Esercizio 21condensatore piano e cilindrico in serie con dielettrico e scarica

Testo (Secondo appello, 18.02.2026, problema 1). Un condensatore piano e uno cilindrico sono collegati in serie. Le armature del condensatore piano hanno area $A = 0{,}18$ m² e distanza $d = 3$ mm, in aria. Il condensatore cilindrico è formato da due armature concentriche, in aria, di raggi $R_1 = 12$ cm e $R_2 = 15$ cm, ed è lungo $L = 90$ cm. Il sistema viene caricato con un generatore di forza elettromotrice $\mathcal E = 12$ V, portato a regime e poi isolato. Trascurando gli effetti di bordo:

1. calcolare la carica complessiva immagazzinata nel sistema (1 punto).

Il condensatore cilindrico viene riempito nella metà inferiore (altezza $L/2$) con un liquido dielettrico di costante $k = 2{,}5$. Calcolare:

2. la carica di polarizzazione (2 punti);
3. la variazione di energia del sistema tra prima e dopo l'inserimento del dielettrico (3 punti).

Infine il sistema viene inserito in un circuito con una resistenza $R = 120$ k$\Omega$.

4. Dopo quanto tempo (in $\mu$s) i due condensatori si possono considerare scarichi? (1 punto)
5. Calcolare l'energia dissipata sulla resistenza dopo $t_1 = 68\ \mu$s (3 punti).

1. Carica del sistema

Capacità

• Piano (Condensatori - capacità, serie e paralleloUn condensatore sono due conduttori in induzione completa con cariche ±q; la capacità C = q/ΔV (farad) dipende solo dalla geometria: piano ε₀S/d, sferico 4πε₀R₁R₂/(R₂ − R₁), cilindrico 2πε₀L/ln(R₂/R₁). In parallelo le capacità si sommano (stessa ΔV), in serie si sommano gli inversi (stessa carica). Con un dielettrico che riempie il condensatore C diventa ε_r C.Condensatori - capacità, serie e parallelo →): $C_p = \frac{\varepsilon_0A}{d} = \frac{8{,}854\cdot10^{-12}\cdot0{,}18}{0{,}003} = 531{,}2$ pF.
• Cilindrico: il campo tra le armature è quello di un filo, $\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}$; integrando da $R_1$ a $R_2$ si trova la d.d.p. $\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac{R_2}{R_1}$, e con $q = \lambda L$: $$C_c = \frac{2\pi\varepsilon_0L}{\ln(R_2/R_1)} = \frac{2\pi\cdot8{,}854\cdot10^{-12}\cdot0{,}9}{\ln1{,}25} = \frac{5{,}007\cdot10^{-11}}{0{,}2231} = 224{,}4\ \text{pF}.$$

Serie e carica

$$C_{eq} = \frac{C_pC_c}{C_p + C_c} = \frac{531{,}2\cdot224{,}4}{755{,}6} = 157{,}7\ \text{pF}.$$

In serie la carica è la stessa su entrambi i condensatori ed è la carica fornita dal generatore:

$$Q = C_{eq}\mathcal E = 157{,}7\cdot10^{-12}\cdot12 = \boxed{1{,}89\ \text{nC}}$$

2. Carica di polarizzazione

Il cilindrico come due condensatori in parallelo

Il liquido riempie la metà inferiore in lunghezza: le due metà (alta, vuota, e bassa, piena) hanno le stesse armature e la stessa d.d.p., quindi sono in parallelo, ciascuna lunga $L/2$:

$$C_{c1} = \frac{C_c}{2} = 112{,}2\ \text{pF (vuota)}, \qquad C_{c2} = k\frac{C_c}{2} = 280{,}5\ \text{pF (piena)}, \qquad C_c' = C_{c1} + C_{c2} = 392{,}7\ \text{pF}.$$

Ripartizione della carica

Il sistema è isolato: ogni condensatore in serie conserva la carica $Q$. Sul cilindrico la d.d.p. diventa

$$V_c = \frac{Q}{C_c'} = \frac{1{,}893\cdot10^{-9}}{392{,}7\cdot10^{-12}} = 4{,}82\ \text{V}.$$

Nella metà piena l'armatura porta $q_{c2} = V_cC_{c2} = 4{,}82\cdot280{,}5\cdot10^{-12} = 1{,}35$ nC (il resto, $0{,}54$ nC, sta nella metà vuota: la carica si concentra dove c'è il dielettrico).

Carica di polarizzazione

Sulla superficie del liquido a contatto con l'armatura (polarizzazioneq_p = (k − 1)/k · q_libera a contatto con il dielettrico.Dielettrici - polarizzazione e vettore induzione elettrica →):

$$q_p = \frac{k - 1}{k}q_{c2} = \frac{1{,}5}{2{,}5}\cdot1{,}35 = \boxed{0{,}81\ \text{nC}}$$

3. Variazione di energia

La capacità equivalente diventa

$$C_{eq,1} = \frac{C_pC_c'}{C_p + C_c'} = \frac{531{,}2\cdot392{,}7}{923{,}9} = 225{,}8\ \text{pF}.$$

Con la carica $Q$ fissa (sistema isolato) si usa $U = \frac{Q^2}{2C}$ (Energia del campo elettrostaticoCaricare un condensatore costa lavoro, immagazzinato come energia U = ½q²/C = ½CΔV² = ½qΔV; questa energia è localizzata nel campo, con densità u = ½ε₀E² (½εE² in un dielettrico). Con il condensatore isolato si conserva q, collegato al generatore si conserva ΔV: nel secondo caso il generatore fa un lavoro doppio della variazione di energia del condensatore.Energia del campo elettrostatico →):

$$\Delta U = \frac{Q^2}{2}\left(\frac{1}{C_{eq,1}} - \frac{1}{C_{eq}}\right) = 7{,}94\ \text{nJ} - 11{,}36\ \text{nJ} = \boxed{-3{,}4\ \text{nJ}}$$

L'energia diminuisce: il liquido viene "aspirato" tra le armature (è il principio per cui un liquido dielettrico risale in un condensatore verticale).

4. Tempo di scarica

Chiuso su $R$, il sistema si scarica come un unico condensatore $C_{eq,1}$ (Carica e scarica di un condensatore (circuito RC)In un circuito RC la carica non cambia istantaneamente: in carica q(t) = Cℰ(1 − e^(−t/τ)), i(t) = (ℰ/R)e^(−t/τ); in scarica q(t) = q₀e^(−t/τ), con costante di tempo τ = RC (dopo circa 5τ il transitorio è finito). Durante la carica il generatore fornisce Cℰ², metà va nel condensatore e metà è dissipata nella resistenza; in scarica tutta l'energia ½q₀²/C si dissipa, con legge e^(−2t/τ).Carica e scarica di un condensatore (circuito RC) →):

$$\tau = RC_{eq,1} = 120\cdot10^3\cdot225{,}8\cdot10^{-12} = 27{,}1\ \mu\text{s}.$$

Dopo circa $5\tau$ resta meno dell'$1\%$ della carica:

$$t \approx 5\tau = \boxed{135\ \mu\text{s}}$$

5. Energia dissipata dopo $t_1 = 68\ \mu$s

Integrale della potenza

La corrente di scarica è $i(t) = \frac{Q}{C_{eq,1}R}e^{-t/\tau}$ (d.d.p. iniziale $\frac{Q}{C_{eq,1}} = 8{,}38$ V divisa per $R$). L'energia dissipata è

$$W_R = \int_0^{t_1}Ri^2\,dt = R\left(\frac{Q}{C_{eq,1}R}\right)^2\cdot\frac\tau2\left(1 - e^{-2t_1/\tau}\right) = \frac{Q^2}{2C_{eq,1}}\left(1 - e^{-2t_1/\tau}\right),$$

usando $\tau = RC_{eq,1}$. È l'energia iniziale $U_f = 7{,}94$ nJ moltiplicata per la frazione già dissipata.

Numeri

$\frac{2t_1}{\tau} = \frac{136}{27{,}1} = 5{,}02$, $e^{-5{,}02} = 0{,}0066$:

$$W_R = 7{,}94\cdot(1 - 0{,}0066) = \boxed{7{,}9\ \text{nJ}}$$

A $68\ \mu$s (circa $2{,}5\tau$) la carica residua è ancora l'$8\%$, ma l'energia residua solo lo $0{,}7\%$: l'energia va come il quadrato della carica.

Riepilogo

Errori comuni

• Trattare il cilindrico mezzo pieno come una serie: la serie si avrebbe con uno strato di liquido tra $R_1$ e un raggio intermedio, per tutta la lunghezza.
• Usare la carica totale $Q$ per la polarizzazione: conta solo la carica sulla metà a contatto con il liquido.
• Dimenticare il fattore 2 nell'esponente dell'energia.