Esercizio 45solenoide in corrente alternata e bobina inclinata

Testo (III appello, 24 giugno 2025, problema 2). Una bobina è formata da $N_b = 8$ spire circolari di raggio $R_b = 5\ \text{cm}$ ed è posta al centro di un solenoide cilindrico (raggio $R_s = 7\ \text{cm}$, lunghezza $L_s = 80\ \text{cm}$, da considerarsi ideale) che contiene $N_s = 4000$ avvolgimenti. La normale alla bobina forma un angolo $\theta = 60°$ con l'asse del solenoide. Il solenoide è attraversato da una corrente alternata $i(t) = i_0\sin(\omega t)$ con $i_0 = 12\ \text{A}$ e $\omega = \pi/6\ \text{rad/s}$. Trascurando gli effetti della bobina sul solenoide e l'autoinduzione della bobina, calcolare:

1. l'energia $U_1$ contenuta nel solenoide al tempo $t_1 = 1\ \text{s}$;
2. il coefficiente di mutua induzione $M$ tra solenoide e bobina;
3. la forza elettromotrice $\mathcal E_2$ indotta nella bobina all'istante $t_2 = 2\ \text{s}$.

Teoria: Autoinduzione, circuiti RL ed energia magneticaLa corrente di un circuito produce un flusso concatenato con il circuito stesso, Φ = L i; L (induttanza, in henry) dipende solo dalla geometria: per un solenoide L = μ0 n² S ℓ. Se la corrente cambia nasce una f.e.m. autoindotta −L di/dt che si oppone alla variazione. In un circuito RL la corrente cresce come i = (ℰ/R)(1 − e^(−t/τ)) e si spegne come i0 e^(−t/τ), con τ = L/R. Un induttore percorso da corrente immagazzina l'energia ½ L i², distribuita nel campo con densità u = B²/2μ0.Autoinduzione, circuiti RL ed energia magnetica →, Mutua induzioneDue circuiti vicini si scambiano flusso: il flusso prodotto dal circuito 1 e concatenato con il 2 è Φ21 = M i1, e il coefficiente di mutua induzione M (in henry) è lo stesso nei due sensi, M12 = M21. Una corrente variabile in un circuito induce nell'altro la f.e.m. −M di/dt. Per una bobina di N spire di area A dentro un solenoide con n spire per metro, M = μ0 n N A cosθ. L'energia di due circuiti accoppiati è ½L1 i1² + ½L2 i2² + M i1 i2. Su questo funziona il trasformatore: V2/V1 = N2/N1.Mutua induzione →.

Dati utili

• spire per metro del solenoide: $n = N_s/L_s = 4000/0{,}8 = 5000$ spire/m;
• sezione del solenoide: $\pi R_s^2 = \pi \cdot 0{,}07^2 = 1{,}54 \cdot 10^{-2}\ \text{m}^2$;
• area di una spira della bobina: $\pi R_b^2 = 7{,}85 \cdot 10^{-3}\ \text{m}^2$;
• periodo della corrente: $T = 2\pi/\omega = 12\ \text{s}$ (una corrente alternata lentissima, scelta per avere angoli comodi: $\omega t_1 = \pi/6$, $\omega t_2 = \pi/3$).

1) Energia nel solenoide a $t_1 = 1\ \text{s}$

Corrente: $i(t_1) = 12\sin(\pi/6) = 12 \cdot 0{,}5 = 6\ \text{A}$.

Induttanza del solenoide. Il campo interno è $B = \mu_0 n i$; ogni spira del solenoide concatena il flusso $B\,\pi R_s^2$, e sono $N_s$:

$$L = \frac{N_s\,\mu_0 n i\,\pi R_s^2}{i} = \mu_0\,n\,N_s\,\pi R_s^2 = 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 5000 \cdot 4000 \cdot 1{,}54 \cdot 10^{-2} = 0{,}387\ \text{H}$$

(è la formula del solenoideL = μ0 n² S ℓ = μ0 N² S/ℓ.Autoinduzione, circuiti RL ed energia magnetica → $\mu_0 n^2 S\ell$, con $n\ell = N_s$.)

Energia:

$$U_1 = \frac12\,L\,i(t_1)^2 = \frac12 \cdot 0{,}387 \cdot 36 = 6{,}96\ \text{J}$$

Controllo con la densità di energia: $B = \mu_0 \cdot 5000 \cdot 6 = 37{,}7\ \text{mT}$, $u_B = B^2/2\mu_0 = 566\ \text{J/m}^3$, per il volume interno $\pi R_s^2 L_s = 1{,}23 \cdot 10^{-2}\ \text{m}^3$ fa $6{,}96\ \text{J}$ ✓.

2) Coefficiente di mutua induzione

Conviene calcolare il flusso del campo del solenoide nella bobina (il campo del solenoide è uniforme e noto; quello della bobina attraverso le spire del solenoide sarebbe molto complicato). Grazie alla simmetria M12 = M21Il flusso prodotto dal circuito 1 nel 2 per unità di corrente è uguale a quello prodotto dal 2 nell'1: si calcola nel verso più comodo.Mutua induzione → il risultato vale nei due sensi.

$$\Phi_b = N_b\,\pi R_b^2\,\mu_0 n\,i\cos\theta \quad\Longrightarrow\quad M = \frac{\Phi_b}{i} = \mu_0 n\,N_b\,\pi R_b^2\cos\theta$$

$$M = 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 5000 \cdot 8 \cdot 7{,}85 \cdot 10^{-3} \cdot 0{,}5 = 1{,}97 \cdot 10^{-4}\ \text{H} = 0{,}197\ \text{mH}$$

Conta l'area della bobina ($R_b = 5\ \text{cm}$), che sta tutta dentro il solenoide, non quella del solenoide.

3) F.e.m. nella bobina a $t_2 = 2\ \text{s}$

$$\mathcal E = -\frac{d\Phi_b}{dt} = -M\,\frac{di}{dt}, \qquad \frac{di}{dt} = i_0\,\omega\cos(\omega t)$$

A $t_2$: $\omega t_2 = \pi/3$, $\cos(\pi/3) = 0{,}5$:

$$\frac{di}{dt}\Big|_{t_2} = 12 \cdot \frac{\pi}{6} \cdot 0{,}5 = \pi\ \text{A/s} = 3{,}14\ \text{A/s}$$

$$\mathcal E_2 = -M\,\frac{di}{dt} = -1{,}97 \cdot 10^{-4} \cdot 3{,}14 = -6{,}2 \cdot 10^{-4}\ \text{V} = -0{,}62\ \text{mV}$$

Il segno meno (Lenz): la corrente nel solenoide sta crescendo, e la f.e.m. indotta nella bobina agisce in verso opposto a quello positivo legato alla sua normale. La f.e.m. è sfasata di un quarto di periodo rispetto alla corrente: è massima quando la corrente passa per zero, nulla quando la corrente è massima.

Verifica numerica

import numpy as np
mu0 = 4e-7*np.pi
Nb, Rb, Rs, Ls, Ns, i0, w = 8, 0.05, 0.07, 0.8, 4000, 12, np.pi/6
n = Ns/Ls; L = mu0*n*Ns*np.pi*Rs**2; i1 = i0*np.sin(w*1)
print(L, i1, 0.5*L*i1**2)                          # 0.387 H, 6 A, 6.96 J
M = mu0*n*Nb*np.pi*Rb**2*np.cos(np.radians(60))
didt = i0*w*np.cos(w*2)
print(M, didt, -M*didt)                            # 1.97e-4 H, 3.14 A/s, -6.2e-4 V

Risultati

Errori comuni

• Usare l'area del solenoide nella mutua induzione: il flusso che conta è quello attraverso le spire della bobina.
• Calcolare la f.e.m. con la corrente invece che con la sua derivata.
• Dimenticare il $\cos 60°$ dell'inclinazione della bobina.