Legge di Faraday-Neumann-Lenz e fem indotta

Lezioni del 03.12 e 10.12 (sezioni 8.1, 8.2 e 8.3 del libro di testo). Prerequisiti: Campo magnetico, legge di Gauss magnetica e forza di LorentzIl campo magnetico B si definisce attraverso la forza che esercita su una carica in moto: forza di Lorentz F = q v × B, perpendicolare sia a v sia a B, quindi non compie lavoro e non cambia l'energia cinetica. Unità: tesla, 1 T = 1 N/(A·m). Con anche un campo elettrico F = q(E + v × B). Le linee di B sono chiuse (non esistono monopoli magnetici): il flusso di B attraverso qualunque superficie chiusa è nullo, ∮B·dΣ = 0, in forma locale div B = 0.Campo magnetico, legge di Gauss magnetica e forza di Lorentz → (flusso concatenato), Forza elettromotrice e resistenza interna del generatorePer mantenere una corrente in un circuito chiuso serve un campo non conservativo (campo elettromotore E*) dentro il generatore: la forza elettromotrice è ℰ = ∮ E*·ds, il lavoro per unità di carica fatto dal generatore. Un generatore reale ha una resistenza interna r: la tensione ai morsetti è ΔV = ℰ − ri, la corrente in un carico R è i = ℰ/(R + r), e il generatore eroga la potenza ℰi.Forza elettromotrice e resistenza interna del generatore →, Forze e momenti magnetici su circuiti percorsi da correnteSeconda legge elementare di Laplace: su un tratto di filo ds percorso dalla corrente i agisce dF = i ds × B (somma delle forze di Lorentz sui portatori). Filo rettilineo in campo uniforme: F = i L × B; circuito chiuso in campo uniforme: forza totale nulla. Una spira piana ha momento magnetico m = iΣ u_n (N spire: NiΣ u_n); in un campo uniforme subisce il momento meccanico M = m × B, che la fa ruotare verso m parallelo a B, e ha energia potenziale U = −m·B.Forze e momenti magnetici su circuiti percorsi da corrente →. Seguono: Autoinduzione, circuiti RL e LC, energia magneticaUn circuito percorso da corrente concatena il flusso del proprio campo: Φ = L i, con L coefficiente di autoinduzione (henry; solenoide L = μ0 n² Σ ℓ). Se i varia compare la fem autoindotta −L di/dt. Circuito RL in chiusura: i = (ℰ/R)(1 − e^(−t/τ)), τ = L/R (extracorrente di chiusura); in apertura i = i₀e^(−t/τ). Un'induttanza percorsa da i immagazzina U = ½Li², con densità di energia magnetica u = B²/(2μ0). Circuito LC: la carica oscilla come q₀cos(ωt), ω = 1/√(LC), con l'energia che passa dal condensatore all'induttanza e viceversa.Autoinduzione, circuiti RL e LC, energia magnetica →, Mutua induzione e circuiti accoppiatiIl flusso del campo di un circuito 1 concatenato con un circuito 2 è proporzionale alla corrente: Φ₂ = M i₁, e vale la simmetria M₁₂ = M₂₁ = M (coefficiente di mutua induzione, in henry). Se i₁ varia, nel circuito 2 compare ℰ₂ = −M di₁/dt. Casi tipici: bobina di N spire e area Σ in un solenoide M = μ0 n N Σ cos θ; piccola bobina vicino a un filo M = μ0 N Σ/(2πd). Energia di due circuiti accoppiati: U = ½L₁i₁² + ½L₂i₂² + M i₁ i₂, con |M| ≤ √(L₁L₂). Il trasformatore sfrutta la mutua induzione: V₂/V₁ = N₂/N₁.Mutua induzione e circuiti accoppiati →.

Le esperienze di Faraday

Una bobina collegata a un amperometro, senza generatore. Si osserva una corrente quando:

1. si avvicina o allontana una calamita dalla bobina (e la corrente cambia verso tra avvicinamento e allontanamento);
2. si muove la bobina vicino a una calamita ferma;
3. si accende, spegne o varia la corrente in una seconda bobina vicina, ferma;
4. si deforma la bobina o la si ruota in un campo magnetico.

Se tutto è fermo e costante, non c'è corrente, per quanto intenso sia il campo. Ciò che conta è la variazione: in tutti i casi cambia il numero di linee di campo che attraversano la bobina, cioè il flusso concatenato.

Flusso concatenato

Il flusso di $\vec B$ attraverso una superficie $\Sigma$ che ha come bordo il circuito è

$$\Phi(\vec B) = \int_\Sigma \vec B\cdot\vec u_n\,d\Sigma,$$

e per la legge di Gauss magneticaIl flusso di B attraverso una superficie chiusa è nullo, quindi il flusso attraverso una superficie appoggiata al circuito non dipende dalla superficie scelta.Campo magnetico, legge di Gauss magnetica e forza di Lorentz → dipende solo dal circuito. L'unità è il weber: $1$ Wb $= 1$ T·m².

• Campo uniforme, spira piana di area $\Sigma$, angolo $\theta$ tra $\vec B$ e la normale: $\Phi = B\Sigma\cos\theta$.
• Bobina di $N$ spire: ogni spira concatena il flusso, quindi $\Phi = NB\Sigma\cos\theta$.
• Campo non uniforme: si integra, dividendo la superficie in strisce su cui il campo è costante.

Orientazione. Il verso della normale $\vec u_n$ e il verso positivo di percorrenza del circuito sono legati dalla regola della mano destra. La fem e la corrente indotte sono positive se circolano nel verso positivo così scelto.

La legge

Legge di Faraday-Neumann-Lenz: $$\mathcal E_i = -\frac{d\Phi(\vec B)}{dt}.$$ In un circuito di resistenza $R$ circola la corrente indotta $i = \frac{\mathcal E_i}{R}$.

Il segno meno: legge di Lenz

La corrente indotta ha un verso tale da opporsi alla variazione di flusso che l'ha generata.

• Se il flusso aumenta, la corrente indotta crea un campo opposto a quello esterno (dentro la spira).
• Se il flusso diminuisce, la corrente indotta crea un campo concorde, cercando di mantenerlo.

Non è un dettaglio: è la conservazione dell'energia. Se la corrente indotta favorisse la variazione, avvicinando una calamita la corrente la attirerebbe ancora di più, senza bisogno di lavoro: si creerebbe energia dal nulla. Con la legge di Lenz invece bisogna sempre compiere lavoro contro le forze magnetiche, e questo lavoro diventa l'energia elettrica dissipata nel circuito.

Metodo pratico per il verso. (1) Stabilire se il flusso aumenta o diminuisce; (2) il campo indotto è opposto o concorde a quello esterno; (3) la mano destra dà il verso della corrente che produce quel campo.

Quattro modi di far variare il flusso

$\Phi = B\Sigma\cos\theta$ cambia se cambiano $B$, $\Sigma$, $\theta$, oppure se il circuito si muove in un campo non uniforme.

1. Campo variabile nel tempo

Spira quadrata di lato $a$ ferma in un campo uniforme $B(t) = bt$ perpendicolare: $\Phi = a^2bt$, $\mathcal E = -a^2b$, costante. Con $a = 0{,}2$ m, $b = 3$ T/s: $|\mathcal E| = 0{,}12$ V (appello 23.01.2025, Esercizio 10 · spira quadrata in un campo crescente che poi esce dal campo).

2. Area variabile: la sbarretta su rotaie

Due rotaie parallele a distanza $\ell$, chiuse da una resistenza $R$; una sbarretta conduttrice si muove sulle rotaie con velocità $v$. Il campo $\vec B$ è uniforme e perpendicolare al piano del circuito.

Fem dal flusso. Se $x$ è la posizione della sbarretta, l'area del circuito è $\ell x$ e $\Phi = B\ell x$. Quindi

$$|\mathcal E| = \left|\frac{d\Phi}{dt}\right| = B\ell\frac{dx}{dt} = B\ell v.$$

Fem dalla forza di Lorentz. Sugli elettroni della sbarretta, che si muovono con essa, agisce la forza $q\vec v \times \vec B$, diretta lungo la sbarretta. Il campo elettromotore $\vec E_m = \vec v \times \vec B$ ha modulo $vB$ e agisce sulla lunghezza $\ell$: $\mathcal E = \int\vec E_m\cdot d\vec s = vB\ell$. Stesso risultato: la sbarretta è un generatore.

Corrente e forza frenante. Circola $i = \frac{B\ell v}{R}$. Sulla sbarretta, percorsa da $i$ in un campo $B$, agisce la forza di Laplace $F = i\ell B$, che per la legge di Lenz si oppone al moto:

$$F = \frac{B^2\ell^2}{R}\,v,$$

proporzionale alla velocità come un attrito viscoso ("resistenza di attrito viscosa").

Bilancio di potenza. Per mantenere la velocità costante un agente esterno deve applicare una forza uguale e opposta, con potenza

$$P_{\text{mecc}} = Fv = \frac{B^2\ell^2v^2}{R} = \frac{\mathcal E^2}{R} = Ri^2.$$

Tutta la potenza meccanica diventa potenza dissipata per effetto Joule: il circuito è un generatore di corrente continua che trasforma lavoro meccanico in energia elettrica.

Sbarretta lasciata libera. Se la sbarretta (massa $m$) parte con velocità $v_0$ e non è spinta da nessuno, l'unica forza è quella frenante:

$$m\frac{dv}{dt} = -\frac{B^2\ell^2}{R}v \implies v(t) = v_0\,e^{-t/\tau}, \qquad \tau = \frac{mR}{B^2\ell^2}.$$

(Equazione a variabili separabili: $\frac{dv}{v} = -\frac{dt}{\tau}$.) La velocità decresce esponenzialmente; lo spazio percorso in tutto è finito: $x_\infty = v_0\tau$. L'energia cinetica iniziale si dissipa tutta nella resistenza. È la stessa situazione di una spira che entra o esce da una zona di campo (appelli 23.01.2025 e 22.01.2026, Esercizio 20 · spira che entra in un campo magnetico frenata dalla corrente indotta).

Spira che entra in una zona di campo. Una spira quadrata di lato $a$ entra con velocità $v$ in una regione con campo uniforme $B$. Finché è parzialmente dentro, l'area immersa è $a\,x$ e $|\mathcal E| = Bav$: è come una sbarretta di lunghezza $a$ (il lato già entrato). Quando è tutta dentro, il flusso non cambia più e la fem si annulla. Uscendo succede il contrario.

3. Orientazione variabile: il generatore di corrente alternata

Una bobina di $N$ spire di area $\Sigma$ ruota con velocità angolare costante $\omega$ in un campo uniforme. L'angolo tra normale e campo è $\theta = \omega t$:

$$\Phi = NB\Sigma\cos\omega t \implies \mathcal E = NB\Sigma\omega\sin\omega t.$$

La fem è sinusoidale con ampiezza $NB\Sigma\omega$: è il principio degli alternatori delle centrali elettriche. Anche qui il lavoro per far ruotare la bobina diventa energia elettrica.

Se l'angolo varia in modo non uniforme, si deriva $\cos\theta(t)$ con la regola della catena: $\mathcal E = NB\Sigma\sin\theta(t)\,\dot\theta(t)$ (appello 20.02.2024, Esercizio 4 · bobina che ruota in un solenoide, mutua induzione e legge di Felici).

4. Circuito in moto in un campo non uniforme

Una spira che si allontana da un filo percorso da corrente vede un campo sempre più debole: il flusso, da calcolare con un integrale, cambia anche se la forma della spira non cambia. Nell'appello del 18.02.2025 una sbarretta si muove vicino a un filo, e il flusso è $\Phi = \frac{\mu_0 i d}{2\pi}\ln\frac{b + x}{b}$ (Esercizio 12 · sbarretta mobile in un campo uniforme e vicino a un filo).

Legge di Felici: la carica che circola

La carica che attraversa il circuito tra $t_1$ e $t_2$ è l'integrale della corrente:

$$q = \int_{t_1}^{t_2} i\,dt = \int_{t_1}^{t_2}\frac{1}{R}\left(-\frac{d\Phi}{dt}\right)dt = -\frac{\Phi(t_2) - \Phi(t_1)}{R}.$$

Legge di Felici: $$|q| = \frac{|\Delta\Phi|}{R}.$$

La carica dipende solo dai flussi iniziale e finale, non da quanto rapidamente è avvenuta la variazione. È uno strumento potentissimo negli esercizi: non serve conoscere la legge oraria. Vale se si trascura l'autoinduzione del circuito (o se la corrente è nulla all'inizio e alla fine). Storicamente serviva per misurare i campi magnetici: si estrae rapidamente una bobina dal campo e si misura la carica circolata.

Esempio. Spira quadrata di lato $a = 12$ cm, resistenza $R = 1\ \Omega$, che entra completamente in un campo $B = 2$ T: $q = \frac{Ba^2}{R} = \frac{2\cdot0{,}0144}{1} = 28{,}8$ mC (appello 22.01.2026).

Il campo elettrico indotto

Forma generale della legge

Nel caso della sbarretta la fem nasce dalla forza di Lorentz sulle cariche in moto. Ma se il circuito è fermo e cambia il campo (caso 1), le cariche sono ferme e la forza magnetica su di esse è nulla: a mettere in moto le cariche deve essere un campo elettrico. La fem è la circuitazione di questo campo:

$$\oint_C\vec E\cdot d\vec s = -\frac{d}{dt}\int_\Sigma\vec B\cdot\vec u_n\,d\Sigma.$$

Il campo elettrico indotto esiste anche se non c'è nessun circuito: il circuito serve solo a rivelarlo.

Non è conservativo

La circuitazione di $\vec E$ non è nulla: il campo elettrico indotto non è conservativo e non ammette potenziale. Le sue linee sono chiuse, si avvolgono attorno alle linee di $\vec B$ che variano. La proprietà $\oint\vec E\cdot d\vec s = 0$ vale solo in elettrostatica.

Forma locale

Con il teorema di Stokes (per un circuito fermo): $\int_\Sigma(\nabla\times\vec E)\cdot\vec u_n\,d\Sigma = -\int_\Sigma\frac{\partial\vec B}{\partial t}\cdot\vec u_n\,d\Sigma$ per ogni $\Sigma$, quindi

$$\nabla\times\vec E = -\frac{\partial\vec B}{\partial t}.$$

È la terza equazione di Maxwell nella forma generale (Corrente di spostamento ed equazioni di MaxwellLa legge di Ampère non vale per correnti non stazionarie (condensatore in carica). Maxwell aggiunse la corrente di spostamento i_s = ε0 dΦ(E)/dt, che tra le armature di un condensatore è uguale alla corrente di conduzione nei fili: legge di Ampère-Maxwell ∮B·ds = μ0(i + ε0 dΦ(E)/dt), rot B = μ0 J + μ0ε0 ∂E/∂t. Con Gauss elettrica, Gauss magnetica e Faraday formano le quattro equazioni di Maxwell. Nel vuoto senza sorgenti E e B soddisfano l'equazione delle onde, con velocità c = 1/√(ε0μ0) = 3·10⁸ m/s: la luce è un'onda elettromagnetica, con E ⊥ B ⊥ direzione di propagazione ed E = cB.Corrente di spostamento ed equazioni di Maxwell →).

Esempio: campo indotto in un solenoide. Solenoide di raggio $R_s$ con campo $B(t)$ uniforme all'interno. Per simmetria le linee di $\vec E$ sono circonferenze coassiali. Per $r < R_s$: $E\cdot2\pi r = \pi r^2\left|\frac{dB}{dt}\right| \implies E = \frac r2\left|\frac{dB}{dt}\right|$. Fuori ($r > R_s$) il flusso è quello di tutta la sezione: $E = \frac{R_s^2}{2r}\left|\frac{dB}{dt}\right|$. C'è un campo elettrico anche dove $B = 0$.

Correnti di Foucault (cenno)

In un conduttore massiccio immerso in un campo variabile (o che si muove in un campo) il campo elettrico indotto fa circolare correnti chiuse all'interno del materiale, le correnti parassite o di Foucault. Dissipano energia per effetto Joule (si usano nei fornelli a induzione e nei freni elettromagnetici; nei trasformatori si riducono usando nuclei a lamierini isolati).

Domanda d'esame tipo

"Generatore di corrente continua: circuito rettangolare con una sbarretta mobile, resistenza $R$, campo $B$ uniforme ortogonale, sbarretta a velocità costante $v$. Si scriva la corrente, il modulo della resistenza di attrito viscosa, la potenza meccanica spesa." (appello 18.02.2026)

1. $\mathcal E = B\ell v$, $i = \frac{B\ell v}{R}$.
2. $F = i\ell B = \frac{B^2\ell^2v}{R}$, opposta alla velocità.
3. $P = Fv = \frac{B^2\ell^2v^2}{R} = Ri^2$: tutta dissipata per effetto Joule.

Riepilogo

Errori comuni

• Dimenticare $N$ nel flusso di una bobina.
• Confondere flusso e variazione di flusso: un campo intenso ma costante non induce nulla.
• Usare $\cos\theta$ con $\theta$ angolo tra il campo e il piano della spira: $\theta$ è tra il campo e la normale.
• Nel moto libero considerare la velocità costante: la forza frenante cambia la velocità, si deve risolvere l'equazione del moto.
• Usare il potenziale elettrico per il campo indotto: non esiste, la d.d.p. lungo un percorso dipende dal percorso.