Legge di Ampère e circuitazione del campo magnetico

Lezione del 01.12 (sezione 7.4 del libro di testo). Prerequisiti: Legge di Biot-Savart e campo di un filo rettilineoPrima legge elementare di Laplace: un tratto di filo ds percorso da i genera dB = (μ0/4π) i ds × u_r / r², con μ0 = 4π·10⁻⁷ T·m/A; una carica in moto genera B = (μ0/4π) q v × u_r / r². Integrando su un filo rettilineo: tratto finito B = μ0 i (sin α2 − sin α1)/(4πR); filo indefinito B = μ0 i/(2πR) (legge di Biot-Savart), con linee di campo circolari attorno al filo; filo semi-infinito visto dal piede della perpendicolare: metà. Un arco di circonferenza di angolo Δθ genera al centro B = μ0 i Δθ/(4πR).Legge di Biot-Savart e campo di un filo rettilineo →, Campo di una spira e di un solenoideUna spira circolare di raggio R percorsa da i genera sul suo asse B(z) = μ0 i R²/[2(R² + z²)^(3/2)], diretto lungo l'asse (al centro μ0 i/(2R)); lontano dalla spira B ≈ (μ0/4π)·2m/z³ con m = iπR²: è il campo di un dipolo magnetico (principio di equivalenza di Ampère: una spira piccola equivale a un ago magnetico). Un solenoide di n spire per unità di lunghezza genera all'interno, se indefinito, il campo uniforme B = μ0 n i parallelo all'asse, e nullo all'esterno.Campo di una spira e di un solenoide →, Divergenza, rotore ed equazioni di Maxwell per l'elettrostaticaCon l'operatore nabla ∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) si definiscono divergenza ∇·E (quanto campo "nasce" in un punto) e rotore ∇×E (quanto campo "gira"). Teoremi della divergenza e di Stokes trasformano le leggi integrali in leggi locali: le equazioni dell'elettrostatica sono ∮E·n dS = Q/ε₀ ⇔ ∇·E = ρ/ε₀ e ∮E·ds = 0 ⇔ ∇×E = 0; da E = −∇V segue l'equazione di Poisson ∇²V = −ρ/ε₀.Divergenza, rotore ed equazioni di Maxwell per l'elettrostatica → (circuitazione, rotore e teorema di Stokes). È una delle domande di teoria più frequenti (appelli 23.01.2025, 02.09.2025, 18.02.2026, 26.06.2026). Segue: Corrente di spostamento ed equazioni di MaxwellLa legge di Ampère non vale per correnti non stazionarie (condensatore in carica). Maxwell aggiunse la corrente di spostamento i_s = ε0 dΦ(E)/dt, che tra le armature di un condensatore è uguale alla corrente di conduzione nei fili: legge di Ampère-Maxwell ∮B·ds = μ0(i + ε0 dΦ(E)/dt), rot B = μ0 J + μ0ε0 ∂E/∂t. Con Gauss elettrica, Gauss magnetica e Faraday formano le quattro equazioni di Maxwell. Nel vuoto senza sorgenti E e B soddisfano l'equazione delle onde, con velocità c = 1/√(ε0μ0) = 3·10⁸ m/s: la luce è un'onda elettromagnetica, con E ⊥ B ⊥ direzione di propagazione ed E = cB.Corrente di spostamento ed equazioni di Maxwell →.

Circuitazione

La circuitazione di un campo vettoriale lungo una curva chiusa orientata $C$ è l'integrale di linea

$$\Lambda_C(\vec B) = \oint_C \vec B\cdot d\vec s.$$

Per il campo elettrostatico la circuitazione è sempre nulla (il campo è conservativo, Lavoro della forza elettrica e potenziale elettrostaticoIl lavoro della forza elettrostatica non dipende dal percorso (campo conservativo, circuitazione nulla); si definisce quindi il potenziale V con V(B) − V(A) = −∫ da A a B di E·ds, misurato in volt (1 V = 1 J/C). Carica puntiforme: V = q/(4πε₀r) con V(∞) = 0; più cariche: somma (scalare) dei potenziali. La forza elettromotrice di un percorso chiuso è la circuitazione di E, nulla in elettrostatica.Lavoro della forza elettrica e potenziale elettrostatico →). Per il campo magnetico non è così.

Il caso del filo indefinito

Il campo di un filo indefinito con corrente $i$ è tangente a circonferenze centrate sul filo, con modulo $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$.

1. Circonferenza di raggio $r$ attorno al filo, percorsa nel verso di $\vec B$: $\vec B$ e $d\vec s$ sono paralleli, $B$ è costante, quindi $$\oint \vec B\cdot d\vec s = B\cdot 2\pi r = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}\cdot 2\pi r = \mu_0 i.$$ Il raggio si semplifica: il risultato non dipende da $r$.
2. Curva qualsiasi che gira attorno al filo. In coordinate polari attorno al filo, $\vec B\cdot d\vec s = B\,r\,d\varphi$ (conta solo lo spostamento lungo la circonferenza, quello radiale è perpendicolare a $\vec B$). Quindi $\vec B\cdot d\vec s = \frac{\mu_0 i}{2\pi}d\varphi$ e su un giro completo $\varphi$ aumenta di $2\pi$: di nuovo $\mu_0 i$.
3. Curva che non gira attorno al filo. L'angolo $\varphi$ prima aumenta e poi torna al valore iniziale: la circuitazione è zero.

Enunciato

Legge di Ampère: per ogni curva chiusa orientata $C$ $$\oint_C \vec B\cdot d\vec s = \mu_0\sum_k i_k,$$ dove la somma è sulle correnti concatenate con $C$ (che attraversano una qualunque superficie che ha $C$ come bordo), ciascuna presa con il segno $+$ se il suo verso è legato al verso di percorrenza di $C$ dalla regola della mano destra, con il segno $-$ altrimenti.

• Regola dei segni: con le dita della mano destra piegate nel verso di percorrenza di $C$, il pollice indica il verso delle correnti positive.
• Le correnti non concatenate non contano nella circuitazione, anche se contribuiscono al campo $\vec B$ in ogni punto della curva: i loro contributi si compensano lungo il giro.
• Una corrente che attraversa la superficie più volte (una bobina di $N$ spire concatenata con la curva) conta $N$ volte: $\mu_0 N i$.
• Vale per correnti stazionarie (e per qualunque forma dei conduttori: la si dimostra in generale dalla prima legge di Laplace).

Significato. La circuitazione di $\vec B$ non è nulla: il campo magnetico non è conservativo e non esiste un potenziale scalare magnetico valido ovunque. Le linee di $\vec B$ si avvolgono attorno alle correnti che le generano.

Esempio d'esame (appello 23.01.2024, Esercizio 2 · due fili paralleli, circuitazione e forza su un terzo filo). Una curva $C$ racchiude due fili con correnti opposte $i_1$ e $i_2$; il verso di $C$ rende positiva $i_2$: $\Lambda_C = \mu_0(i_2 - i_1)$, da cui $i_2 = \frac{\Lambda_C}{\mu_0} + i_1$.

Applicazioni: calcolo del campo

La legge di Ampère permette di calcolare $\vec B$ quando la simmetria permette di scegliere una curva su cui $B$ è costante e parallelo (o perpendicolare) a $d\vec s$: è l'analogo della legge di GaussSi sceglie una superficie dove E è costante e perpendicolare, così il flusso diventa E per area.Legge di Gauss - guscio, sfera, cilindro e piano → per il campo elettrico.

Filo indefinito

Circonferenza di raggio $r$: $B\cdot2\pi r = \mu_0 i \implies B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$. È la legge di Biot-Savart, ritrovata in una riga.

Cilindro conduttore pieno

Un conduttore cilindrico di raggio $R$, molto lungo, è percorso dalla corrente $i$ distribuita uniformemente sulla sezione (densità $J = \frac{i}{\pi R^2}$). Per simmetria le linee di campo sono circonferenze coassiali.

• Fuori ($r \ge R$): la curva concatena tutta la corrente, $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$, come un filo.
• Dentro ($r < R$): la curva concatena solo la corrente che passa nel cerchio di raggio $r$, cioè $i\frac{\pi r^2}{\pi R^2} = i\frac{r^2}{R^2}$: $$B\cdot2\pi r = \mu_0 i\frac{r^2}{R^2} \implies B = \frac{\mu_0 i\,r}{2\pi R^2}.$$

Il campo cresce linearmente dentro, è massimo sulla superficie e decresce come $\frac1r$ fuori.

Cavo coassiale

Un conduttore interno con corrente $i$ e un guscio esterno con la corrente $i$ di ritorno (verso opposto). Tra i due conduttori $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$; fuori dal cavo la corrente concatenata totale è $i - i = 0$ e $B = 0$: il cavo non disturba l'ambiente.

Solenoide indefinito

Si usa un rettangolo con due lati di lunghezza $\ell$ paralleli all'asse, uno dentro e uno fuori dal solenoide.

• Per simmetria il campo è parallelo all'asse; fuori da un solenoide indefinito è nullo (lo si verifica allontanando all'infinito il lato esterno).
• I lati perpendicolari all'asse danno contributo nullo: $\vec B$ è perpendicolare a $d\vec s$ (dentro) o nullo (fuori).
• Resta il lato interno: $B\ell$. La corrente concatenata è quella delle $n\ell$ spire che attraversano il rettangolo: $$B\ell = \mu_0 n\ell\,i \implies B = \mu_0 n i.$$

Il risultato non dipende dalla posizione del lato interno: il campo dentro è uniforme.

Toroide

Un toroide è un solenoide richiuso ad anello: $N$ spire avvolte su una ciambella. Per simmetria le linee di campo sono circonferenze coassiali con il toroide. Circonferenza di raggio $r$:

• dentro il toroide la curva concatena $N$ volte la corrente: $B\cdot2\pi r = \mu_0 N i$, quindi $$B = \frac{\mu_0 N i}{2\pi r};$$
• fuori (nel buco centrale o all'esterno) la corrente concatenata netta è nulla: $B = 0$.

Il campo è tutto confinato nel toroide e varia come $\frac1r$; se il toroide è sottile rispetto al raggio, $B \approx \mu_0\frac{N}{2\pi r}i = \mu_0 n i$ come nel solenoide.

Forma locale

Dal teorema di Stokes

La corrente concatenata con $C$ è il flusso della densità di correnteJ è la corrente per unità di superficie perpendicolare: i = flusso di J attraverso la sezione.Corrente elettrica, densità di corrente ed equazione di continuità → attraverso una superficie $\Sigma$ con bordo $C$: $\sum i = \int_\Sigma \vec J\cdot\vec u_n\,d\Sigma$. Per il teorema di Stokes la circuitazione è il flusso del rotore:

$$\oint_C \vec B\cdot d\vec s = \int_\Sigma (\nabla\times\vec B)\cdot\vec u_n\,d\Sigma.$$

La legge di Ampère diventa

$$\int_\Sigma (\nabla\times\vec B)\cdot\vec u_n\,d\Sigma = \mu_0\int_\Sigma \vec J\cdot\vec u_n\,d\Sigma.$$

Questo vale per ogni superficie $\Sigma$, anche piccolissima e comunque orientata: le funzioni integrande devono coincidere punto per punto.

Legge di Ampère in forma locale: $$\nabla\times\vec B = \mu_0\vec J.$$

Dove non c'è corrente il rotore di $\vec B$ è nullo; dove c'è corrente le linee di $\vec B$ "girano" attorno a $\vec J$.

Equazioni di Maxwell per i campi statici

Con le cariche ferme e le correnti stazionarie, i campi elettrico e magnetico sono disaccoppiati e soddisfano:

Quando i campi variano nel tempo, la seconda e la quarta cambiano: compare la legge di Faraday (Legge di Faraday-Neumann-Lenz e fem indottaQuando il flusso di B concatenato con un circuito cambia nel tempo, nel circuito compare la fem indotta ℰ = −dΦ/dt (legge di Faraday-Neumann); il segno meno (legge di Lenz) dice che la corrente indotta si oppone alla variazione di flusso. Il flusso può cambiare perché cambia B, l'area, l'orientazione o la posizione del circuito. Sbarretta su rotaie: ℰ = Bℓv, forza frenante B²ℓ²v/R, potenza meccanica uguale a quella dissipata; lasciata libera rallenta come v₀e^(−t/τ) con τ = mR/(B²ℓ²). Legge di Felici: la carica che circola è q = ΔΦ/R. In forma generale ∮E·ds = −dΦ/dt, cioè rot E = −∂B/∂t: il campo elettrico indotto non è conservativo.Legge di Faraday-Neumann-Lenz e fem indotta →) e la corrente di spostamento (Corrente di spostamento ed equazioni di MaxwellLa legge di Ampère non vale per correnti non stazionarie (condensatore in carica). Maxwell aggiunse la corrente di spostamento i_s = ε0 dΦ(E)/dt, che tra le armature di un condensatore è uguale alla corrente di conduzione nei fili: legge di Ampère-Maxwell ∮B·ds = μ0(i + ε0 dΦ(E)/dt), rot B = μ0 J + μ0ε0 ∂E/∂t. Con Gauss elettrica, Gauss magnetica e Faraday formano le quattro equazioni di Maxwell. Nel vuoto senza sorgenti E e B soddisfano l'equazione delle onde, con velocità c = 1/√(ε0μ0) = 3·10⁸ m/s: la luce è un'onda elettromagnetica, con E ⊥ B ⊥ direzione di propagazione ed E = cB.Corrente di spostamento ed equazioni di Maxwell →).

Limite della legge di Ampère

Prendendo la divergenza della forma locale: $\nabla\cdot(\nabla\times\vec B) = 0$ (la divergenza di un rotore è sempre nulla), quindi $\nabla\cdot\vec J = 0$. Ma per l'equazione di continuitàdiv J = −∂ρ/∂t: la corrente uscente da un volume è la diminuzione della carica dentro.Corrente elettrica, densità di corrente ed equazione di continuità → questo vale solo se la densità di carica non cambia nel tempo, cioè in regime stazionario.

Esempio di contraddizione: un condensatore in carica. Una curva attorno al filo concatena la corrente $i$ se la superficie taglia il filo, ma zero se la superficie passa tra le armature, dove non c'è corrente di conduzione. Maxwell risolse il problema aggiungendo la corrente di spostamento $\varepsilon_0\frac{d\Phi(\vec E)}{dt}$ (Corrente di spostamento ed equazioni di MaxwellLa legge di Ampère non vale per correnti non stazionarie (condensatore in carica). Maxwell aggiunse la corrente di spostamento i_s = ε0 dΦ(E)/dt, che tra le armature di un condensatore è uguale alla corrente di conduzione nei fili: legge di Ampère-Maxwell ∮B·ds = μ0(i + ε0 dΦ(E)/dt), rot B = μ0 J + μ0ε0 ∂E/∂t. Con Gauss elettrica, Gauss magnetica e Faraday formano le quattro equazioni di Maxwell. Nel vuoto senza sorgenti E e B soddisfano l'equazione delle onde, con velocità c = 1/√(ε0μ0) = 3·10⁸ m/s: la luce è un'onda elettromagnetica, con E ⊥ B ⊥ direzione di propagazione ed E = cB.Corrente di spostamento ed equazioni di Maxwell →).

Domanda d'esame tipo

"Si scriva la legge di Ampère in forma integrale e se ne riassuma il significato; si ricavi la forma locale; quando serve estenderla alla legge di Ampère-Maxwell; si scriva la legge di Ampère-Maxwell in forma locale."

1. $\oint_C \vec B\cdot d\vec s = \mu_0\sum i_{\text{conc}}$: la circuitazione dipende solo dalle correnti concatenate; $\vec B$ non è conservativo.
2. Stokes: $\int_\Sigma(\nabla\times\vec B - \mu_0\vec J)\cdot\vec u_n\,d\Sigma = 0$ per ogni $\Sigma$ $\implies \nabla\times\vec B = \mu_0\vec J$.
3. Quando le correnti non sono stazionarie (cariche che si accumulano, come in un condensatore in carica): la legge di Ampère contraddirebbe la conservazione della carica.
4. $\nabla\times\vec B = \mu_0\vec J + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}$.

Errori comuni

• Dimenticare i segni delle correnti concatenate.
• Concludere che $B = 0$ sulla curva perché la circuitazione è nulla: la circuitazione nulla dice solo che i contributi si compensano lungo il giro.
• Usare la legge di Ampère senza simmetria: è sempre vera, ma serve a calcolare $B$ solo se si può portare $B$ fuori dall'integrale.
• Nel cilindro pieno usare tutta la corrente anche dentro: dentro conta solo la frazione $r^2/R^2$.