Esercizio 62onda in un filo dielettrico riflessa da un cambio di materiale

Testo (III appello, 24 giugno 2025, problema 3). Un'onda armonica elettromagnetica, di potenza $P_i = 2\ \text{mW}$ e frequenza $\nu = 1\ \text{MHz}$, si propaga lungo l'asse di un filo rettilineo di sezione $S = 1\ \text{mm}^2$ di materiale dielettrico trasparente con indice di rifrazione $n_1 = 1{,}9$, nella direzione $-\hat u_x$. In $x \leq 0$ il filo diventa di un dielettrico diverso, con indice di rifrazione $n_2 = 1{,}1$ e stessa sezione. Calcolare:

1. la potenza trasmessa nella zona $x < 0$ e quella riflessa sull'interfaccia, $P_t$ e $P_r$;
2. l'ampiezza del campo elettrico in $x < 0$, $E_t$;
3. l'intensità dell'onda in $x_B = 50\ \text{m}$ tenendo conto degli effetti di interferenza, $I_B$.

Teoria: Interferenza di N sorgenti e onde stazionarieN sorgenti coerenti, uguali ed equidistanti (passo d), come N fenditure sottili: tra due sorgenti vicine c'è la differenza di fase δ = 2π d sin θ/λ e l'intensità è I = I0 sin²(Nδ/2)/sin²(δ/2). Massimi principali per d sin θ = mλ, con intensità N²I0; minimi per d sin θ = m'λ/N (m' non multiplo di N): tra due massimi principali ci sono N − 1 minimi e N − 2 massimi secondari deboli. Più sorgenti = massimi più alti (N²) e più stretti (1/N). Due onde uguali che viaggiano in versi opposti formano un'onda stazionaria 2A sin(kx) cos(ωt): nodi fissi ogni λ/2, nessun trasporto di energia; davanti a uno specchio metallico E ha un nodo sullo specchio.Interferenza di N sorgenti e onde stazionarie →, Coefficienti di Fresnel e angolo di BrewsterIl campo elettrico dell'onda si scompone nella componente σ (perpendicolare al piano di incidenza) e π (nel piano). I coefficienti di Fresnel danno i rapporti tra le ampiezze: rσ = −sin(θi−θt)/sin(θi+θt), rπ = tan(θi−θt)/tan(θi+θt); a incidenza normale r = (n1−n2)/(n1+n2). La frazione di potenza riflessa è R = r², quella trasmessa T = 1 − R; aria-vetro a incidenza normale R = 4%. L'intensità trasmessa è T·Ii·cosθi/cosθt perché il fascio cambia sezione. Riflettendo su un mezzo più denso l'onda si inverte (sfasamento π). All'angolo di Brewster tan θB = n2/n1 (θi + θt = 90°) la componente π non viene riflessa: la luce riflessa è tutta polarizzata σ.Coefficienti di Fresnel e angolo di Brewster →.

1. Potenza trasmessa e riflessa

L'onda viaggia lungo l'asse del filo e incontra l'interfaccia (il piano $x = 0$) perpendicolarmente: incidenza normale. I coefficientiA incidenza normale R = ((n1 − n2)/(n1 + n2))² e T = 1 − R, frazioni della potenza.Coefficienti di Fresnel e angolo di Brewster → sono

$$R = \left(\frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}\right)^2 = \left(\frac{0{,}8}{3{,}0}\right)^2 = 0{,}0711, \qquad T = 1 - R = 0{,}929$$

$$P_r = RP_i = 0{,}142\ \text{mW}, \qquad P_t = TP_i = 1{,}858\ \text{mW}$$

2. Campo elettrico trasmesso

La sezione non cambia (incidenza normale, filo di sezione costante), quindi l'intensità trasmessa è

$$I_t = \frac{P_t}{S} = \frac{1{,}858 \cdot 10^{-3}}{10^{-6}} = 1858\ \text{W/m}^2$$

Nel mezzo 2 $I = n_2E_0^2/(2Z_0)$:

$$E_t = \sqrt{\frac{2Z_0I_t}{n_2}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 376{,}7 \cdot 1858}{1{,}1}} = 1128\ \text{V/m}$$

(L'onda incidente ha $I_i = 2000\ \text{W/m}^2$ ed $E_i = \sqrt{2Z_0I_i/n_1} = 891\ \text{V/m}$: il campo trasmesso è più grande di quello incidente, perché nel mezzo meno denso a parità di intensità serve un campo maggiore. Non c'è contraddizione con la conservazione dell'energia.)

3. Intensità in $x_B = 50\ \text{m}$

Due onde nella zona $x > 0$. Qui ci sono l'onda incidente (verso $-x$) e quella riflessa (verso $+x$), coerenti perché la seconda nasce dalla prima. Si sovrappongono come in un'onda parzialmente stazionariaOnda incidente e onda riflessa più debole: I(x) = Ii + Ir + 2√(Ii Ir) cos(2kx + φ), con φ = π se la riflessione avviene su un mezzo più denso.Interferenza di N sorgenti e onde stazionarie →.

• Intensità: $I_i = P_i/S = 2000\ \text{W/m}^2$, $I_r = P_r/S = 142\ \text{W/m}^2$.
• Lunghezza d'onda nel mezzo 1: $\lambda_1 = \frac{c}{\nu n_1} = \frac{3 \cdot 10^8}{10^6 \cdot 1{,}9} = 157{,}9\ \text{m}$ (frequenza bassa, lunghezza d'onda enorme).

Differenza di fase. In un punto $x > 0$ si confrontano le due onde: rispetto all'onda incidente che passa da $x$, quella riflessa ha percorso in più il tratto $x$ fino all'interfaccia e il tratto $x$ di ritorno, cioè un cammino in più di $2x$. Sfasamento di riflessione: l'onda passa a un mezzo meno denso ($n_2 < n_1$), quindi $r > 0$ e nessuno sfasamento.

$$\delta = k_1 \cdot 2x = \frac{4\pi x}{\lambda_1}, \qquad \delta_B = \frac{4\pi \cdot 50}{157{,}9} = 3{,}98\ \text{rad}$$

Intensità.

$$I_B = I_i + I_r + 2\sqrt{I_iI_r}\cos\delta_B = 2000 + 142 + 2\sqrt{2000 \cdot 142} \cdot \cos(3{,}98) = 2142 - 712 = 1430\ \text{W/m}^2$$

(la soluzione ufficiale, con $R$ arrotondato a $0{,}07$, dà $1428\ \text{W/m}^2$).

Il quadro complessivo. Lungo il filo l'intensità oscilla tra $(\sqrt{I_i} + \sqrt{I_r})^2 = 3209\ \text{W/m}^2$ (all'interfaccia e ogni $\lambda_1/2 = 79\ \text{m}$) e $(\sqrt{I_i} - \sqrt{I_r})^2 = 1076\ \text{W/m}^2$: minimi non nulli, perché l'onda riflessa è molto più debole di quella incidente. Il punto $x_B$ si trova vicino a un minimo ($\delta_B$ è poco più di $\pi$).

Verifica numerica

import numpy as np
c, Z0 = 2.998e8, 376.73
Pi, nu, S, n1, n2, xB = 2e-3, 1e6, 1e-6, 1.9, 1.1, 50
R = ((n1 - n2)/(n1 + n2))**2; T = 1 - R
print(R, R*Pi, T*Pi)                             # 0.0711, 1.42e-4 W, 1.858e-3 W
It = T*Pi/S; print(It, np.sqrt(2*Z0*It/n2))      # 1858 W/m^2, 1128 V/m
Ii, Ir = Pi/S, R*Pi/S
l1 = c/(nu*n1); dB = 4*np.pi*xB/l1
print(l1, dB, Ii + Ir + 2*np.sqrt(Ii*Ir)*np.cos(dB))   # 157.8 m, 3.98 rad, 1430 W/m^2

Risultati

Errori comuni

• Aggiungere $\pi$ alla fase: lo sfasamento c'è solo riflettendo su un mezzo più denso; qui $n_2 < n_1$.
• Usare come differenza di cammino $x$ invece di $2x$: l'onda riflessa va fino all'interfaccia e torna.
• Usare la lunghezza d'onda nel vuoto ($300\ \text{m}$): l'onda viaggia nel mezzo 1.