Esercizio 56fascio in parte polarizzato e in parte naturale tra due polarizzatori

Testo (II appello, 8 febbraio 2023, problema 3). Un fascio di onde piane è costituito da due componenti: una componente di intensità $I_1$ polarizzata rettilinearmente sul piano orizzontale e una componente di intensità $I_2$ non polarizzata. Il fascio incide normalmente su una coppia di polarizzatori $P_1$ e $P_2$: l'asse del polarizzatore $P_1$ forma con la verticale l'angolo $\alpha = 40°$ e l'asse del polarizzatore $P_2$ forma con la verticale l'angolo $\beta = 20°$. Se c'è solo il polarizzatore $P_1$, l'intensità del fascio dopo il polarizzatore è $I = 6{,}48\ \text{W/m}^2$; se c'è solo il polarizzatore $P_2$, l'intensità del fascio dopo il polarizzatore è $I' = 4{,}7\ \text{W/m}^2$. Se ambedue i polarizzatori sono presenti, si osserva che l'intensità dopo il secondo polarizzatore è $I'' = 5{,}72\ \text{W/m}^2$. Calcolare:

1. l'intensità della componente polarizzata, $I_1$;
2. l'intensità della componente non polarizzata, $I_2$;
3. la densità di energia elettromagnetica del fascio incidente sul primo polarizzatore, $u$.

Teoria: Polarizzatori e legge di MalusUn polarizzatore ideale lascia passare solo la componente del campo elettrico parallela al suo asse ottico (di trasmissione) e assorbe l'altra. Se la luce incidente è polarizzata linearmente e forma l'angolo θ con l'asse, esce E0 cos θ e l'intensità diventa I = I0 cos²θ (legge di Malus); la luce esce polarizzata lungo l'asse. La luce naturale perde sempre metà dell'intensità: I = I0/2. Due polarizzatori incrociati non lasciano passare nulla, ma inserendone un terzo a 45° in mezzo passa I0/8. Con una miscela di luce polarizzata e naturale: I = Inat/2 + Ipol cos²θ.Polarizzatori e legge di Malus →, Onde elettromagneticheUn'onda è una perturbazione f(x − vt) che si propaga senza deformarsi e soddisfa l'equazione delle onde; un'onda armonica è E0 sin(kx − ωt), con k = 2π/λ, ω = 2πf, v = λf = ω/k. Dalle equazioni di Maxwell nel vuoto E e B soddisfano l'equazione delle onde con velocità c = 1/√(μ0ε0) = 3·10⁸ m/s. L'onda piana è trasversale: E, B e direzione di propagazione sono perpendicolari, E = cB, in fase. Nei mezzi v = c/n. Trasporta energia: vettore di Poynting S = E × B/μ0, intensità I = ½ cε0 E0²; e quantità di moto: pressione di radiazione I/c (assorbita).Onde elettromagnetiche →.

Impostazione

Gli angoli giusti. La legge di Malus vuole l'angolo tra il campo elettrico e l'asse del polarizzatore. La componente polarizzata ha il campo orizzontale, mentre gli assi sono dati rispetto alla verticale: l'angolo tra campo e asse è il complementare.

• $P_1$: asse a $40°$ dalla verticale, quindi a $90° - 40° = 50°$ dal campo orizzontale.
• $P_2$: asse a $20°$ dalla verticale, quindi a $70°$ dal campo orizzontale.

Ogni componente per conto suo. Le due componenti non sono coerenti, quindi si sommano le intensità. Attraverso un polarizzatore:

• la parte naturale passa sempre per metà, $I_2/2$;
• la parte polarizzata passa con il fattore di MalusI0 cos²θ, con θ angolo tra il campo elettrico e l'asse ottico.Polarizzatori e legge di Malus → $\cos^2(90° - \text{angolo dalla verticale}) = \sin^2(\text{angolo dalla verticale})$.

1. Componente polarizzata

Con un solo polarizzatore alla volta:

$$I = \frac{I_2}{2} + I_1\sin^2\alpha, \qquad I' = \frac{I_2}{2} + I_1\sin^2\beta$$

La parte naturale contribuisce allo stesso modo in tutte e due: sottraendo membro a membro sparisce.

$$I - I' = I_1\left(\sin^2\alpha - \sin^2\beta\right) \quad\Longrightarrow\quad I_1 = \frac{I - I'}{\sin^2\alpha - \sin^2\beta} = \frac{6{,}48 - 4{,}70}{0{,}4132 - 0{,}1170} = \frac{1{,}78}{0{,}2962} = 6{,}0\ \text{W/m}^2$$

2. Componente non polarizzata

Con i due polarizzatori. Dopo $P_1$ il fascio ha intensità $I = 6{,}48\ \text{W/m}^2$ ed è tutto polarizzato lungo l'asse di $P_1$ (sia la parte che era naturale, sia quella che era orizzontale). Arriva su $P_2$, il cui asse forma con quello di $P_1$ l'angolo $\alpha - \beta = 20°$:

$$I'' = I\cos^2(\alpha - \beta) = \left(\frac{I_2}{2} + I_1\sin^2\alpha\right)\cos^2(\alpha - \beta)$$

Controllo dei dati: $6{,}48 \cdot \cos^2 20° = 6{,}48 \cdot 0{,}883 = 5{,}72\ \text{W/m}^2$, coerente.

Si ricava $I_2$:

$$I_2 = 2\left(\frac{I''}{\cos^2(\alpha - \beta)} - I_1\sin^2\alpha\right) = 2\left(\frac{5{,}72}{0{,}8830} - 6{,}0 \cdot 0{,}4132\right) = 2(6{,}478 - 2{,}479) = 8{,}0\ \text{W/m}^2$$

(Lo stesso risultato si ottiene subito dalla prima equazione: $I_2 = 2(I - I_1\sin^2\alpha)$. Il terzo dato serve a confermare.)

Osservazione. Con entrambi i polarizzatori passa più luce ($5{,}72$) che con il solo $P_2$ ($4{,}70$). Il polarizzatore $P_1$ ruota la polarizzazione della parte orizzontale verso l'asse di $P_2$: lo stesso effetto del terzo polarizzatoreTra due polarizzatori incrociati non passa luce, ma inserendone un terzo a 45° ne passa I0/8.Polarizzatori e legge di Malus →.

3. Densità di energia

Densità media. Per un'onda piana l'energia viaggia con velocità $c$, e l'intensità è la densità di energia (media) per la velocità: $I = \langle u\rangle c$. Le due componenti si sommano:

$$\langle u\rangle = \frac{I_1 + I_2}{c} = \frac{6 + 8}{3 \cdot 10^8} = 4{,}67 \cdot 10^{-8}\ \text{J/m}^3$$

La soluzione ufficiale. Il prof scrive $u = \varepsilon_0(E_1^2 + E_2^2)$, con $E_1$ ed $E_2$ le ampiezze ricavate da $I = E^2/(2Z_0)$, e ottiene

$$u = \varepsilon_0 \cdot 2Z_0(I_1 + I_2) = \frac{2(I_1 + I_2)}{c} = 9{,}33 \cdot 10^{-8}\ \text{J/m}^3$$

(con $\varepsilon_0Z_0 = 1/c$). È la formula $u = \varepsilon_0E^2$ di Onde elettromagneticheUn'onda è una perturbazione f(x − vt) che si propaga senza deformarsi e soddisfa l'equazione delle onde; un'onda armonica è E0 sin(kx − ωt), con k = 2π/λ, ω = 2πf, v = λf = ω/k. Dalle equazioni di Maxwell nel vuoto E e B soddisfano l'equazione delle onde con velocità c = 1/√(μ0ε0) = 3·10⁸ m/s. L'onda piana è trasversale: E, B e direzione di propagazione sono perpendicolari, E = cB, in fase. Nei mezzi v = c/n. Trasporta energia: vettore di Poynting S = E × B/μ0, intensità I = ½ cε0 E0²; e quantità di moto: pressione di radiazione I/c (assorbita).Onde elettromagnetiche → valutata con l'ampiezza, cioè il valore massimo della densità istantanea, il doppio della media. Conviene scrivere entrambi i valori dicendo quale si sta dando.

Verifica numerica

import numpy as np
c = 2.998e8
a, b = np.radians(40), np.radians(20)
I, Ip, Ipp = 6.48, 4.7, 5.72
I1 = (I - Ip)/(np.sin(a)**2 - np.sin(b)**2)
I2 = 2*(Ipp/np.cos(a - b)**2 - I1*np.sin(a)**2)
print(I1, I2)                                    # 6.0, 8.0 W/m^2
print((I1 + I2)/c, 2*(I1 + I2)/c)                # 4.67e-8 (media), 9.34e-8 J/m^3 (massimo)

Risultati

Errori comuni

• Usare gli angoli dalla verticale nel coseno: il campo è orizzontale, l'angolo con l'asse è il complementare.
• Applicare Malus alla parte naturale: passa sempre metà.
• Dopo $P_1$ trattare ancora separatamente le due parti: all'uscita di $P_1$ tutta la luce è polarizzata lungo il suo asse.