Esercizio 15tre sfere concentriche e particella in orbita

Testo (Prova del 02.09.2025, problema 1). Tre sfere conduttrici concentriche di spessore trascurabile hanno raggi $R_1 < R_2$, $R_2 = 4$ cm e $R_3 = 8$ cm. Le due sfere interne sono collegate tra loro da un filo conduttore. La sfera 1 e la sfera 3 sono collegate a un generatore di forza elettromotrice, per cui $V_1 - V_3 = V_1 = -200$ V, scegliendo $V_3 = 0$. Calcolare:

1. le cariche (con segno) sulle tre sfere $q_1$, $q_2$, $q_3$ (3 punti);
2. il vettore campo elettrostatico nel punto P, a distanza $OP = 6$ cm dal centro (2 punti);
3. la variazione di energia potenziale del sistema se lo si isola e si riempiono gli spazi vuoti con un dielettrico di costante relativa $\varepsilon_r = 4$ (3 punti).

Una particella con rapporto massa/carica $m/q = 2{,}2\cdot10^{-8}$ kg/C viene rilasciata al tempo $t = 0$ nel piano del foglio con velocità $v_0$ tangente alla circonferenza concentrica di raggio $OP = 6$ cm.

4. Calcolare il periodo di rotazione della particella (2 punti).

1. Cariche sulle sfere

Sfera 1: carica nulla

Le sfere 1 e 2 sono collegate da un filo: formano un unico conduttore e sono allo stesso potenziale. Nello spazio vuoto tra loro il campo deve essere nullo: se ci fosse un campo, integrandolo da $R_1$ a $R_2$ si troverebbe una d.d.p. diversa da zero. Per la legge di Gauss su una sfera di raggio $R_1 < r < R_2$, campo nullo significa carica interna nulla:

$$\boxed{q_1 = 0}$$

È lo stesso motivo per cui la carica di un conduttore cavo sta tutta sulla superficie esterna (Conduttori in equilibrio, conduttori cavi e schermo elettrostaticoIn un conduttore in equilibrio il campo interno è nullo, il conduttore è tutto allo stesso potenziale, la carica sta sulla superficie e appena fuori il campo è perpendicolare alla superficie con modulo σ/ε₀ (teorema di Coulomb). In una cavità vuota il campo è nullo (schermo elettrostatico); una carica q dentro la cavità induce −q sulla parete interna e +q su quella esterna (induzione completa).Conduttori in equilibrio, conduttori cavi e schermo elettrostatico →): la sfera 1 è "dentro" il conduttore formato da 1 e 2.

Sfere 2 e 3: un condensatore sferico

Tra la sfera 2 e la sfera 3 c'è la d.d.p. $V_2 - V_3 = V_1 - V_3 = -200$ V. Le due sfere formano un condensatore sferico (Condensatori - capacità, serie e paralleloUn condensatore sono due conduttori in induzione completa con cariche ±q; la capacità C = q/ΔV (farad) dipende solo dalla geometria: piano ε₀S/d, sferico 4πε₀R₁R₂/(R₂ − R₁), cilindrico 2πε₀L/ln(R₂/R₁). In parallelo le capacità si sommano (stessa ΔV), in serie si sommano gli inversi (stessa carica). Con un dielettrico che riempie il condensatore C diventa ε_r C.Condensatori - capacità, serie e parallelo →):

$$C = 4\pi\varepsilon_0\frac{R_2R_3}{R_3 - R_2} = 4\pi\cdot8{,}854\cdot10^{-12}\cdot\frac{0{,}04\cdot0{,}08}{0{,}04} = 8{,}90\ \text{pF}.$$

$$\boxed{q_2 = C(V_2 - V_3) = 8{,}90\cdot10^{-12}\cdot(-200) = -1{,}78\ \text{nC}}$$

La sfera esterna è a potenziale zero, come l'infinito: fuori dal sistema non c'è campo, quindi la carica totale è nulla:

$$\boxed{q_3 = -q_2 = +1{,}78\ \text{nC}}$$

2. Campo nel punto P

P è tra la sfera 2 e la sfera 3. Per la legge di Gauss su una sfera di raggio $r_P = 6$ cm (Legge di Gauss - guscio, sfera, cilindro e pianoCon la legge di Gauss e una superficie scelta secondo la simmetria si trovano subito i campi: guscio sferico (nullo dentro, q/(4πε₀r²) fuori), sfera piena uniforme (ρr/(3ε₀) dentro, cresce linearmente), cilindro o filo indefinito (λ/(2πε₀r) fuori), piano indefinito (σ/(2ε₀)); integrando il campo si ottengono i potenziali.Legge di Gauss - guscio, sfera, cilindro e piano →), il campo è radiale e dipende solo dalla carica interna $q_1 + q_2 = q_2$:

$$E_P\cdot4\pi r_P^2 = \frac{q_2}{\varepsilon_0} \implies E_P = \frac{q_2}{4\pi\varepsilon_0r_P^2} = \frac{-1{,}78\cdot10^{-9}}{4\pi\cdot8{,}854\cdot10^{-12}\cdot0{,}0036} = -4{,}44\ \text{kV/m}.$$

$$\boxed{\vec E_P = (-4{,}44\ \text{kV/m})\,\vec u_r}$$

con $\vec u_r$ versore radiale uscente: il campo punta verso il centro, perché la carica interna è negativa.

3. Variazione di energia con il dielettrico

Cosa resta costante

Il sistema viene isolato prima di inserire il dielettrico: la carica $q_2$ non cambia. Il dielettrico moltiplica la capacità per $\varepsilon_r$ (nello spazio tra 1 e 2 e all'esterno il campo è nullo e il dielettrico non cambia nulla). Con carica fissa conviene $U = \frac{q^2}{2C}$ (Energia del campo elettrostaticoCaricare un condensatore costa lavoro, immagazzinato come energia U = ½q²/C = ½CΔV² = ½qΔV; questa energia è localizzata nel campo, con densità u = ½ε₀E² (½εE² in un dielettrico). Con il condensatore isolato si conserva q, collegato al generatore si conserva ΔV: nel secondo caso il generatore fa un lavoro doppio della variazione di energia del condensatore.Energia del campo elettrostatico →):

$$\Delta U = \frac{q_2^2}{2\varepsilon_rC} - \frac{q_2^2}{2C} = \frac{q_2^2}{2C}\left(\frac1{\varepsilon_r} - 1\right).$$

Calcolo

$\frac{q_2^2}{2C} = \frac12CV^2 = \frac12\cdot8{,}90\cdot10^{-12}\cdot200^2 = 1{,}78\cdot10^{-7}$ J.

$$\Delta U = 1{,}78\cdot10^{-7}\cdot\left(\frac14 - 1\right) = \boxed{-1{,}34\cdot10^{-7}\ \text{J} = -0{,}134\ \mu\text{J}}$$

L'energia diminuisce: con la stessa carica, il campo (e quindi l'energia, che va come $E^2$) si riduce di un fattore $\varepsilon_r$. (La soluzione ufficiale riporta $-13{,}4\ \mu$J: è un errore di un fattore $100$ nelle potenze di dieci; il valore corretto è $-0{,}134\ \mu$J $= -134$ nJ.)

4. Periodo della particella

Perché un'orbita circolare

Il campo tra le sfere 2 e 3 è radiale e punta verso il centro. Una particella positiva lanciata tangente alla circonferenza di raggio $r_P$ sente una forza diretta verso il centro, di modulo costante su quella circonferenza: se la velocità è quella giusta, la forza fa da forza centripeta e il moto è circolare uniforme, come un satellite attorno a un pianeta. (Il testo considera il campo prima dell'inserimento del dielettrico.)

Velocità e periodo

$$q|E_P| = m\frac{v_0^2}{r_P} \implies v_0 = \sqrt{\frac{q}{m}|E_P|r_P} = \sqrt{\frac{4444\cdot0{,}06}{2{,}2\cdot10^{-8}}} = 1{,}10\cdot10^5\ \text{m/s}.$$

$$T = \frac{2\pi r_P}{v_0} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{q}\cdot\frac{r_P}{|E_P|}} = 2\pi\sqrt{\frac{2{,}2\cdot10^{-8}\cdot0{,}06}{4444}} = \boxed{3{,}42\ \mu\text{s}}$$

Si noti che serve solo il rapporto $m/q$, che è il dato fornito. Se la particella orbitasse nel dielettrico (punto 3), il campo sarebbe $\varepsilon_r = 4$ volte più debole e il periodo, che va come $1/\sqrt{E}$, raddoppierebbe: $6{,}85\ \mu$s.

Riepilogo

Errori comuni

• Usare $R_1$ nella capacità: la sfera 1 non porta carica; il condensatore è tra le sfere 2 e 3.
• Mettere la carica totale nel campo in P: dentro la sfera di raggio $6$ cm c'è solo $q_1 + q_2$.
• Tenere la d.d.p. costante nel punto 3: il sistema è isolato, resta costante la carica.