Esercizio 50lastra a facce parallele, spostamento del raggio e misura di n

Testo (esercizio svolto a lezione, 8 gennaio 2025). Un raggio di luce gialla ($\lambda_0 = 0{,}589\ \mu\text{m}$) incide dall'aria ($n_0 \simeq 1$), con angolo di incidenza $\theta_1 = 30°$, su una lastra di vetro a facce piane e parallele di spessore $h = 2\ \text{cm}$ e indice di rifrazione $n = 1{,}66$ (a quella lunghezza d'onda).

1. Trovare l'angolo $\theta_2$ con cui il raggio si propaga nella lastra.
2. Trovare l'angolo $\theta_3$ con cui il raggio esce dalla lastra e lo spostamento laterale $d$ tra raggio uscente e raggio entrante.
3. Ricavare una formula che permetta di misurare l'indice di rifrazione della lastra a partire da $d$.

Teoria: Principio di Huygens, riflessione e rifrazioneOgni punto di un fronte d'onda si comporta come sorgente di onde sferiche secondarie (Huygens). Quando un'onda incontra la superficie di separazione tra due mezzi nascono un'onda riflessa e una trasmessa; imponendo che le fasi coincidano sulla superficie si ottiene: frequenza invariata, raggi complanari, angolo di riflessione = angolo di incidenza, legge di Snell n1 sin θi = n2 sin θt. Passando a un mezzo meno denso (n1 > n2) oltre l'angolo limite sin θlim = n2/n1 c'è riflessione totale. Una lastra a facce parallele sposta il raggio senza deviarlo; la dipendenza di n da λ (dispersione) separa i colori nel prisma. Intensità in un mezzo: I = n E0²/(2Z0), con Z0 = 377 Ω.Principio di Huygens, riflessione e rifrazione →.

1. Angolo nella lastra

Alla prima faccia si applica la legge di Snelln1 sin θi = n2 sin θt, con gli angoli misurati dalla normale alla superficie.Principio di Huygens, riflessione e rifrazione →, dall'aria ($n_0 = 1$) al vetro:

$$1 \cdot \sin\theta_1 = n\sin\theta_2 \quad\Longrightarrow\quad \sin\theta_2 = \frac{\sin\theta_1}{n} = \frac{0{,}5}{1{,}66} = 0{,}301$$

$$\theta_2 = 17{,}53°$$

Il raggio entra in un mezzo più denso e si avvicina alla normale, come previsto. (Il dato $\lambda_0$ serve solo a ricordare che $n$ dipende dal colore; nel vetro la lunghezza d'onda è $\lambda_0/n = 0{,}355\ \mu\text{m}$.)

2. Raggio uscente e spostamento laterale

Direzione. Le due facce sono parallele, quindi il raggio arriva sulla seconda faccia con lo stesso angolo $\theta_2$ rispetto alla normale (angoli alterni interni). Snell dal vetro all'aria:

$$n\sin\theta_2 = \sin\theta_3 \quad\Longrightarrow\quad \sin\theta_3 = n\sin\theta_2 = \sin\theta_1 \quad\Longrightarrow\quad \theta_3 = \theta_1 = 30°$$

Il raggio esce parallelo a quello entrante: la lastra non devia il raggio, lo sposta soltanto.

Spostamento. Dentro la lastra il raggio percorre il tratto obliquo

$$\ell = \frac{h}{\cos\theta_2} = \frac{2\ \text{cm}}{\cos 17{,}53°} = 2{,}097\ \text{cm}$$

(il cateto è lo spessore $h$, l'angolo tra $\ell$ e la normale è $\theta_2$). Se non ci fosse la lastra il raggio proseguirebbe dritto con l'angolo $\theta_1$; il raggio rifratto forma con questa direzione l'angolo $\theta_1 - \theta_2$. La distanza tra le due rette parallele (raggio uscente e prolungamento di quello entrante) è il cateto opposto a quest'angolo nel triangolo rettangolo di ipotenusa $\ell$:

$$d = \ell\,\sin(\theta_1 - \theta_2) = \frac{h\sin(\theta_1 - \theta_2)}{\cos\theta_2} = 2{,}097 \cdot \sin(12{,}47°) = 0{,}453\ \text{cm} = 4{,}53\ \text{mm}$$

Forma senza $\theta_2$. Si sviluppa $\sin(\theta_1 - \theta_2) = \sin\theta_1\cos\theta_2 - \cos\theta_1\sin\theta_2$ e si divide per $\cos\theta_2$:

$$d = h\left(\sin\theta_1 - \cos\theta_1\tan\theta_2\right)$$

Da Snell $\sin\theta_2 = \frac{\sin\theta_1}{n}$ e $\cos\theta_2 = \sqrt{1 - \frac{\sin^2\theta_1}{n^2}} = \frac{\sqrt{n^2 - \sin^2\theta_1}}{n}$, quindi $\tan\theta_2 = \frac{\sin\theta_1}{\sqrt{n^2 - \sin^2\theta_1}}$ e

$$\boxed{d = h\sin\theta_1\left(1 - \frac{\cos\theta_1}{\sqrt{n^2 - \sin^2\theta_1}}\right)}$$

Con i numeri: $\sqrt{1{,}66^2 - 0{,}25} = \sqrt{2{,}5056} = 1{,}583$, $d = 2 \cdot 0{,}5 \cdot (1 - 0{,}866/1{,}583) = 0{,}453\ \text{cm}$, come prima.

Controlli: per $n = 1$ (niente lastra) la parentesi vale $1 - \cos\theta_1/\cos\theta_1 = 0$, quindi $d = 0$; per $n \to \infty$ il raggio nella lastra diventa perpendicolare alle facce e $d \to h\sin\theta_1 = 1\ \text{cm}$.

3. Misurare n dallo spostamento

Si risolve la formula di $d$ rispetto a $n$. Dividendo per $h\sin\theta_1$:

$$\frac{d}{h\sin\theta_1} = 1 - \frac{\cos\theta_1}{\sqrt{n^2 - \sin^2\theta_1}} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{n^2 - \sin^2\theta_1} = \frac{\cos\theta_1}{1 - \dfrac{d}{h\sin\theta_1}}$$

Elevando al quadrato:

$$\boxed{n = \sqrt{\sin^2\theta_1 + \left(\frac{\cos\theta_1}{1 - \dfrac{d}{h\sin\theta_1}}\right)^2}}$$

Misurando $h$, $\theta_1$ e lo spostamento $d$ (per esempio con un laser e un foglio millimetrato) si ottiene l'indice. Verifica: con $d = 4{,}529\ \text{mm}$ si riottiene $n = 1{,}660$.

Quanto è precisa la misura? Se si misura $d = 4{,}5 \pm 0{,}1\ \text{mm}$, la formula dà $n$ tra $1{,}625$ e $1{,}680$: un errore di $0{,}1\ \text{mm}$ su $d$ pesa circa $0{,}03$ su $n$. Conviene una lastra spessa e un angolo abbastanza grande, perché $d$ cresce con entrambi.

Verifica numerica

import numpy as np
t1, n, h = np.radians(30), 1.66, 2e-2
t2 = np.arcsin(np.sin(t1)/n)
d = h*np.sin(t1 - t2)/np.cos(t2)
print(np.degrees(t2), h/np.cos(t2), d)            # 17.53 gradi, 0.02097 m, 0.004529 m
print(h*np.sin(t1)*(1 - np.cos(t1)/np.sqrt(n**2 - np.sin(t1)**2)))   # 0.004529 m
n_mis = np.sqrt(np.sin(t1)**2 + (np.cos(t1)/(1 - d/(h*np.sin(t1))))**2)
print(n_mis)                                       # 1.66

Risultati

Errori comuni

• Usare $d = h\tan\theta_1 - h\tan\theta_2$: è lo spostamento misurato lungo la faccia della lastra, non la distanza tra i due raggi paralleli. I due differiscono per un fattore $\cos\theta_1$.
• Pensare che il raggio esca deviato: con facce parallele la deviazione alla seconda faccia annulla esattamente quella alla prima.