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Note per Studenti Esercizio 38 · spira che esce da un campo magnetico

Esercizio 38spira che esce da un campo magnetico

In questa pagina 7

Testo (V appello, 16 settembre 2024, problema 2). Una spira quadrata di lato ℓ=10 cm\ell = 10\ \text{cm} passa da una zona con campo magnetico B=2 TB = 2\ \text{T} ortogonale al piano della spira ad una zona senza campo magnetico. La spira ha massa m=4⋅10−5 kgm = 4 \cdot 10^{-5}\ \text{kg} e resistenza R=20 ΩR = 20\ \Omega. Calcolare, nel caso in cui la velocità della spira venga mantenuta costante al valore v1=5 m/sv_1 = 5\ \text{m/s}:

  1. l'energia dissipata UdU_d;
  2. la carica QQ che ha circolato attraverso una sezione della spira.

Se invece la spira viene lasciata libera di decelerare, calcolare

  1. l'energia cinetica iniziale Ec,iE_{c,i} della spira, se la sua velocità finale nella zona senza campo magnetico è vf=10 m/sv_f = 10\ \text{m/s}.

Teoria: Legge di Faraday-Neumann-LenzOgni volta che il flusso di B concatenato con un circuito cambia (perché cambia B, l'area o l'orientazione) nel circuito nasce una f.e.m. indotta ℰ = −dΦ/dt (legge di Faraday-Neumann); il segno meno (legge di Lenz) dice che la corrente indotta si oppone alla variazione. La carica che circola è q = ΔΦ/R (legge di Felici). Una sbarretta che scorre su rotaie dà ℰ = Bℓv ed è frenata da F = B²ℓ²v/R. Un campo B variabile produce un campo elettrico indotto non conservativo: ∮E·dl = −dΦ/dt, rot E = −∂B/∂t. Applicazioni: correnti di Foucault, alternatore.Legge di Faraday-Neumann-Lenz →.

Cosa succede

È la situazione dell'Esercizio 37 · spira che entra in un campo magnetico al contrario. Finché la spira è tutta nel campo il flusso Bℓ2B\ell^2 è costante e non succede niente; quando comincia a uscire, la parte ancora immersa è un rettangolo ℓ×(ℓ−x)\ell \times (\ell - x), con xx tratto già uscito, e il flusso cala fino a zero. Durante l'uscita (e solo allora) circola una corrente indotta, che per Lenz si oppone alla diminuzione: la forza sul lato rimasto nel campo frena la spira.

1) Energia dissipata a velocità costante

F.e.m. A velocità costante il flusso cala con rapidità costante:

∣Ei∣=∣dΦdt∣=Bℓv1=2⋅0,1⋅5=1 V|\mathcal E_i| = \left|\frac{d\Phi}{dt}\right| = B\ell v_1 = 2 \cdot 0{,}1 \cdot 5 = 1\ \text{V}

Durata. La f.e.m. agisce solo mentre la spira attraversa il bordo, cioè per il tempo in cui percorre una distanza pari al suo lato:

Δt=ℓv1=0,15=0,02 s\Delta t = \frac{\ell}{v_1} = \frac{0{,}1}{5} = 0{,}02\ \text{s}

Energia. Potenza costante Ei2/R\mathcal E_i^2/R per il tempo Δt\Delta t:

Ud=Ei2R Δt=120⋅0,02=1,0⋅10−3 JU_d = \frac{\mathcal E_i^2}{R}\,\Delta t = \frac{1}{20} \cdot 0{,}02 = 1{,}0 \cdot 10^{-3}\ \text{J}

Chi fornisce questa energia? L'agente esterno che mantiene costante la velocità contro la forza frenante F=B2ℓ2v1/R=0,01 NF = B^2\ell^2v_1/R = 0{,}01\ \text{N}: il suo lavoro è Fℓ=0,01⋅0,1=10−3 JF\ell = 0{,}01 \cdot 0{,}1 = 10^{-3}\ \text{J}. ✓

2) Carica circolata

Legge di FeliciLa carica che circola è|Φi − Φf|/R, qualunque sia la rapidità della variazione.Legge di Faraday-Neumann-Lenz → con flusso iniziale Bℓ2B\ell^2 e finale zero:

Q=Bℓ2R=2⋅0,0120=1,0⋅10−3 CQ = \frac{B\ell^2}{R} = \frac{2 \cdot 0{,}01}{20} = 1{,}0 \cdot 10^{-3}\ \text{C}

Controllo: corrente costante Ei/R=0,05 A\mathcal E_i/R = 0{,}05\ \text{A} per 0,02 s0{,}02\ \text{s} dà la stessa carica.

3) Spira libera: energia cinetica iniziale

Ora nessuno spinge: la forza frenante F=B2ℓ2R vF = \frac{B^2\ell^2}{R}\,v rallenta la spira mentre esce. Come nell'esercizio precedente, passando dal tempo allo spazio (dvdt=vdvdx\frac{dv}{dt} = v\frac{dv}{dx}):

m v dvdx=−B2ℓ2R v⟹m dv=−B2ℓ2R dxm\,v\,\frac{dv}{dx} = -\frac{B^2\ell^2}{R}\,v \quad\Longrightarrow\quad m\,dv = -\frac{B^2\ell^2}{R}\,dx

La velocità cala linearmente con lo spazio; integrando sul tratto di uscita, lungo ℓ\ell:

m(vf−vi)=−B2ℓ3R⟹vi=vf+B2ℓ3mR=10+4⋅10−34⋅10−5⋅20=10+5=15 m/sm(v_f - v_i) = -\frac{B^2\ell^3}{R} \quad\Longrightarrow\quad v_i = v_f + \frac{B^2\ell^3}{mR} = 10 + \frac{4 \cdot 10^{-3}}{4 \cdot 10^{-5} \cdot 20} = 10 + 5 = 15\ \text{m/s}

La spira perde 5 m/s5\ \text{m/s} qualunque sia la sua velocità iniziale (purché riesca a uscire): la perdita di quantità di moto è ℓBQ\ell BQ, fissata dalla carica circolata, che non dipende dalla velocità.

Ec,i=12mvi2=12⋅4⋅10−5⋅225=4,5⋅10−3 JE_{c,i} = \frac12 m v_i^2 = \frac12 \cdot 4 \cdot 10^{-5} \cdot 225 = 4{,}5 \cdot 10^{-3}\ \text{J}

L'energia dissipata in questo caso è 12m(vi2−vf2)=2,5⋅10−3 J\frac12 m(v_i^2 - v_f^2) = 2{,}5 \cdot 10^{-3}\ \text{J}: più che al punto 1, perché la velocità media durante l'uscita (tra 1515 e 10 m/s10\ \text{m/s}) è maggiore di 5 m/s5\ \text{m/s} e la potenza dissipata cresce con v2v^2.

Verifica numerica

python
l, B, m, R, v1, vf = 0.1, 2, 4e-5, 20, 5, 10
E = B*l*v1; print(E, E**2/R*l/v1, B*l**2/R)       # 1 V, 1e-3 J, 1e-3 C
vi = vf + B**2*l**3/(m*R); print(vi, 0.5*m*vi**2)  # 15 m/s, 4.5e-3 J
print(0.5*m*(vi**2 - vf**2))                      # 2.5e-3 J

Risultati

grandezza valore
f.e.m. a velocità costante 1 V1\ \text{V} per 0,02 s0{,}02\ \text{s}
energia dissipata 1,0⋅10−3 J1{,}0 \cdot 10^{-3}\ \text{J}
carica circolata 1,0⋅10−3 C1{,}0 \cdot 10^{-3}\ \text{C}
velocità iniziale (spira libera) 15 m/s15\ \text{m/s}
energia cinetica iniziale 4,5⋅10−3 J4{,}5 \cdot 10^{-3}\ \text{J}

Errori comuni

  • Far durare la f.e.m. per tutto il moto: c'è solo mentre il flusso cambia, cioè durante l'attraversamento del bordo.
  • Usare la conservazione dell'energia cinetica nel punto 3: una parte si dissipa nella spira.
  • Integrare nel tempo con il dato di una distanza: la relazione lineare v(x)v(x) è molto più comoda.

Teoria collegata