Esercizio 63tre fenditure e primo massimo secondario

Testo (II appello, 20 febbraio 2024, problema 3). In uno schermo, $N = 3$ fenditure parallele di larghezza trascurabile sono investite ortogonalmente da luce monocromatica. La separazione tra fenditure successive è $d = 12\ \mu\text{m}$ e da ognuna di esse viene emessa radiazione di intensità $I_0 = 2\ \text{W/m}^2$. Si osserva la figura di interferenza su un secondo schermo posto a distanza $L = 1\ \text{cm}$ dal primo. A distanza $z_1 = 250\ \mu\text{m}$ dal punto $z_0 = 0$ del massimo principale di ordine $m = 0$ si trova il primo massimo secondario dell'interferenza. Determinare:

1. la lunghezza d'onda $\lambda$ della luce;
2. l'intensità della luce $I(z_2)$ a distanza $z_2 = 300\ \mu\text{m}$ dal massimo principale di ordine $m = 0$;
3. il campo magnetico $B$ corrispondente a un massimo principale.

Teoria: Interferenza di N sorgenti e onde stazionarieN sorgenti coerenti, uguali ed equidistanti (passo d), come N fenditure sottili: tra due sorgenti vicine c'è la differenza di fase δ = 2π d sin θ/λ e l'intensità è I = I0 sin²(Nδ/2)/sin²(δ/2). Massimi principali per d sin θ = mλ, con intensità N²I0; minimi per d sin θ = m'λ/N (m' non multiplo di N): tra due massimi principali ci sono N − 1 minimi e N − 2 massimi secondari deboli. Più sorgenti = massimi più alti (N²) e più stretti (1/N). Due onde uguali che viaggiano in versi opposti formano un'onda stazionaria 2A sin(kx) cos(ωt): nodi fissi ogni λ/2, nessun trasporto di energia; davanti a uno specchio metallico E ha un nodo sullo specchio.Interferenza di N sorgenti e onde stazionarie →.

La figura di tre fenditure

Per $N$ fenditure l'intensità è

$$I(\theta) = I_0\,\frac{\sin^2(N\phi)}{\sin^2\phi}, \qquad \phi = \frac{\delta}{2} = \frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}$$

Con $N = 3$, tra due massimi principali ($\phi = 0$ e $\phi = \pi$) ci sono $N - 1 = 2$ minimi, a $\phi = \pi/3$ e $2\pi/3$, e $N - 2 = 1$ solo massimo secondario. Per simmetria sta esattamente a metà, a $\phi = \pi/2$, dove

$$I = I_0\,\frac{\sin^2(3\pi/2)}{\sin^2(\pi/2)} = I_0$$

cioè $1/9$ del massimo principale ($9I_0$).

1. Lunghezza d'onda

Condizione del massimo secondario. $\phi = \pi/2$ significa

$$\frac{\pi d\sin\theta_1}{\lambda} = \frac{\pi}{2} \quad\Longrightarrow\quad d\sin\theta_1 = \frac{\lambda}{2}$$

È anche la formula approssimata dei massimi secondari, $d\sin\theta = \frac{(2m'' + 1)\lambda}{2N}$, con $m'' = 1$ e $N = 3$: $\frac{3\lambda}{6} = \frac{\lambda}{2}$.

Sullo schermo. $\tan\theta_1 = z_1/L = 0{,}025$: angolo piccolo, $\sin\theta_1 \approx 0{,}025$.

$$\lambda = 2d\sin\theta_1 \approx \frac{2dz_1}{L} = \frac{2 \cdot 12 \cdot 10^{-6} \cdot 250 \cdot 10^{-6}}{10^{-2}} = 600\ \text{nm}$$

Luce arancione. Per orientarsi: con questi numeri i massimi principali di ordine $\pm1$ sono a $z = L\lambda/d = 500\ \mu\text{m}$, i minimi a $167$ e $333\ \mu\text{m}$, e il massimo secondario a metà, $250\ \mu\text{m}$.

2. Intensità in $z_2 = 300\ \mu\text{m}$

$\sin\theta_2 \approx z_2/L = 0{,}03$, quindi

$$\phi_2 = \frac{\pi d\sin\theta_2}{\lambda} = \frac{\pi \cdot 12 \cdot 10^{-6} \cdot 0{,}03}{600 \cdot 10^{-9}} = 0{,}6\,\pi$$

$$I(z_2) = I_0\,\frac{\sin^2(3 \cdot 0{,}6\pi)}{\sin^2(0{,}6\pi)} = 2 \cdot \frac{\sin^2(1{,}8\pi)}{\sin^2(0{,}6\pi)} = 2 \cdot \frac{0{,}3455}{0{,}9045} = 0{,}764\ \text{W/m}^2$$

Il punto sta tra il massimo secondario ($250\ \mu\text{m}$, $I = 2\ \text{W/m}^2$) e il secondo minimo ($333\ \mu\text{m}$, $I = 0$), e infatti l'intensità è intermedia.

3. Campo magnetico in un massimo principale

Nei massimi principali le tre onde arrivano in fase, i campi si sommano e

$$I_{\max} = N^2I_0 = 9 \cdot 2 = 18\ \text{W/m}^2$$

Dall'intensità (nel vuoto, $I = E^2/2Z_0$):

$$E = \sqrt{2Z_0I_{\max}} = \sqrt{2 \cdot 376{,}7 \cdot 18} = 116{,}5\ \text{V/m}, \qquad B = \frac{E}{c} = 3{,}88 \cdot 10^{-7}\ \text{T}$$

Controllo: ogni onda ha $E_0 = \sqrt{2Z_0I_0} = 38{,}8\ \text{V/m}$, e tre volte tanto è proprio $116{,}5\ \text{V/m}$.

Verifica numerica

import numpy as np
Z0, c = 376.73, 2.998e8
N, d, I0, L, z1, z2 = 3, 12e-6, 2, 0.01, 250e-6, 300e-6
lam = 2*d*z1/L; print(lam)                       # 6.0e-7 m
phi = np.pi*d*(z2/L)/lam
print(phi/np.pi, I0*np.sin(N*phi)**2/np.sin(phi)**2)   # 0.6, 0.764 W/m^2
E = np.sqrt(2*Z0*N**2*I0); print(E, E/c)         # 116.5 V/m, 3.88e-7 T

Risultati

Errori comuni

• Scambiare il massimo secondario con un massimo principale: con $\lambda = dz_1/L$ si otterrebbe $300\ \text{nm}$, sbagliato.
• Usare $\phi = 2\pi d\sin\theta/\lambda$ nella formula: nella formula compare la metà della differenza di fase tra fenditure consecutive.
• Dare $I_{\max} = NI_0$: nei massimi principali i campi si sommano, $I = N^2I_0$.