Cenni di fisica moderna - corpo nero, effetto fotoelettrico, Compton e de Broglie

Ultimo capitolo del programma ufficiale, a livello di cenni (negli ultimi anni il corso si è fermato prima: Interferenza di N sorgenti e onde stazionarieN sorgenti coerenti, uguali ed equidistanti (passo d), come N fenditure sottili: tra due sorgenti vicine c'è la differenza di fase δ = 2π d sin θ/λ e l'intensità è I = I0 sin²(Nδ/2)/sin²(δ/2). Massimi principali per d sin θ = mλ, con intensità N²I0; minimi per d sin θ = m'λ/N (m' non multiplo di N): tra due massimi principali ci sono N − 1 minimi e N − 2 massimi secondari deboli. Più sorgenti = massimi più alti (N²) e più stretti (1/N). Due onde uguali che viaggiano in versi opposti formano un'onda stazionaria 2A sin(kx) cos(ωt): nodi fissi ogni λ/2, nessun trasporto di energia; davanti a uno specchio metallico E ha un nodo sullo specchio.Interferenza di N sorgenti e onde stazionarie →). Tutta l'ottica vista finora tratta la luce come un'onda elettromagnetica (Onde elettromagneticheUn'onda è una perturbazione f(x − vt) che si propaga senza deformarsi e soddisfa l'equazione delle onde; un'onda armonica è E0 sin(kx − ωt), con k = 2π/λ, ω = 2πf, v = λf = ω/k. Dalle equazioni di Maxwell nel vuoto E e B soddisfano l'equazione delle onde con velocità c = 1/√(μ0ε0) = 3·10⁸ m/s. L'onda piana è trasversale: E, B e direzione di propagazione sono perpendicolari, E = cB, in fase. Nei mezzi v = c/n. Trasporta energia: vettore di Poynting S = E × B/μ0, intensità I = ½ cε0 E0²; e quantità di moto: pressione di radiazione I/c (assorbita).Onde elettromagnetiche →), e funziona benissimo per interferenza e diffrazione. Tra fine Ottocento e inizio Novecento quattro fenomeni hanno mostrato che non basta.

Costanti: $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\ \text{J·s}$ (costante di Planck), $1\ \text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\ \text{J}$ (energia di un elettrone accelerato da $1\ \text{V}$), $hc = 1240\ \text{eV·nm}$ (comoda per i fotoni), $m_e = 9{,}109 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}$.

Radiazione di corpo nero

Ogni corpo a temperatura $T$ emette onde elettromagnetiche, perché le sue cariche sono in agitazione termica: a temperatura ambiente nell'infrarosso, a qualche migliaio di kelvin anche nel visibile (il ferro rovente, il filamento di una lampadina). Un corpo nero è un corpo ideale che assorbe tutta la radiazione che riceve; si realizza bene con una cavità chiusa con un piccolo foro. Il suo spettro di emissione dipende solo dalla temperatura:

• legge di Wien (spostamento): la lunghezza d'onda a cui l'emissione è massima è inversamente proporzionale a $T$,

$$\lambda_{\max}\,T = 2{,}898 \cdot 10^{-3}\ \text{m·K}$$

Il Sole ($T \approx 5800\ \text{K}$) ha il massimo a $500\ \text{nm}$, nel visibile; il corpo umano ($310\ \text{K}$) a $9{,}3\ \mu\text{m}$, nell'infrarosso (le termocamere lo vedono); un filamento a $3000\ \text{K}$ a $970\ \text{nm}$, per cui la lampadina a incandescenza emette soprattutto calore;

• legge di Stefan-Boltzmann: la potenza totale emessa da una superficie $A$ cresce come la quarta potenza della temperatura,

$$P = \sigma A T^4, \qquad \sigma = 5{,}67 \cdot 10^{-8}\ \text{W/(m}^2\text{K}^4)$$

Per il Sole (raggio $6{,}96 \cdot 10^8\ \text{m}$, $T = 5772\ \text{K}$): $P = 4\pi R^2\sigma T^4 = 3{,}8 \cdot 10^{26}\ \text{W}$.

Il problema. La fisica classica (elettromagnetismo più termodinamica) prevedeva un'emissione che cresce senza limite alle piccole lunghezze d'onda, come $1/\lambda^4$: un corpo caldo avrebbe dovuto emettere energia infinita nell'ultravioletto ("catastrofe ultravioletta"). Lo spettro misurato invece ha un massimo e poi crolla.

L'ipotesi di Planck (1900). Planck riprodusse esattamente lo spettro supponendo che le cariche oscillanti con frequenza $f$ possano scambiare energia con la radiazione solo a pacchetti (quanti) di valore

$$E = hf$$

Alle alte frequenze il quanto $hf$ è molto più grande dell'energia termica tipica ($kT$) e quei modi di oscillazione restano quasi spenti: niente catastrofe. È la nascita della fisica quantistica.

Effetto fotoelettrico

La luce che colpisce un metallo può estrarne elettroni (Hertz, 1887). Per uscire un elettrone deve vincere il lavoro di estrazione $W$ del metallo (qualche eV, vedi Conduttori in equilibrio elettrostaticoIn un conduttore in equilibrio il campo interno è nullo, la carica sta sulla superficie, il conduttore è equipotenziale e appena fuori il campo è perpendicolare e vale σ/ε0 (teorema di Coulomb). Un conduttore cavo scherma l'interno (gabbia di Faraday); per induzione le cariche si separano in presenza di un campo esterno.Conduttori in equilibrio elettrostatico →). Misurando l'energia degli elettroni emessi (con un potenziale frenante $V_0$ che li ferma tutti, $eV_0 = K_{\max}$) si trova:

1. sotto una frequenza di soglia $f_0$ non esce alcun elettrone, per quanto intensa sia la luce;
2. sopra la soglia l'energia cinetica massima degli elettroni non dipende dall'intensità ma cresce linearmente con la frequenza; l'intensità cambia solo il numero di elettroni;
3. l'emissione è immediata, anche con luce debolissima.

Per un'onda classica l'energia è distribuita su tutto il fronte e cresce con l'intensità ($I \propto E_0^2$): luce più intensa dovrebbe dare elettroni più veloci, e con luce debole un elettrone dovrebbe aspettare a lungo per accumulare l'energia necessaria.

Spiegazione di Einstein (1905). La luce stessa è fatta di quanti, i fotoni, ciascuno con energia $E = hf = hc/\lambda$. Un fotone cede tutta la sua energia a un solo elettrone; parte serve per uscire, il resto diventa energia cinetica:

$$\boxed{K_{\max} = hf - W}$$

La soglia è $hf_0 = W$; l'intensità della luce è il numero di fotoni al secondo, non la loro energia.

Esempio. Sodio, $W = 2{,}28\ \text{eV}$, illuminato con luce violetta di $400\ \text{nm}$: $hf = \frac{1240\ \text{eV·nm}}{400\ \text{nm}} = 3{,}10\ \text{eV}$, quindi $K_{\max} = 0{,}82\ \text{eV}$ (potenziale frenante $0{,}82\ \text{V}$, velocità $5{,}4 \cdot 10^5\ \text{m/s}$). Soglia: $\lambda_0 = 1240/2{,}28 = 544\ \text{nm}$; la luce rossa non estrae elettroni dal sodio.

Quanti fotoni. Un puntatore laser rosso da $1\ \text{mW}$ ($650\ \text{nm}$, $hf = 3{,}06 \cdot 10^{-19}\ \text{J}$) emette $10^{-3}/(3{,}06 \cdot 10^{-19}) = 3{,}3 \cdot 10^{15}$ fotoni al secondo: sono così tanti che nella vita di tutti i giorni la luce sembra continua.

Effetto Compton

Un'onda elettromagnetica trasporta quantità di moto (pressione di radiazioneUn'onda di intensità I assorbita da una superficie esercita la pressione I/c: la quantità di moto trasportata è l'energia divisa per c.Onde elettromagnetiche →). Per un singolo fotone, energia divisa per $c$:

$$p = \frac{E}{c} = \frac{hf}{c} = \frac{h}{\lambda}$$

Compton (1923) inviò raggi X su un bersaglio di grafite e trovò che i raggi X diffusi a un angolo $\theta$ hanno una lunghezza d'onda maggiore di quella incidente, con un aumento che dipende solo dall'angolo:

$$\boxed{\lambda' - \lambda = \frac{h}{m_ec}\,(1 - \cos\theta)}, \qquad \frac{h}{m_ec} = 2{,}43\ \text{pm}$$

Classicamente un'onda che fa oscillare un elettrone viene riemessa con la stessa frequenza. La formula si ottiene invece trattando l'urto come quello tra due palline: un fotone con energia $hc/\lambda$ e quantità di moto $h/\lambda$ urta un elettrone fermo, conservando energia e quantità di moto (con le formule della relatività per l'elettrone). Il fotone cede energia all'elettrone, quindi esce con energia minore e lunghezza d'onda maggiore.

Esempio. Raggi X di $71{,}0\ \text{pm}$ diffusi a $90°$: $\lambda' = 71{,}0 + 2{,}43 = 73{,}4\ \text{pm}$. Per la luce visibile ($500\ \text{nm}$) lo spostamento di qualche picometro è irrilevante: per questo l'effetto si vede solo con i raggi X.

Ipotesi di de Broglie

Se la luce, che è un'onda, si comporta anche come un insieme di particelle, forse le particelle si comportano anche come onde. De Broglie (1924) propose di associare a una particella con quantità di moto $p$ la lunghezza d'onda

$$\boxed{\lambda = \frac{h}{p}}$$

la stessa relazione dei fotoni.

Esempio. Un elettrone accelerato da $100\ \text{V}$ ha energia $K = 100\ \text{eV}$ e quantità di moto $p = \sqrt{2m_eK}$: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m_e eV}} = 0{,}123\ \text{nm}$, simile alla distanza tra gli atomi in un cristallo. Un cristallo fa quindi da reticolo per gli elettroni, e infatti Davisson e Germer (1927) osservarono la diffrazione degli elettroni con le figure previste da Diffrazione da una fenditura e reticoloLa diffrazione è l'allargarsi di un'onda oltre un'apertura o un ostacolo, evidente quando l'apertura è confrontabile con λ. Per Huygens ogni punto della fenditura è una sorgente: è l'interferenza di infinite sorgenti. Diffrazione di Fraunhofer (schermo lontano) da una fenditura di larghezza a: I = Imax (sin α/α)² con α = π a sin θ/λ; minimi per a sin θ = mλ (m ≠ 0), massimo centrale largo il doppio degli altri, massimi secondari deboli (4,7%, 1,6%...). Con N fenditure di larghezza a e passo d l'intensità è la figura di interferenza di N sorgenti modulata dalla diffrazione della singola fenditura. Reticolo: massimi principali d sin θ = mλ, diversi per ogni colore; potere risolutivo λ/Δλ = mN.Diffrazione da una fenditura e reticolo →. Su questo si basa il microscopio elettronico. Una palla da baseball ($0{,}145\ \text{kg}$ a $40\ \text{m/s}$) ha invece $\lambda \sim 10^{-34}\ \text{m}$: nessun effetto ondulatorio osservabile.

Dualità onda-particella

Luce e materia hanno entrambe un comportamento ondulatorio (nella propagazione) e corpuscolare (negli scambi di energia e quantità di moto). La teoria che mette insieme i due aspetti è la meccanica quantistica.

Errori comuni

• Pensare che una luce più intensa estragga elettroni più veloci: conta la frequenza; l'intensità cambia il numero di elettroni.
• Mescolare joule ed elettronvolt: $hf$ in joule con $h$ in J·s; in eV conviene $hc = 1240\ \text{eV·nm}$.
• Usare $p = mv$ per il fotone: il fotone non ha massa, $p = h/\lambda = E/c$.