Mutua induzione e circuiti accoppiati

Lezione del 15.12 (sezioni 8.7 e 8.8 del libro di testo). Prerequisiti: Legge di Faraday-Neumann-Lenz e fem indottaQuando il flusso di B concatenato con un circuito cambia nel tempo, nel circuito compare la fem indotta ℰ = −dΦ/dt (legge di Faraday-Neumann); il segno meno (legge di Lenz) dice che la corrente indotta si oppone alla variazione di flusso. Il flusso può cambiare perché cambia B, l'area, l'orientazione o la posizione del circuito. Sbarretta su rotaie: ℰ = Bℓv, forza frenante B²ℓ²v/R, potenza meccanica uguale a quella dissipata; lasciata libera rallenta come v₀e^(−t/τ) con τ = mR/(B²ℓ²). Legge di Felici: la carica che circola è q = ΔΦ/R. In forma generale ∮E·ds = −dΦ/dt, cioè rot E = −∂B/∂t: il campo elettrico indotto non è conservativo.Legge di Faraday-Neumann-Lenz e fem indotta →, Autoinduzione, circuiti RL e LC, energia magneticaUn circuito percorso da corrente concatena il flusso del proprio campo: Φ = L i, con L coefficiente di autoinduzione (henry; solenoide L = μ0 n² Σ ℓ). Se i varia compare la fem autoindotta −L di/dt. Circuito RL in chiusura: i = (ℰ/R)(1 − e^(−t/τ)), τ = L/R (extracorrente di chiusura); in apertura i = i₀e^(−t/τ). Un'induttanza percorsa da i immagazzina U = ½Li², con densità di energia magnetica u = B²/(2μ0). Circuito LC: la carica oscilla come q₀cos(ωt), ω = 1/√(LC), con l'energia che passa dal condensatore all'induttanza e viceversa.Autoinduzione, circuiti RL e LC, energia magnetica →, Campo di una spira e di un solenoideUna spira circolare di raggio R percorsa da i genera sul suo asse B(z) = μ0 i R²/[2(R² + z²)^(3/2)], diretto lungo l'asse (al centro μ0 i/(2R)); lontano dalla spira B ≈ (μ0/4π)·2m/z³ con m = iπR²: è il campo di un dipolo magnetico (principio di equivalenza di Ampère: una spira piccola equivale a un ago magnetico). Un solenoide di n spire per unità di lunghezza genera all'interno, se indefinito, il campo uniforme B = μ0 n i parallelo all'asse, e nullo all'esterno.Campo di una spira e di un solenoide →. Domanda di teoria nell'appello 02.09.2025; compare in molti problemi (solenoide e bobina, filo e bobina).

Coefficiente di mutua induzione

Definizione

Due circuiti fermi, 1 e 2. Il circuito 1 è percorso dalla corrente $i_1$ e genera un campo $\vec B_1$ proporzionale a $i_1$. Il flusso di $\vec B_1$ concatenato con il circuito 2 è quindi anch'esso proporzionale a $i_1$:

$$\Phi_2(\vec B_1) = M_{21}\,i_1, \qquad \Phi_1(\vec B_2) = M_{12}\,i_2.$$

Simmetria

Si dimostra (formula di Neumann) che

$$M_{12} = M_{21} = M = \frac{\mu_0}{4\pi}\oint_1\oint_2\frac{d\vec s_1\cdot d\vec s_2}{r_{12}},$$

dove $r_{12}$ è la distanza tra i due tratti. L'espressione è simmetrica nei due circuiti: il flusso che 1 manda in 2 con una corrente unitaria è uguale al flusso che 2 manda in 1 con la stessa corrente. $M$ dipende solo dalla geometria (forma, dimensioni, posizione reciproca, orientazione) e dal materiale; si misura in henry. Può essere positivo o negativo a seconda dei versi scelti per le correnti.

Conseguenza pratica. Si calcola $M$ facendo circolare la corrente nel circuito per cui il campo è più facile da calcolare (un solenoide, un filo) e calcolando il flusso nell'altro.

Fem di mutua induzione

Se $i_1$ varia nel tempo (e la geometria è fissa), varia il flusso nel circuito 2:

$$\mathcal E_2 = -\frac{d\Phi_2}{dt} = -M\frac{di_1}{dt}, \qquad \mathcal E_1 = -M\frac{di_2}{dt}.$$

Se cambia anche la geometria (una bobina che ruota), $M$ dipende dal tempo e si deriva il prodotto: $\mathcal E_2 = -\frac{d(Mi_1)}{dt}$.

Calcolo di $M$ in casi tipici

Bobina dentro un solenoide

Una bobina di $N$ spire di area $\Sigma$ dentro un solenoide ideale ($n$ spire per unità di lunghezza, corrente $i$); la normale alla bobina forma l'angolo $\theta$ con l'asse.

1. Campo del solenoide, uniforme: $B = \mu_0 n i$.
2. Flusso nella bobina: $\Phi_b = N\Sigma B\cos\theta = N\Sigma\mu_0 n i\cos\theta$.

$$M = \mu_0\,n\,N\,\Sigma\cos\theta.$$

Esempi d'esame.

• Bobina circolare $N_b = 8$, $R_b = 5$ cm, $\theta = 60°$ in un solenoide con $n = 5000$ spire/m: $M = 4\pi\cdot10^{-7}\cdot5000\cdot8\cdot\pi\cdot0{,}05^2\cdot0{,}5 = 0{,}197$ mH (appello 24.06.2025, Esercizio 14 · bobina inclinata in un solenoide con corrente sinusoidale).
• Bobina quadrata che ruota, $\theta(t) = \frac\pi2e^{-t/\tau}$: $M(t) = \mu_0 nNa^2\cos\theta(t)$, nullo all'inizio ($\theta = \pi/2$, bobina parallela al campo) e massimo alla fine (appello 20.02.2024, Esercizio 4 · bobina che ruota in un solenoide, mutua induzione e legge di Felici).

Piccola bobina vicino a un filo

Un filo indefinito con corrente $i$ e una bobina di $N$ spire, area $\Sigma = a^2$ piccola rispetto alla distanza $d$ dal filo, nel piano del filo. Il campo è praticamente uniforme sulla bobina: $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi d}$, perpendicolare al piano.

$$M = \frac{\Phi}{i} = \frac{\mu_0 N a^2}{2\pi d}.$$

Esempio: $N = 55$, $a = 2{,}9$ mm, $d = 15$ cm: $M = \frac{2\cdot10^{-7}\cdot55\cdot(2{,}9\cdot10^{-3})^2}{0{,}15} = 617$ pH (appello 18.02.2026, Esercizio 22 · filo con corrente crescente e piccola bobina quadrata).

Filo e spira rettangolare (calcolo esatto)

Spira rettangolare con lati $h$ paralleli al filo, a distanze da $d$ a $d + b$. Il campo varia come $\frac1x$: si divide la spira in strisce di larghezza $dx$, area $h\,dx$:

$$\Phi = \int_d^{d + b}\frac{\mu_0 i}{2\pi x}h\,dx = \frac{\mu_0 i h}{2\pi}\ln\frac{d + b}{d} \implies M = \frac{\mu_0 h}{2\pi}\ln\frac{d + b}{d}.$$

Se $b \ll d$, $\ln(1 + b/d) \approx b/d$ e si ritrova $M \approx \frac{\mu_0 hb}{2\pi d}$, il caso della bobina piccola.

Due solenoidi coassiali

Un solenoide interno (sezione $\Sigma_1$, $N_1$ spire) dentro uno esterno più lungo ($n_2$ spire per unità di lunghezza). Corrente nell'esterno: $B_2 = \mu_0 n_2 i_2$, flusso nelle spire interne $N_1\Sigma_1B_2$:

$$M = \mu_0 n_2 N_1\Sigma_1.$$

Circuiti accoppiati

Equazioni

Due circuiti con resistenze $R_1$, $R_2$, induttanze $L_1$, $L_2$, mutua induttanza $M$ e generatori $\mathcal E_1$, $\mathcal E_2$. In ciascuno agiscono la fem del generatore, la fem autoindotta e quella di mutua induzione:

$$\mathcal E_1 - L_1\frac{di_1}{dt} - M\frac{di_2}{dt} = R_1i_1, \qquad \mathcal E_2 - L_2\frac{di_2}{dt} - M\frac{di_1}{dt} = R_2i_2.$$

Il flusso totale concatenato con il circuito 1 è $\Phi_1 = L_1i_1 + Mi_2$.

Energia magnetica di due circuiti accoppiati

Si portano le correnti da zero ai valori finali in due tempi: prima si porta $i_1$ al valore finale con $i_2 = 0$ (energia $\frac12L_1i_1^2$), poi $i_2$ tenendo fissa $i_1$. Nella seconda fase il generatore 2 spende $\frac12L_2i_2^2$, e il generatore 1 deve compensare la fem $-M\frac{di_2}{dt}$ indotta nel circuito 1, spendendo $\int i_1M\,di_2 = Mi_1i_2$:

$$U = \frac12L_1i_1^2 + \frac12L_2i_2^2 + M\,i_1\,i_2.$$

Il termine misto può essere positivo o negativo: è positivo se i campi dei due circuiti si rinforzano. Poiché $U \ge 0$ per qualunque coppia di correnti, deve valere

$$M^2 \le L_1L_2, \qquad k = \frac{|M|}{\sqrt{L_1L_2}} \le 1,$$

dove $k$ è il coefficiente di accoppiamento: $k = 1$ se tutto il flusso di un circuito attraversa l'altro.

Il trasformatore (cenno)

Due bobine, primaria ($N_1$ spire) e secondaria ($N_2$), avvolte sullo stesso nucleo di ferro che guida tutto il flusso ($k \approx 1$). Ogni spira concatena lo stesso flusso $\phi(t)$, quindi

$$V_1 = N_1\frac{d\phi}{dt}, \quad V_2 = N_2\frac{d\phi}{dt} \implies \frac{V_2}{V_1} = \frac{N_2}{N_1}.$$

Con tensioni alternate si può alzare o abbassare la tensione cambiando il rapporto spire (per il trasporto dell'energia elettrica si usano tensioni altissime, che riducono la corrente e quindi le perdite $Ri^2$). In continua non funziona: il flusso non varia.

Domanda d'esame tipo

"Nel caso di due circuiti accoppiati a geometria statica, con correnti variabili nel tempo, come si scrive la fem indotta dalla variazione della corrente del circuito 2 nel circuito 1?" (appello 02.09.2025)

$\Phi_1 = M_{12}i_2$ con $M_{12} = M_{21} = M$ costante (geometria fissa), quindi $\mathcal E_1 = -M\frac{di_2}{dt}$; a questa si aggiunge, se anche $i_1$ varia, la fem autoindotta $-L_1\frac{di_1}{dt}$.

Errori comuni

• Dimenticare $\cos\theta$ quando la bobina è inclinata rispetto al campo.
• Calcolare il campo della bobina piccola per trovare il flusso nel solenoide: si può, ma è molto più difficile; per la simmetria $M_{12} = M_{21}$ conviene il contrario.
• Usare il campo al centro come uniforme quando la bobina non è piccola rispetto alla distanza dal filo: in quel caso serve l'integrale con il logaritmo.
• Nel caso con $M(t)$ variabile derivare solo la corrente: si deriva il prodotto $Mi$.