Esercizio 23condensatore con dielettrico in un partitore resistivo

Testo (Prova del 26.06.2026, problema 1). Un condensatore piano, riempito con un dielettrico di costante relativa $\kappa = 2$, è inserito in un circuito con un generatore di forza elettromotrice $\mathcal E$ e due resistori $R_1 = 3$ M$\Omega$ e $R_2 = 5$ M$\Omega$: il generatore, l'interruttore T e $R_1$ sono in serie, e il condensatore è collegato in parallelo a $R_2$ (figura 1A). L'area delle armature è $\Sigma = 125$ cm², la distanza $d = 0{,}2$ cm. All'istante $t = 0$ l'interruttore viene chiuso e il condensatore comincia a caricarsi. A regime l'energia immagazzinata nel condensatore è $U_e = 3\cdot10^{-4}$ J. Si calcoli:

l) la forza elettromotrice $\mathcal E$ del generatore (2 punti); m) la carica di polarizzazione nel dielettrico (2 punti).

Con l'interruttore sempre chiuso e il sistema a regime, il dielettrico viene estratto fino a occupare solo metà volume (metà dell'area delle armature, figura 1B). Dopo aver atteso il ritorno a regime, calcolare:

n) il rapporto tra le cariche delle due sezioni B (con dielettrico) e A (senza dielettrico) (2 punti); o) il lavoro fatto dal generatore per riportare il sistema a regime dopo l'estrazione (2 punti).

L'interruttore viene infine aperto e il condensatore comincia a scaricarsi. Calcolare:

p) il tempo necessario perché l'energia immagazzinata nel condensatore si dimezzi (2 punti).

Il circuito a regime

A regime il condensatore è carico e non assorbe corrente: si comporta come un circuito aperto (Carica e scarica di un condensatore (circuito RC)In un circuito RC la carica non cambia istantaneamente: in carica q(t) = Cℰ(1 − e^(−t/τ)), i(t) = (ℰ/R)e^(−t/τ); in scarica q(t) = q₀e^(−t/τ), con costante di tempo τ = RC (dopo circa 5τ il transitorio è finito). Durante la carica il generatore fornisce Cℰ², metà va nel condensatore e metà è dissipata nella resistenza; in scarica tutta l'energia ½q₀²/C si dissipa, con legge e^(−2t/τ).Carica e scarica di un condensatore (circuito RC) →). Resta una sola maglia, generatore–$R_1$–$R_2$, percorsa dalla corrente $I = \frac{\mathcal E}{R_1 + R_2}$. Il condensatore è in parallelo a $R_2$, quindi ha ai capi la stessa tensione di $R_2$:

$$V_C = R_2I = \mathcal E\frac{R_2}{R_1 + R_2}.$$

È un partitore di tensione: il condensatore riceve solo la frazione $\frac{5}{8}$ della f.e.m.

l) Forza elettromotrice

Tensione sul condensatore dall'energia

$$C = \frac{\varepsilon_0\kappa\Sigma}{d} = \frac{8{,}854\cdot10^{-12}\cdot2\cdot0{,}0125}{0{,}002} = 110{,}7\ \text{pF}.$$

$$U_e = \frac12CV_C^2 \implies V_C = \sqrt{\frac{2U_e}{C}} = \sqrt{\frac{6\cdot10^{-4}}{110{,}7\cdot10^{-12}}} = 2328\ \text{V}.$$

Dal partitore alla f.e.m.

$$\mathcal E = V_C\frac{R_1 + R_2}{R_2} = 2328\cdot\frac85 = \boxed{3725\ \text{V}}$$

m) Carica di polarizzazione

Carica libera sulle armature: $q = CV_C = 110{,}7\cdot10^{-12}\cdot2328 = 258$ nC. Sulla faccia del dielettrico a contatto con l'armatura (carica di polarizzazioneq_P = (κ − 1)/κ · q: con κ = 2 è metà della carica libera.Dielettrici - polarizzazione e vettore induzione elettrica →):

$$q_P = \frac{\kappa - 1}{\kappa}q = \frac12\cdot258 = \boxed{129\ \text{nC}}$$

n) Rapporto tra le cariche delle due sezioni

Cosa resta fisso questa volta

A differenza dell'Esercizio 9 · condensatore piano con dielettrico estratto a metà e scarica, qui l'interruttore è chiuso: a regime la d.d.p. sul condensatore torna a essere quella imposta dal partitore, $V_C = 2328$ V, qualunque sia la capacità. È la tensione a restare fissa, non la carica.

Le due sezioni

Le due metà (A vuota, B piena) sono in parallelo, ciascuna con area $\Sigma/2$:

$$C_A = \frac{\varepsilon_0\Sigma}{2d}, \qquad C_B = \frac{\varepsilon_0\kappa\Sigma}{2d} = \kappa C_A.$$

Con la stessa d.d.p. $V_C$: $q_A' = C_AV_C$, $q_B' = C_BV_C$, quindi

$$\frac{q_B'}{q_A'} = \frac{C_B}{C_A} = \kappa = \boxed{2}$$

o) Lavoro del generatore

Nuova energia

$$C_{eq} = C_A + C_B = \frac{\varepsilon_0\Sigma}{2d}(1 + \kappa) = 83{,}0\ \text{pF}, \qquad U_e' = \frac12C_{eq}V_C^2 = \frac34U_e = 225\ \mu\text{J}.$$

Perché il doppio della variazione di energia

La carica del condensatore cambia di $\Delta q = V_C(C_{eq} - C) = -64{,}4$ nC: torna indietro nel circuito. Il generatore, oltre alla corrente costante $I$ che manda sempre in $R_1$ e $R_2$, è attraversato da una parte di questa carica. Si dimostra (bilancio delle correnti nel nodo del condensatore) che la frazione che attraversa il generatore è $\frac{R_2}{R_1 + R_2}\Delta q$, quindi il lavoro in più rispetto al regime è

$$W_G = \mathcal E\cdot\frac{R_2}{R_1 + R_2}\Delta q = V_C\,\Delta q = V_C^2(C_{eq} - C) = 2\left(U_e' - U_e\right).$$

È la stessa regola del condensatore collegato direttamente a un generatore di f.e.m. $V_C$ (Energia del campo elettrostaticoCaricare un condensatore costa lavoro, immagazzinato come energia U = ½q²/C = ½CΔV² = ½qΔV; questa energia è localizzata nel campo, con densità u = ½ε₀E² (½εE² in un dielettrico). Con il condensatore isolato si conserva q, collegato al generatore si conserva ΔV: nel secondo caso il generatore fa un lavoro doppio della variazione di energia del condensatore.Energia del campo elettrostatico →): a d.d.p. fissa il generatore compie il doppio della variazione di energia.

$$W_G = 2(225 - 300)\ \mu\text{J} = \boxed{-150\ \mu\text{J}}$$

Negativo: la capacità è diminuita, la carica torna verso il generatore.

p) Tempo di dimezzamento dell'energia

Quale resistenza

Aprendo T il generatore e $R_1$ restano isolati: il condensatore si scarica solo attraverso $R_2$, che è collegata direttamente ai suoi capi. La costante di tempo è

$$\tau = R_2C_{eq} = 5\cdot10^6\cdot83{,}0\cdot10^{-12} = 415\ \mu\text{s}.$$

Energia nella scarica

$V_C(t) = V_C(0)e^{-t/\tau}$, quindi $U_e(t) = \frac12C_{eq}V_C(0)^2e^{-2t/\tau}$. L'energia si dimezza quando

$$e^{-2t/\tau} = \frac12 \implies t = \frac\tau2\ln2 = \frac{415\cdot0{,}693}{2} = \boxed{144\ \mu\text{s}}$$

È metà del tempo di dimezzamento della carica ($\tau\ln2 = 288\ \mu$s): l'energia va come il quadrato della carica.

Riepilogo

Errori comuni

• Mettere tutta la f.e.m. sul condensatore: a regime c'è il partitore, $V_C = \mathcal E R_2/(R_1 + R_2)$.
• Tenere fissa la carica con l'interruttore chiuso: è fissa la tensione.
• Usare $R_1 + R_2$ nella scarica: aprendo T il ramo con $R_1$ è interrotto.