Esercizio 27spirale verso un piano carico

Testo (IV appello, 12 luglio 2021, problema 2). Una regione di spazio è pervasa da un campo magnetico di intensità $B = 0{,}63\ \text{T}$, in cui passa, nel punto $T$, una particella di massa $m$ e carica $+q$ con una velocità iniziale $\vec v_0$ che forma un angolo $\theta = 45°$ con la direzione del campo. Perpendicolarmente alla direzione del campo, a distanza $d = 40\ \text{cm}$ da $T$, è posto un piano indefinito isolante uniformemente carico con densità $\sigma = +3{,}2 \cdot 10^{-7}\ \text{C/m}^2$. Il moto è a spirale cilindrica verso il piano, con un raggio di ciclotrone $R = 3\ \text{cm}$ e pulsazione $\omega = 20 \cdot 10^6\ \text{rad/s}$. Si calcolino:

a) la velocità iniziale della particella; b) la distanza $d_{\min}$ (dal piano) alla quale la particella inverte il suo moto; c) il numero di giri compiuti prima dell'inversione del moto.

Teoria: Campo magnetico e forza di LorentzIl campo magnetico B si definisce dalla forza che agisce su una carica in moto: F = q v × B (forza di Lorentz), perpendicolare alla velocità, quindi non compie lavoro e non cambia l'energia cinetica. Una carica con velocità perpendicolare a B percorre una circonferenza di raggio r = mv/qB con pulsazione ω = qB/m; con una componente parallela il moto è un'elica. Applicazioni: selettore di velocità, spettrometro di massa.Campo magnetico e forza di Lorentz →, Applicazioni della legge di GaussCon la legge di Gauss e una superficie scelta in base alla simmetria si ricava il campo di filo indefinito (λ/2πε0r), piano indefinito (σ/2ε0), guscio sferico (nullo dentro, kQ/r² fuori), sfera uniformemente carica (proporzionale a r dentro) e cilindro carico.Applicazioni della legge di Gauss → (piano indefinito).

Le due componenti del moto

Si mette l'asse $z$ lungo $\vec B$, diretto verso il piano. Il piano è perpendicolare a $\vec B$, quindi il suo campo elettrico è parallelo a $\vec B$: vale $E = \sigma/2\varepsilon_0$ (piano indefinitoE = σ/2ε0, uniforme, perpendicolare al piano e uscente se σ > 0.Applicazioni della legge di Gauss →) e punta via dal piano, cioè verso $-z$ nella regione della particella.

• Nel piano perpendicolare a $\vec B$ agisce solo la forza magnetica: moto circolare uniforme con raggio $R = mv_\perp/qB$ e pulsazione $\omega = qB/m$. La forza elettrica, lungo $z$, non tocca questo moto: raggio e periodo restano costanti.
• Lungo $z$ agisce solo la forza elettrica, costante: $F_z = -q\sigma/2\varepsilon_0$, che frena la particella (carica positiva, respinta dal piano positivo). Moto uniformemente decelerato.

La traiettoria è quindi un'elica con passo che si accorcia giro dopo giro, finché la componente $v_z$ si annulla e la particella torna indietro.

a) Velocità iniziale

La velocità perpendicolare al campo si ricava dal moto circolare: $v_\perp = \omega R = 2 \cdot 10^7 \cdot 0{,}03 = 6{,}0 \cdot 10^5\ \text{m/s}$. Con l'angolo di $45°$ tra $\vec v_0$ e $\vec B$, $v_\perp = v_0\sin\theta$:

$$v_0 = \frac{\omega R}{\sin\theta} = \frac{6{,}0 \cdot 10^5}{0{,}707} = 8{,}49 \cdot 10^5\ \text{m/s}$$

A $45°$ le due componenti sono uguali: anche $v_z = v_0\cos\theta = 6{,}0 \cdot 10^5\ \text{m/s}$.

b) Dove inverte il moto

Il rapporto carica/massa. Massa e carica non sono date separatamente, ma serve solo il loro rapporto, che si ottiene dalla pulsazione di ciclotrone:

$$\frac{q}{m} = \frac{\omega}{B} = \frac{2 \cdot 10^7}{0{,}63} = 3{,}17 \cdot 10^7\ \text{C/kg}$$

Energia lungo $z$. Il moto lungo $z$ è indipendente da quello circolare; l'energia cinetica "lungo $z$", $\frac12 m v_z^2$, viene spesa contro la forza elettrica costante. La particella si ferma (lungo $z$) dopo aver percorso la distanza $s$ con

$$\tfrac12 m v_z^2 = \frac{q\sigma}{2\varepsilon_0}\,s \quad\Longrightarrow\quad s = \frac{\varepsilon_0\,m\,v_z^2}{q\,\sigma} = \frac{\varepsilon_0 B\,v_z^2}{\sigma\,\omega}$$

(si è sostituito $m/q = B/\omega$). Numericamente:

$$s = \frac{8{,}854 \cdot 10^{-12} \cdot 0{,}63 \cdot (6 \cdot 10^5)^2}{3{,}2 \cdot 10^{-7} \cdot 2 \cdot 10^7} = \frac{2{,}008}{6{,}4} = 0{,}314\ \text{m}$$

La distanza dal piano al momento dell'inversione è

$$d_{\min} = d - s = 0{,}40 - 0{,}314 = 0{,}086\ \text{m} = 8{,}6\ \text{cm}$$

(la soluzione ufficiale accetta anche la distanza da $T$, $31{,}4\ \text{cm}$). L'energia del moto circolare, $\frac12 mv_\perp^2$, non cambia: il campo elettrico agisce solo lungo $z$ e quello magnetico non fa lavoro.

c) Numero di giri

Tempo fino all'inversione. Moto uniformemente decelerato con

$$a = \frac{q}{m}\,\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = 3{,}17 \cdot 10^7 \cdot \frac{3{,}2 \cdot 10^{-7}}{2 \cdot 8{,}854 \cdot 10^{-12}} = 5{,}74 \cdot 10^{11}\ \text{m/s}^2$$

$$t = \frac{v_z}{a} = \frac{6 \cdot 10^5}{5{,}74 \cdot 10^{11}} = 1{,}05 \cdot 10^{-6}\ \text{s}$$

Periodo del moto circolare: $T_c = 2\pi/\omega = 3{,}14 \cdot 10^{-7}\ \text{s}$.

$$n = \frac{t}{T_c} = \frac{1{,}05 \cdot 10^{-6}}{3{,}14 \cdot 10^{-7}} = 3{,}33\ \text{giri}$$

Verifica numerica

import numpy as np
eps0 = 8.854e-12
B, th, R, w, d, s = 0.63, np.radians(45), 0.03, 20e6, 0.40, 3.2e-7
vperp = w*R; v0 = vperp/np.sin(th); vz = v0*np.cos(th)
dist = eps0*B*vz**2/(s*w)
a = w/B*s/(2*eps0); t = vz/a
print(v0, d - dist)                  # 8.49e5 m/s, 0.086 m
print(t, t/(2*np.pi/w))              # 1.05e-6 s, 3.33 giri

Risultati

Errori comuni

• Usare tutta l'energia cinetica nel bilancio lungo $z$: la parte del moto circolare non viene toccata dal campo elettrico.
• Usare $\sigma/\varepsilon_0$ per il piano isolante: il campo è $\sigma/2\varepsilon_0$.
• Pensare che il raggio dell'elica cambi: cambia solo il passo, $v_\perp$ resta costante.