Esercizio 67cuneo di plexiglass all'angolo di Brewster e fenditura

Testo (prova scritta del 14 febbraio 2019, temi del Dipartimento di Fisica, problema 3). Un fascio di luce rossa, $\lambda = 600\ \text{nm}$, non polarizzata, di intensità $I_0 = 1{,}5\ \text{W/cm}^2$, incide su un cuneo formato da due lastre di plexiglass con indice di rifrazione $n = 1{,}6$ e poste ad angolo retto tra loro. Sia $\varphi$ l'angolo non orientato ($\varphi < \pi/2$) tra la luce entrante e la lastra del cuneo su cui per prima incide la luce. Il valore di $\varphi$ è tale per cui la luce uscente risulta completamente polarizzata. Calcolare:

(a) i due valori $\varphi_1$ e $\varphi_2$ dell'angolo $\varphi$ per cui ciò avviene; (b) l'intensità $I_u$ della luce uscente in corrispondenza a uno qualsiasi dei due valori $\varphi_{1,2}$.

Il fascio di luce uscente incide normalmente su uno schermo piano in cui è praticata una fenditura rettilinea di larghezza $d$. Su un altro schermo parallelo al precedente e posto a distanza $L = 5\ \text{m}$ dalla fenditura si osserva che a una distanza $x_m = 2{,}5\ \text{cm}$ dal centro l'intensità luminosa è nulla. Calcolare:

(c) il minimo valore $d_{\min}$ di $d$ per cui ciò si verifica; (d) per tale valore di $d$, l'intensità $I_1$ che si registra al successivo massimo di diffrazione.

(Qui $d$ è la larghezza della fenditura, che nelle note è chiamata $a$.)

Teoria: Diffrazione da una fenditura e reticoloLa diffrazione è l'allargarsi di un'onda oltre un'apertura o un ostacolo, evidente quando l'apertura è confrontabile con λ. Per Huygens ogni punto della fenditura è una sorgente: è l'interferenza di infinite sorgenti. Diffrazione di Fraunhofer (schermo lontano) da una fenditura di larghezza a: I = Imax (sin α/α)² con α = π a sin θ/λ; minimi per a sin θ = mλ (m ≠ 0), massimo centrale largo il doppio degli altri, massimi secondari deboli (4,7%, 1,6%...). Con N fenditure di larghezza a e passo d l'intensità è la figura di interferenza di N sorgenti modulata dalla diffrazione della singola fenditura. Reticolo: massimi principali d sin θ = mλ, diversi per ogni colore; potere risolutivo λ/Δλ = mN.Diffrazione da una fenditura e reticolo →, Coefficienti di Fresnel e angolo di BrewsterIl campo elettrico dell'onda si scompone nella componente σ (perpendicolare al piano di incidenza) e π (nel piano). I coefficienti di Fresnel danno i rapporti tra le ampiezze: rσ = −sin(θi−θt)/sin(θi+θt), rπ = tan(θi−θt)/tan(θi+θt); a incidenza normale r = (n1−n2)/(n1+n2). La frazione di potenza riflessa è R = r², quella trasmessa T = 1 − R; aria-vetro a incidenza normale R = 4%. L'intensità trasmessa è T·Ii·cosθi/cosθt perché il fascio cambia sezione. Riflettendo su un mezzo più denso l'onda si inverte (sfasamento π). All'angolo di Brewster tan θB = n2/n1 (θi + θt = 90°) la componente π non viene riflessa: la luce riflessa è tutta polarizzata σ.Coefficienti di Fresnel e angolo di Brewster →.

(a) Gli angoli che danno luce polarizzata

Il percorso della luce. La luce si riflette sulla prima lastra, poi sulla seconda (che forma con la prima un angolo retto), ed esce dal cuneo. Se $\varphi$ è l'angolo tra il raggio e la prima lastra, l'angolo di incidenza (misurato dalla normale) è

$$\theta_i = \frac{\pi}{2} - \varphi$$

Sulla seconda lastra, perpendicolare alla prima, il raggio riflesso arriva con l'angolo di incidenza $\theta_i' = \frac{\pi}{2} - \theta_i = \varphi$ (nel triangolo formato dal raggio e dalle due lastre gli angoli acuti sono complementari).

Quando la luce esce polarizzata. La luce incidente è naturale. Basta che una delle due riflessioni avvenga all'angolo di Brewstertan θB = n2/n1; a quell'angolo la componente π non viene riflessa e la luce riflessa è tutta σ.Coefficienti di Fresnel e angolo di Brewster →: dopo quella riflessione resta solo la componente σ (il piano di incidenza è lo stesso per le due riflessioni, quindi σ resta σ anche sulla seconda lastra):

$$\theta_B = \arctan 1{,}6 = 1{,}012\ \text{rad} = 58{,}0°$$

• Brewster sulla prima lastra: $\theta_i = \theta_B$, cioè $\varphi_1 = \frac{\pi}{2} - \theta_B = 0{,}559\ \text{rad} = 32{,}0°$;
• Brewster sulla seconda: $\theta_i' = \varphi = \theta_B$, cioè $\varphi_2 = \theta_B = 1{,}012\ \text{rad} = 58{,}0°$.

(b) Intensità uscente

Fattori. Della luce naturale metà è σ. Le due riflessioni la riducono dei fattori $R_\sigma$ alle due lastre:

$$I_u = \frac{I_0}{2}\,R_1R_2$$

Nei due casi le riflessioni sono le stesse in ordine inverso (una a $58{,}0°$, l'altra a $32{,}0°$), quindi il risultato è lo stesso. Con $\varphi_1$:

• prima lastra, $\theta_i = \theta_B$, $\theta_t = 90° - \theta_B$: $R_1 = \sin^2(\theta_B - \theta_t) = \cos^2(2\theta_B) = \cos^2(116{,}0°) = 0{,}192$;
• seconda lastra, $\theta_i' = 32{,}0°$; Snell: $\theta_t' = \arcsin\left(\frac{\sin 32{,}0°}{1{,}6}\right) = 19{,}34°$, e

$$R_2 = \frac{\sin^2(32{,}0° - 19{,}34°)}{\sin^2(32{,}0° + 19{,}34°)} = \frac{\sin^2 12{,}66°}{\sin^2 51{,}34°} = 0{,}0788$$

$$I_u = \frac{1{,}5 \cdot 10^4\ \text{W/m}^2}{2} \cdot 0{,}192 \cdot 0{,}0788 = 113\ \text{W/m}^2$$

($I_0 = 1{,}5\ \text{W/cm}^2 = 1{,}5 \cdot 10^4\ \text{W/m}^2$.) Solo lo 0,76% della luce esce: il prezzo per avere luce completamente polarizzata per riflessione.

(c) Larghezza della fenditura

I minimi di diffrazioneFenditura di larghezza a: minimi per a sin θ = mλ con m = ±1, ±2, ... (m = 0 è il massimo centrale).Diffrazione da una fenditura e reticolo → di una fenditura sono a $d\sin\theta = m\lambda$, con $m \neq 0$. Angoli piccoli ($x_m \ll L$): $\sin\theta \approx x_m/L$, quindi

$$d = \frac{m\lambda L}{x_m}$$

Il valore minimo si ha con $m = 1$ (il punto di intensità nulla è il primo minimo):

$$d_{\min} = \frac{\lambda L}{x_m} = \frac{600 \cdot 10^{-9} \cdot 5}{0{,}025} = 120\ \mu\text{m}$$

(d) Il primo massimo secondario

Dove si trova. L'intensità è $I = I_{\max}\left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^2$ con $\alpha = \pi d\sin\theta/\lambda$. Il primo massimo secondario sta poco prima di metà tra il primo e il secondo zero: il valore esatto è $\alpha = 1{,}430\pi$ (circa $1{,}5\pi$), cioè sullo schermo a $x \approx 1{,}43\,\lambda L/d = 3{,}6\ \text{cm}$ dal centro.

Quanto vale rispetto al centro.

$$\frac{I_1}{I_{\max}} = \left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^2\bigg|_{\alpha = 1{,}43\pi} = 0{,}047$$

(con l'approssimazione $\alpha = 1{,}5\pi$: $\frac{4}{9\pi^2} = 0{,}045$).

Il valore assoluto. Per un numero serve l'intensità $I_{\max}$ al centro della figura sullo schermo, che a rigore dipende dalla geometria (quanto la luce si allarga oltre la fenditura) e non è fissata dai dati. La soluzione ufficiale la stima ponendo $I_{\max} \approx I_u$, cioè

$$I_1 \approx 0{,}047 \cdot 113 = 5{,}3\ \text{W/m}^2 \quad (5{,}1\ \text{W/m}^2 \text{ con il fattore } 0{,}045)$$

e con un'ulteriore correzione (tiene conto della luce che finisce nei massimi secondari, $I_u \approx 1{,}07\,I_{\max}$) arriva a $4{,}8\ \text{W/m}^2$. Il risultato da ricordare è il rapporto: il primo massimo secondario ha meno del 5% dell'intensità del massimo centrale.

Verifica numerica

import numpy as np
from scipy.optimize import brentq
n, I0, lam, L, xm = 1.6, 1.5e4, 600e-9, 5, 0.025
tB = np.arctan(n)
print(np.pi/2 - tB, tB)                          # 0.559 rad, 1.012 rad
R1 = np.cos(2*tB)**2
ti2 = np.pi/2 - tB; tt2 = np.arcsin(np.sin(ti2)/n)
R2 = (np.sin(ti2 - tt2)/np.sin(ti2 + tt2))**2
Iu = I0/2*R1*R2
print(R1, R2, Iu)                                # 0.192, 0.0788, 113 W/m^2
print(lam*L/xm)                                  # 1.2e-4 m
a1 = brentq(lambda a: np.tan(a) - a, np.pi + 0.1, 1.5*np.pi - 1e-6)
print(a1/np.pi, (np.sin(a1)/a1)**2, (np.sin(a1)/a1)**2*Iu)   # 1.430, 0.0472, 5.35 W/m^2

Risultati

Errori comuni

• Usare $\varphi$ come angolo di incidenza: $\varphi$ è misurato dalla lastra, l'angolo di incidenza dalla normale.
• Contare il fattore $\frac12$ due volte: la luce naturale perde la componente π alla riflessione di Brewster, una volta sola.
• Mettere il primo massimo secondario a $\alpha = \pi$: lì c'è il primo zero.