Forze e momenti magnetici su circuiti percorsi da corrente →):

$$F = i'dB' = 3{,}51\cdot10^{-9}\cdot0{,}12\cdot8{,}78\cdot10^{-7} = \boxed{3{,}70\cdot10^{-16}\ \text{N}}$$

Direzione e verso: nel piano del circuito, perpendicolare alla barretta, opposta alla velocità. Lo garantisce la legge di Lenz: la corrente indotta si oppone all'aumento di flusso, quindi frena il movimento che lo produce. La forza è ridicolmente piccola: per mantenere $v$ costante le forze esterne devono fare pochissimo.

e) Carica circolata

Con la legge di Feliciq =|ΔΦ|/R.Legge di Faraday-Neumann-Lenz e fem indotta →, partendo da flusso nullo (barretta sovrapposta al lato fisso, area nulla):

$$Q = \frac{\Phi_{B'}(t^*) - 0}{R_1 + R_2} = \frac{8{,}02\cdot10^{-7}}{12} = \boxed{6{,}68\cdot10^{-8}\ \text{C}}$$

Qui la Felici è comoda perché la corrente cambia nel tempo (la fem decresce come $\frac{1}{b + x}$): integrarla direttamente richiederebbe lo stesso integrale del punto c).

Riepilogo

Errori comuni

• Calcolare il flusso del filo come $B'\cdot$ area usando il campo in un solo punto.
• Usare nel logaritmo le distanze sbagliate: gli estremi sono $b$ (lato fisso) e $b + x$ (barretta), misurati dal filo.
• Dimenticare di sommare le resistenze in serie.