Esercizio 3carica lanciata lungo l'asse di un anello sopra un piano carico

Testo (Secondo appello, 20.02.2024, problema 1). Un anello isolante di raggio $R = 3{,}6$ cm, caricato con densità lineare uniforme $\lambda = 12\ \mu$C/m, è posto su un piano orizzontale. Sotto di esso, a distanza $d$ e parallelamente al piano dell'anello, si trova una distribuzione piana indefinita di carica con densità $\sigma = -5\ \mu$C/m². All'istante $t_0 = 0$, sull'asse dell'anello, a distanza $z_0 = 30$ cm sopra il suo centro, viene lanciata una carica esplorativa con $\frac Qm = 10\ \mu$C/kg e velocità $v_0$ diretta verso il centro dell'anello. La carica si ferma nel punto $z_1 = 11$ cm. Trascurando la gravità, determinare:

a) la differenza di potenziale $V(z_1) - V(z_0)$ (4 punti); b) la velocità iniziale $v_0$ (3 punti); c) l'accelerazione iniziale della carica, in forma vettoriale (3 punti).

Si ricordi che campo e potenziale sull'asse di un anello uniformemente carico sono $E(z) = \frac{qz}{4\pi\varepsilon_0(R^2 + z^2)^{3/2}}$ e $V(z) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0(R^2 + z^2)^{1/2}}$, con $V(\infty) = 0$ e $q$ carica dell'anello.

Schema e dati

L'asse $z$ è l'asse dell'anello, con origine nel centro e verso l'alto. Il piano carico è in $z = -d$, sotto l'anello; la carica si muove lungo l'asse, sempre sopra l'anello, da $z_0 = 0{,}30$ m a $z_1 = 0{,}11$ m. La distanza $d$ non serve: i punti interessati sono tutti dalla stessa parte del piano, dove il suo campo è uniforme.

Carica totale dell'anello: $q = \lambda\cdot2\pi R = 12\cdot10^{-6}\cdot2\pi\cdot0{,}036 = 2{,}71\ \mu$C. Conviene scrivere $\frac{q}{4\pi\varepsilon_0} = \frac{2\pi R\lambda}{4\pi\varepsilon_0} = \frac{R\lambda}{2\varepsilon_0}$.

a) Differenza di potenziale

Il potenziale totale è la somma dei potenziali dell'anello e del piano (sovrapposizione), quindi anche la differenza si spezza: $\Delta V = \Delta V_S + \Delta V_P$.

Anello

Dalla formula data, con $\frac{q}{4\pi\varepsilon_0} = \frac{R\lambda}{2\varepsilon_0}$:

$$\Delta V_S = \frac{R\lambda}{2\varepsilon_0}\left(\frac{1}{\sqrt{R^2 + z_1^2}} - \frac{1}{\sqrt{R^2 + z_0^2}}\right).$$

Numeri: $\frac{R\lambda}{2\varepsilon_0} = \frac{0{,}036\cdot12\cdot10^{-6}}{2\cdot8{,}854\cdot10^{-12}} = 2{,}44\cdot10^4$ V·m; $\sqrt{R^2 + z_1^2} = 0{,}1157$ m, $\sqrt{R^2 + z_0^2} = 0{,}3022$ m.

$$\Delta V_S = 210{,}8\ \text{kV} - 80{,}7\ \text{kV} = 130{,}0\ \text{kV}.$$

Positivo: avvicinandosi all'anello carico positivamente il potenziale cresce.

Piano

Sopra il piano il campo è uniforme, con componente lungo $z$ uguale a $E_P = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ (campo di un piano indefinitoModulo|σ|/(2ε₀), perpendicolare al piano, uscente se σ > 0, entrante se σ < 0, uguale a ogni distanza.Distribuzioni continue di carica - filo, anello, disco, piano →). Con $\sigma < 0$ è negativa: il campo punta verso il basso, verso il piano. Dalla definizione di d.d.p. con un campo uniforme:

$$\Delta V_P = -\int_{z_0}^{z_1}E_P\,dz = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(z_1 - z_0).$$

$\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{-5\cdot10^{-6}}{2\cdot8{,}854\cdot10^{-12}} = -2{,}824\cdot10^5$ V/m e $z_1 - z_0 = -0{,}19$ m:

$$\Delta V_P = -(-2{,}824\cdot10^5)(-0{,}19) = -53{,}6\ \text{kV}.$$

Negativo: scendendo ci si avvicina al piano carico negativamente, dove il potenziale è più basso. (Nella soluzione ufficiale la formula è scritta senza il segno meno iniziale, ma il valore $-53{,}6$ kV è quello corretto.)

Totale

$$V(z_1) - V(z_0) = 130{,}0 - 53{,}6 = \boxed{76{,}4\ \text{kV}}$$

b) Velocità iniziale

Perché la conservazione dell'energia

Sulla carica agisce solo la forza elettrostatica, che è conservativa: l'energia meccanica $E_k + QV$ si conserva (Energia potenziale elettrostatica e conservazione dell'energiaUna carica q in un punto a potenziale V ha energia potenziale U = qV; il lavoro del campo è W = −ΔU = −qΔV e l'energia meccanica si conserva: ½mv² + qV = costante. L'energia di un sistema di cariche puntiformi è U = Σ (coppie) qᵢqⱼ/(4πε₀rᵢⱼ), il lavoro necessario per assemblarlo dall'infinito. 1 eV = 1,6·10⁻¹⁹ J è l'energia guadagnata da una carica e attraverso 1 V.Energia potenziale elettrostatica e conservazione dell'energia →). Si conosce il punto in cui la carica si ferma ($E_k = 0$ in $z_1$), quindi l'energia cinetica iniziale è proprio quella "spesa" per salire di potenziale.

$$\frac12mv_0^2 + QV(z_0) = 0 + QV(z_1) \implies v_0 = \sqrt{2\frac Qm\left[V(z_1) - V(z_0)\right]}.$$

Serve solo il rapporto $Q/m$, che è il dato fornito:

$$v_0 = \sqrt{2\cdot10\cdot10^{-6}\cdot76{,}4\cdot10^3} = \sqrt{1{,}528} = \boxed{1{,}24\ \text{m/s}}$$

La carica è positiva e sale di potenziale: perde energia cinetica, come deve essere perché si ferma.

c) Accelerazione iniziale

Campo in $z_0$

Per la seconda legge di Newton $m\vec a = Q\vec E(z_0)$, con il campo totale nel punto di partenza. Sull'asse entrambi i campi sono diretti lungo $z$.

• Anello: dalla formula data, $E_S(z_0) = \frac{R\lambda z_0}{2\varepsilon_0(R^2 + z_0^2)^{3/2}} = \frac{2{,}44\cdot10^4\cdot0{,}30}{0{,}3022^3} = 2{,}653\cdot10^5$ V/m, verso $+z$ (si allontana dall'anello positivo).
• Piano: $E_P = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = -2{,}824\cdot10^5$ V/m, cioè verso $-z$.

I due campi sono quasi uguali e opposti: a $30$ cm l'anello è ormai debole.

Accelerazione

$$\vec a = \frac Qm\left[E_S(z_0) + E_P\right]\vec u_z = 10^{-5}\cdot(2{,}653 - 2{,}824)\cdot10^5\ \vec u_z = \boxed{-0{,}17\ \text{m/s}^2\ \vec u_z}$$

All'inizio la carica viene accelerata verso il basso (prevale l'attrazione del piano negativo). Scendendo il campo dell'anello cresce, finché la repulsione dell'anello prevale e la frena fino a fermarla in $z_1$: lì il campo totale è $+1{,}45\cdot10^6$ V/m.

Riepilogo

Errori comuni

• Usare la distanza $d$ per il piano: il suo campo è uniforme, conta solo lo spostamento $z_1 - z_0$.
• Dimenticare che il potenziale dell'anello ha la radice al denominatore e il campo la potenza $3/2$.
• Usare la cinematica a accelerazione costante: il campo dell'anello varia con $z$, l'unica strada semplice è l'energia.