Esercizio 1filo carico e piano carico, potenziale e velocità

Testo (Primo appello, 23.01.2024, problema 1). Un filo isolante indefinito si trova a una distanza $h = 3$ cm da un piano indefinito uniformemente carico, parallelo a esso. Nella figura il piano coincide con l'asse $Y$, il filo passa per $x = -h$ e l'asse $X$ è la perpendicolare al piano passante per il filo. La densità lineare di carica del filo è $\lambda = 20$ nC/m, la densità superficiale del piano è $\sigma = -10$ nC/m². Una piccola carica esplorativa $q = 8$ mC di massa $m = 10^{-13}$ kg è posta in quiete nel punto A, di coordinata $x_A = -1{,}5$ cm. Calcolare:

a) il campo elettrico nel punto B, di coordinata $x_B = 1{,}5$ cm (3 punti); b) la differenza di potenziale tra il punto B e il punto A (4 punti); c) il lavoro svolto dal campo elettrico per spostare la carica da A a B (2 punti); d) la velocità della carica quando attraversa il punto B (2 punti).

Schema e dati

Lungo l'asse $x$, da sinistra a destra: il filo in $x = -h = -3$ cm, il punto A in $x_A = -h/2$, il piano in $x = 0$, il punto B in $x_B = +h/2$. A e B sono simmetrici rispetto al piano, e distano dal filo rispettivamente $h/2$ e $3h/2$.

Il campo totale si ottiene per sovrapposizione (Legge di Coulomb e principio di sovrapposizioneDue cariche puntiformi q₁ e q₂ a distanza r si attirano o respingono con forza F = q₁q₂/(4πε₀r²), diretta lungo la congiungente (ε₀ = 8,85·10⁻¹² C²/(N·m²), 1/(4πε₀) ≈ 9·10⁹ N·m²/C²); con più cariche la forza totale è la somma vettoriale delle forze di ciascuna (principio di sovrapposizione).Legge di Coulomb e principio di sovrapposizione →): campo del filo più campo del piano, ciascuno calcolato come se l'altro non ci fosse.

a) Campo elettrico in B

Campo del filo

Il campo di un filo indefinito a distanza $r$ è radiale e di modulo λ/(2πε₀r)Si ricava integrando i contributi dei tratti del filo, oppure con la legge di Gauss su un cilindro coassiale.Distribuzioni continue di carica - filo, anello, disco, piano →, uscente dal filo se $\lambda > 0$. In B la distanza dal filo è $r_B = h + \frac h2 = \frac{3h}{2}$ e il campo punta lungo $+x$ (si allontana dal filo, che sta a sinistra):

$$E_{\text{filo}}(B) = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\cdot\frac{3h}{2}} = \frac{\lambda}{3\pi\varepsilon_0 h} = \frac{20\cdot10^{-9}}{3\pi\cdot8{,}854\cdot10^{-12}\cdot0{,}03} = 7{,}99\cdot10^3\ \text{V/m}.$$

Campo del piano

Il piano indefinito genera un campo uniforme di modulo $\frac{|\sigma|}{2\varepsilon_0}$, perpendicolare al piano, uscente se $\sigma > 0$ ed entrante se $\sigma < 0$ (Legge di Gauss - guscio, sfera, cilindro e pianoCon la legge di Gauss e una superficie scelta secondo la simmetria si trovano subito i campi: guscio sferico (nullo dentro, q/(4πε₀r²) fuori), sfera piena uniforme (ρr/(3ε₀) dentro, cresce linearmente), cilindro o filo indefinito (λ/(2πε₀r) fuori), piano indefinito (σ/(2ε₀)); integrando il campo si ottengono i potenziali.Legge di Gauss - guscio, sfera, cilindro e piano →). Con il segno: per $x > 0$ la componente lungo $x$ è $\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$, per $x < 0$ è $-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$.

Qui $\sigma < 0$: in B (a destra del piano) il campo punta verso il piano, cioè verso $-x$:

$$E_{\text{piano}}(B) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{-10\cdot10^{-9}}{2\cdot8{,}854\cdot10^{-12}} = -565\ \text{V/m}.$$

Somma

I due campi sono lungo lo stesso asse, quindi si sommano le componenti con il loro segno:

$$\vec E(B) = \left(\frac{\lambda}{3\pi\varepsilon_0 h} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\right)\vec u_x = (7989 - 565)\ \text{V/m}\ \vec u_x = \boxed{7{,}42\ \text{kV/m}\ \vec u_x}$$

Il campo del filo prevale perché B è ancora abbastanza vicino al filo.

b) Differenza di potenziale $V_B - V_A$

Anche il potenziale si sovrappone: $V_B - V_A = \Delta V_{\text{filo}} + \Delta V_{\text{piano}}$. In ogni caso si usa la definizione

$$V_B - V_A = -\int_A^B\vec E\cdot d\vec s,$$

con il segno menoIl potenziale diminuisce nel verso del campo: muoversi lungo E fa scendere V.Lavoro della forza elettrica e potenziale elettrostatico → e un percorso lungo l'asse $x$ (il campo è conservativo, il percorso non conta).

Contributo del filo

Nel punto di ascissa $x$ (tra A e B) la distanza dal filo è $x + h$ e il campo è $\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0(x + h)}$ lungo $+x$:

$$\Delta V_{\text{filo}} = -\int_{-h/2}^{h/2}\frac{\lambda\,dx}{2\pi\varepsilon_0(x + h)} = -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac{h + h/2}{h - h/2} = -\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln3.$$

Il logaritmo nasce dalla primitiva di $\frac{1}{x + h}$; il rapporto delle distanze dal filo è $\frac{3h/2}{h/2} = 3$.

$$\Delta V_{\text{filo}} = -\frac{20\cdot10^{-9}}{2\pi\cdot8{,}854\cdot10^{-12}}\cdot1{,}0986 = -395\ \text{V}.$$

Il segno è negativo: B è più lontano dal filo positivo, quindi a potenziale più basso.

Contributo del piano

Il campo del piano ha verso opposto ai due lati del piano e A e B sono simmetrici:

$$\Delta V_{\text{piano}} = -\left[\int_{-h/2}^{0}\left(-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\right)dx + \int_0^{h/2}\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}dx\right] = -\left[-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\frac h2 + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\frac h2\right] = 0.$$

Perché è nulloIl potenziale di un piano dipende solo dalla distanza dal piano (cresce o decresce allo stesso modo da entrambe le parti): A e B, alla stessa distanza, hanno lo stesso potenziale.: due punti alla stessa distanza dal piano hanno lo stesso potenziale del piano.

Totale

$$V_B - V_A = \Delta V_{\text{filo}} = \boxed{-395\ \text{V}}$$

c) Lavoro del campo elettrico

Il lavoro della forza elettrica è l'opposto della variazione di energia potenziale, $U = qV$ (Energia potenziale elettrostatica e conservazione dell'energiaUna carica q in un punto a potenziale V ha energia potenziale U = qV; il lavoro del campo è W = −ΔU = −qΔV e l'energia meccanica si conserva: ½mv² + qV = costante. L'energia di un sistema di cariche puntiformi è U = Σ (coppie) qᵢqⱼ/(4πε₀rᵢⱼ), il lavoro necessario per assemblarlo dall'infinito. 1 eV = 1,6·10⁻¹⁹ J è l'energia guadagnata da una carica e attraverso 1 V.Energia potenziale elettrostatica e conservazione dell'energia →):

$$W_{AB} = -(U_B - U_A) = -q(V_B - V_A) = -8\cdot10^{-3}\cdot(-395) = \boxed{3{,}16\ \text{J}}$$

È positivo: una carica positiva che va verso potenziali più bassi viene spinta dal campo nel verso del moto.

d) Velocità in B

La carica parte da ferma e l'unica forza che compie lavoro è quella elettrica. Per il teorema dell'energia cinetica (o la conservazione dell'energia $qV_A = qV_B + \frac12mv^2$):

$$\frac12mv^2 = W_{AB} \implies v = \sqrt{\frac{2W_{AB}}{m}} = \sqrt{-\frac{2q}{m}(V_B - V_A)} = \sqrt{\frac{2\cdot3{,}16}{10^{-13}}} = \boxed{7{,}95\cdot10^6\ \text{m/s}}$$

Osservazioni.

• La carica può davvero andare da A a B: in A il campo vale $\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0(h/2)} - \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = 24{,}0 + 0{,}56 = 24{,}5$ kV/m lungo $+x$, quindi la forza su $q > 0$ la spinge verso B. Si assume che possa attraversare il piano (piano ideale, senza spessore).
• La velocità ottenuta è il $2{,}6\%$ di quella della luce: i dati del testo (carica in millicoulomb e massa piccolissima) sono esagerati, ma l'uso della meccanica classica resta accettabile.

Riepilogo

Errori comuni

• Dimenticare il segno di $\sigma$: con $\sigma < 0$ il campo del piano punta verso il piano.
• Usare la distanza dal piano anche per il filo: in B la distanza dal filo è $3h/2$, non $h/2$.
• Calcolare il contributo del piano come $\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}h$: il campo cambia verso attraversando il piano e i due tratti si compensano.