Esercizio 20spira che entra in un campo magnetico frenata dalla corrente indotta

Testo (Primo appello, 22.01.2026, problema 2). Una spira quadrata di lato $a = 12$ cm, massa $m = 0{,}3$ kg e resistenza $R = 1\ \Omega$ si trova appena fuori dal confine di una zona B in cui c'è un campo magnetico $B = 2$ T, uniforme, perpendicolare alla spira (lungo l'asse $z$). All'istante $t_0 = 0$ riceve un impulso e entra nella zona B con velocità iniziale $v_0 = 5$ m/s, seguendo la legge oraria

$$x(t) = A\left(1 - e^{-t/\tau}\right),$$

dove $x(t)$ è la posizione del lato destro della spira (misurata dal confine), $A = 26{,}05$ m e $\tau = 5{,}21$ s. Calcolare:

1. il tempo $t_1$ che impiega la spira a trovarsi interamente nella zona B (1 punto);
2. la carica che ha circolato nella spira tra $t_0$ e $t_1$ (2 punti);
3. la corrente nella spira all'istante $t_1/2$ (2 punti);
4. la forza che agisce sul lato destro della spira all'istante $t_1/2$ (2 punti);
5. partendo dall'equazione del moto, esprimere $A$ e $\tau$ in funzione di $a$, $m$, $R$, $B$ e $v_0$ (3 punti).

Cosa succede

Mentre la spira entra, l'area immersa nel campo cresce e con essa il flusso: nella spira circola una corrente indotta. Il lato destro, già dentro il campo, è percorso da questa corrente e subisce una forza che (legge di Lenz) frena l'ingresso. È esattamente la sbarretta lasciata libera della nota Legge di Faraday-Neumann-Lenz e fem indottaQuando il flusso di B concatenato con un circuito cambia nel tempo, nel circuito compare la fem indotta ℰ = −dΦ/dt (legge di Faraday-Neumann); il segno meno (legge di Lenz) dice che la corrente indotta si oppone alla variazione di flusso. Il flusso può cambiare perché cambia B, l'area, l'orientazione o la posizione del circuito. Sbarretta su rotaie: ℰ = Bℓv, forza frenante B²ℓ²v/R, potenza meccanica uguale a quella dissipata; lasciata libera rallenta come v₀e^(−t/τ) con τ = mR/(B²ℓ²). Legge di Felici: la carica che circola è q = ΔΦ/R. In forma generale ∮E·ds = −dΦ/dt, cioè rot E = −∂B/∂t: il campo elettrico indotto non è conservativo.Legge di Faraday-Neumann-Lenz e fem indotta →, con il lato destro nel ruolo della sbarretta. Quando la spira è tutta dentro, il flusso smette di cambiare e la frenata cessa.

Dalla legge oraria: $v(t) = \dot x = \frac A\tau e^{-t/\tau}$, e $\frac A\tau = \frac{26{,}05}{5{,}21} = 5$ m/s $= v_0$ ✓.

1. Tempo per entrare completamente

La spira è tutta dentro quando il lato destro ha percorso un lato: $x(t_1) = a$.

$$A\left(1 - e^{-t_1/\tau}\right) = a \implies e^{-t_1/\tau} = 1 - \frac aA \implies t_1 = -\tau\ln\left(1 - \frac aA\right).$$

$$t_1 = -5{,}21\cdot\ln\left(1 - \frac{0{,}12}{26{,}05}\right) = -5{,}21\cdot\ln(0{,}99539) = 5{,}21\cdot0{,}004617 = \boxed{24{,}1\ \text{ms}}$$

Poiché $a \ll A$, la velocità cambia pochissimo durante l'ingresso: $t_1 \approx a/v_0 = 24$ ms.

2. Carica circolata

Con la legge di Feliciq =|ΔΦ|/R: dipende solo dai flussi iniziale e finale.Legge di Faraday-Neumann-Lenz e fem indotta →: all'inizio la spira è fuori ($\Phi = 0$), alla fine è tutta dentro ($\Phi = Ba^2$):

$$q = \frac{Ba^2 - 0}{R} = \frac{2\cdot0{,}0144}{1} = \boxed{28{,}8\ \text{mC}}$$

3. Corrente a $t_1/2$

Fem

Durante l'ingresso l'area nel campo è $a\,x(t)$ e il flusso $\Phi = Ba\,x(t)$:

$$\mathcal E = -\frac{d\Phi}{dt} = -Ba\frac{dx}{dt} = -Ba\frac A\tau e^{-t/\tau}.$$

È la fem $Bav$ della "sbarretta" (il lato destro) di lunghezza $a$ che si muove con velocità $v(t)$.

Corrente

$$i\left(\frac{t_1}{2}\right) = \frac{|\mathcal E|}{R} = \frac{BaA}{\tau R}e^{-t_1/(2\tau)} = \frac{2\cdot0{,}12\cdot5}{1}\cdot e^{-0{,}0023} = \boxed{1{,}2\ \text{A}}$$

(Il fattore esponenziale vale $0{,}998$: la velocità a $t_1/2$ è ancora $4{,}99$ m/s.)

4. Forza sul lato destro

Forze sui lati

• I due lati orizzontali (paralleli al moto) sono dentro il campo solo in parte, ma per tratti uguali, e sono percorsi da correnti opposte: le loro forze si annullano.
• Il lato sinistro è ancora fuori dal campo: nessuna forza.
• Il lato destro, lungo $a$, è perpendicolare al campo: per la seconda legge di LaplaceF = i L × B.Forze e momenti magnetici su circuiti percorsi da corrente → subisce $F = iaB$, opposta alla velocità (legge di Lenz).

Calcolo

$$\vec F\left(\frac{t_1}{2}\right) = -\frac{B^2a^2A}{\tau R}e^{-t_1/(2\tau)}\,\vec u_x = -\frac{4\cdot0{,}0144\cdot5}{1}\cdot0{,}998\ \vec u_x = \boxed{-0{,}29\ \text{N}\ \vec u_x}$$

5. $A$ e $\tau$ dall'equazione del moto

Equazione

L'unica forza lungo $x$ è quella frenante: $F = -iaB = -\frac{B^2a^2}{R}v$. Per la seconda legge di Newton:

$$m\ddot x = -\frac{B^2a^2}{R}\dot x.$$

Sostituzione della legge oraria

Dalla legge oraria data: $\dot x = \frac A\tau e^{-t/\tau}$ e $\ddot x = -\frac{A}{\tau^2}e^{-t/\tau}$. Sostituendo:

$$-m\frac{A}{\tau^2}e^{-t/\tau} = -\frac{B^2a^2}{R}\cdot\frac A\tau e^{-t/\tau}.$$

L'uguaglianza deve valere a ogni istante: si semplificano $A$ e l'esponenziale, e resta $\frac m\tau = \frac{B^2a^2}{R}$:

$$\tau = \frac{mR}{B^2a^2} = \frac{0{,}3\cdot1}{4\cdot0{,}0144} = 5{,}21\ \text{s}.$$

La condizione iniziale $\dot x(0) = v_0$ dà $\frac A\tau = v_0$:

$$A = v_0\tau = \frac{v_0mR}{B^2a^2} = 5\cdot5{,}21 = 26{,}0\ \text{m}.$$

Entrambi i valori coincidono con quelli del testo.

Significato di $A$. È lo spazio che il lato destro percorrerebbe in tutto (per $t \to \infty$) se la frenata durasse per sempre. Qui però la frenata si ferma dopo $a = 12$ cm, quando la spira è tutta dentro: da lì in poi il flusso non cambia più, la corrente si annulla e la spira prosegue a velocità costante ($v(t_1) = 4{,}977$ m/s). La legge oraria del testo vale quindi solo per $0 \le t \le t_1$. L'energia cinetica persa, $\frac12m(v_0^2 - v(t_1)^2) = 34$ mJ, è quella dissipata per effetto Joule nella spira.

Riepilogo

Errori comuni

• Mettere la forza su tutti i lati: il lato sinistro è fuori dal campo e quelli orizzontali si compensano.
• Usare $x(t_1) = A$: la spira è dentro quando il lato destro ha percorso $a$.
• Applicare la legge oraria anche dopo $t_1$: senza variazione di flusso non c'è più frenata.