Esercizio 29bobina con momento magnetico obliquo

Testo (IV appello, 14 settembre 2020, problema 2). Una bobina piatta composta da $N = 40$ spire piane quadrate di lato $\ell = 0{,}01\ \text{m}$ è percorsa dalla corrente stazionaria $i$. Il momento di dipolo magnetico della bobina è $$\vec m = m_x\hat u_x + m_y\hat u_y = (0{,}003\ \text{A m}^2)\,\hat u_x + (0{,}007\ \text{A m}^2)\,\hat u_y$$ e la bobina è immersa in un campo magnetico $$\vec B = B_x\hat u_x + B_z\hat u_z = (0{,}2\ \text{T})\,\hat u_x + (0{,}3\ \text{T})\,\hat u_z$$ Calcolare:

a) l'intensità di corrente $i$; b) il modulo del momento meccanico $M$ subito dalla bobina; c) il lavoro $W$ necessario per allineare il dipolo magnetico al campo magnetico.

Teoria: Forza magnetica su un conduttore e momento su una spiraSu un tratto di filo percorso da corrente agisce la forza dF = i dl × B (seconda legge elementare di Laplace); su un filo rettilineo in campo uniforme F = i l B sinθ. Nell'effetto Hall la forza sui portatori produce una tensione trasversale che misura B. Una spira in un campo uniforme non sente forza totale ma un momento M = m × B, con momento magnetico m = i S n; l'energia è U = −m·B. Su questo funzionano galvanometro e motore elettrico.Forza magnetica su un conduttore e momento su una spira →.

a) Corrente

Il momento magnetico di una bobinam = N i S n: numero di spire per corrente per area, diretto lungo la normale data dalla regola della mano destra.Forza magnetica su un conduttore e momento su una spira → ha modulo $m = NiS$, con $S = \ell^2$ area di una spira. Il modulo del vettore dato:

$$m = \sqrt{m_x^2 + m_y^2} = \sqrt{0{,}003^2 + 0{,}007^2} = 7{,}62 \cdot 10^{-3}\ \text{A m}^2$$

$$i = \frac{m}{N\ell^2} = \frac{7{,}62 \cdot 10^{-3}}{40 \cdot 10^{-4}} = 1{,}9\ \text{A}$$

La direzione di $\vec m$ (nel piano $xy$) dice come è orientata la bobina: il suo piano è perpendicolare a $\vec m$.

b) Momento meccanico

$$\vec M = \vec m \times \vec B = \begin{vmatrix} \hat u_x & \hat u_y & \hat u_z \\ m_x & m_y & 0 \\ B_x & 0 & B_z \end{vmatrix} = m_yB_z\,\hat u_x - m_xB_z\,\hat u_y - m_yB_x\,\hat u_z$$

Sviluppando il determinante lungo la prima riga: la componente $x$ è $m_y B_z - 0 \cdot 0$; la $y$ è $-(m_x B_z - 0 \cdot B_x)$; la $z$ è $m_x \cdot 0 - m_y B_x$. Numericamente:

$$\vec M = (0{,}0021;\ -0{,}0009;\ -0{,}0014)\ \text{N m}$$

$$M = \sqrt{0{,}0021^2 + 0{,}0009^2 + 0{,}0014^2} = 2{,}68 \cdot 10^{-3}\ \text{N m}$$

Controllo con i moduli. $M = mB\sin\theta$, con $\theta$ angolo tra $\vec m$ e $\vec B$. Dal prodotto scalare $\vec m \cdot \vec B = m_xB_x = 6 \cdot 10^{-4}$ e $B = \sqrt{0{,}2^2 + 0{,}3^2} = 0{,}361\ \text{T}$: $\cos\theta = \frac{6 \cdot 10^{-4}}{7{,}62 \cdot 10^{-3} \cdot 0{,}361} = 0{,}218$, $\theta = 77{,}4°$, e $mB\sin\theta = 7{,}62 \cdot 10^{-3} \cdot 0{,}361 \cdot 0{,}976 = 2{,}68 \cdot 10^{-3}\ \text{N m}$ ✓.

c) Lavoro per allineare il dipolo

L'energia potenziale di un dipolo magnetico è $U = -\vec m \cdot \vec B$ (energia del dipoloU = −m·B: minima con m parallelo a B, massima antiparallelo.Forza magnetica su un conduttore e momento su una spira →). Il lavoro esterno per portare il dipolo dalla posizione iniziale a quella allineata (ruotandolo lentamente) è la variazione di energia:

$$U_i = -\vec m \cdot \vec B = -m_xB_x = -6{,}0 \cdot 10^{-4}\ \text{J}$$

$$U_f = -mB = -7{,}62 \cdot 10^{-3} \cdot 0{,}361 = -2{,}75 \cdot 10^{-3}\ \text{J}$$

$$W = U_f - U_i = -2{,}75 \cdot 10^{-3} + 6{,}0 \cdot 10^{-4} = -2{,}1 \cdot 10^{-3}\ \text{J}$$

Il segno. Il lavoro esterno è negativo: l'allineamento al campo è la posizione di energia minima, verso cui il momento meccanico spinge spontaneamente la bobina. L'agente esterno non deve spingere ma trattenere, assorbendo $2{,}1\ \text{mJ}$; lasciata libera, la bobina ruoterebbe da sola acquistando quell'energia come energia cinetica di rotazione.

Verifica numerica

import numpy as np
m = np.array([0.003, 0.007, 0]); B = np.array([0.2, 0, 0.3])
N, l = 40, 0.01
print(np.linalg.norm(m)/(N*l**2))                 # 1.9 A
M = np.cross(m, B); print(M, np.linalg.norm(M))   # [0.0021 -0.0009 -0.0014], 2.68e-3 N m
print(-np.linalg.norm(m)*np.linalg.norm(B) + m @ B)   # -2.1e-3 J

Risultati

Errori comuni

• Dimenticare le $N$ spire nel momento magnetico.
• Sbagliare un segno nel determinante: la componente $y$ ha il meno davanti.
• Prendere $W = U_i - U_f$: quello è il lavoro del campo, non dell'agente esterno.