Analisi delle prestazioni di rete

Unità di misura: la prima trappola

• bit/s (anche bps o b/s): bit trasmessi o ricevuti al secondo. $1$ kbit/s $=10^3$ bit/s, $1$ Mbit/s $=10^6$ bit/s, $1$ Gbit/s $=10^9$ bit/s, $1$ Tbit/s $=10^{12}$ bit/s. Nelle reti i prefissi sono potenze di 10, non di 2.
• byte/s (B/s o Bps): $1$ B $=8$ bit, quindi $1$ kB/s $=8$ kbit/s.

Nei compiti la maiuscola o minuscola nell'unità è spesso il tranello (MB contro Mb, kB contro kbit): convertire sempre tutto in bit e secondi prima di calcolare.

Esempio. Un file da $25$ MB (megabyte) vale $25\cdot8=200$ Mbit; a $100$ Mbit/s richiede $200/100=2$ s, non $0{,}25$ s.

Le metriche principali

Bitrate e larghezza di banda

La parola «banda» (bandwidth) ha due significati, da non confondere:

• larghezza di banda in hertz, $W$ [Hz]: intervallo di frequenze di un segnale modulato, o intervallo di frequenze che un canale lascia passare con attenuazione accettabile (Segnali deterministici - tempo, frequenza, banda pratica, energia e potenzaRipasso dei segnali per le comunicazioni. Un segnale ha un'energia $E=\int|s|^2dt$ e, se questa è infinita, una potenza media; il teorema di Parseval la riscrive in frequenza con la densità di energia $|S(f)|^2$. Un segnale a durata finita ha banda infinita, quindi si definisce una banda pratica (primo zero, ampiezza, energia). Un sistema LTI non distorce se nella banda del segnale ha $H(f)=A_0e^{-j2\pi ft_0}$. La modulazione moltiplica per una portante e trasla lo spettro.Segnali deterministici - tempo, frequenza, banda pratica, energia e potenza →);
• bitrate (o ancora «banda»), $R_0$ [bit/s]: velocità massima di trasmissione a livello di bit di un collegamento, cioè il miglior ritmo di trasporto che esso può offrire ai livelli superiori; tipicamente il massimo del livello fisico o MAC.

I due significati sono legati dalla capacità di canale: su un canale con rumore gaussiano bianco, con rapporto segnale-rumore SNR (rapporto tra potenza del segnale e del rumore, da usare in rapporto lineare e non in dB: Decibel, dBW e dBmIl decibel misura un rapporto tra due potenze su scala logaritmica: $[x]{dB}=10\log{10}x$ (per le ampiezze $20\log_{10}$). Prodotti diventano somme e rapporti differenze, quindi guadagni e attenuazioni in cascata si sommano. Per una potenza assoluta si usa un riferimento: $P_{dBW}=10\log_{10}P_W$, $P_{dBm}=10\log_{10}P_{mW}=P_{dBW}+30$. Valori da ricordare: $3\ \text{dB}\approx\times2$, $10\ \text{dB}=\times10$, $20\ \text{dB}=\times100$.Decibel, dBW e dBm →), si può trasmettere senza errori solo se $R_0<C=W\log_2(1+\text{SNR})$ (Capacità di canale - canale binario simmetrico, a cancellazione e AWGNLa capacità $C=\max_{p_x}I(x;y)$ è il massimo di informazione mutua tra ingresso e uscita del canale; per il teorema di Shannon si può comunicare con probabilità d'errore arbitrariamente piccola se e solo se il rate è minore di $C$. Per il canale binario simmetrico $C=1-H_2(p)$ bit per uso (ingresso uniforme), per il canale a cancellazione $C=1-\varepsilon$, per l'AWGN $C=\frac12\log_2(1+\text{SNR})$ per uso reale, cioè $C=B\log_2(1+\text{SNR})$ bit/s su una banda $B$. Il limite $R_b<C$ dà il minimo $\frac{E_b}{N_0}\ge\frac{2^\nu-1}\nu$ ($-1{,}59$ dB per $\nu\to0$).Capacità di canale - canale binario simmetrico, a cancellazione e AWGN →). Esempio: $W=1$ MHz e SNR $=30$ dB $=10^{3}$ (rapporto lineare): $C=10^{6}\log_2(1001)=9{,}97$ Mbit/s. Per avere più bitrate servono più banda $W$ o più SNR.

Throughput e goodput

Definizione (throughput). Il throughput $S$ [bit/s, pacchetti/s, pacchetti/slot] è il ritmo medio con cui le unità di informazione (PDU) dell'utente sono effettivamente consegnate con successo all'entità pari di destinazione. Dipende dall'intervallo di tempo su cui si calcola. Vale sempre $S\le R_0$.

Perché $S$ è minore di $R_0$:

1. l'utente può non saturare il collegamento (trasmette meno di quanto potrebbe);
2. il collegamento può essere congestionato o condiviso tra più flussi;
3. possono esserci ritrasmissioni di pacchetti già inviati (per affidabilità): i bit ritrasmessi occupano il collegamento ma non portano informazione nuova al destinatario;
4. i protocolli di accesso al mezzo introducono tempi morti (Protocolli di accesso multiplo - ALOHA e CSMAQuando più stazioni condividono lo stesso mezzo serve un protocollo di accesso (MAC) che decida chi trasmette. Accesso casuale: ALOHA puro (si trasmette subito, tempo vulnerabile $2t_F$), slotted ALOHA (si parte solo a inizio slot, vulnerabile $t_F$), CSMA (si ascolta prima di parlare, vulnerabile $\tau_p$) con le varianti 1-persistent, non persistent e p-persistent, CSMA/CD (rileva la collisione mentre trasmette: serve $t_F\ge2\tau_p$, quindi un frame minimo) e CSMA/CA del Wi-Fi (IFS, finestra di contesa con backoff esponenziale, ACK, RTS/CTS e NAV). Accesso controllato: prenotazione, polling, token. Canalizzazione: FDMA, TDMA, OFDMA, CDMA, SDMA.Protocolli di accesso multiplo - ALOHA e CSMA →).

Esempio. Un protocollo sopra il livello fisico offre $1000$ bit/s; se rivela errori e chiede di ritrasmettere $10$ bit ogni $1000$, il throughput scende a $990$ bit/s.

Definizione (goodput). Il goodput è il throughput al livello applicazione: conta solo i bit utili consegnati all'applicazione, senza le intestazioni aggiunte dai livelli inferiori e senza le ritrasmissioni. Il rapporto tra i bit aggiunti dalle intestazioni e i bit utili è l'overhead.

Esempio. L'applicazione genera un pacchetto da $1200$ B ogni $10$ ms; i livelli inferiori aggiungono $60$ B, quindi al livello fisico passano $1260$ B ogni $10$ ms. Throughput al PHY $=1260\cdot8/0{,}01=1{,}008$ Mbit/s; goodput all'applicazione $=1200\cdot8/0{,}01=960$ kbit/s; overhead $=60/1200=5\,\%$. Si veda Esercizio - Throughput al livello fisico e goodput all'applicazione.

Collo di bottiglia (bottleneck)

Proprietà (throughput di un percorso). Su un percorso con collegamenti di bitrate $R_1,\dots,R_n$ in serie, il throughput è $$S=\min\{R_1,\dots,R_n\},$$ cioè quello del collegamento collo di bottiglia.

Perché: se $R_s<R_c$ i bit pompati dal server (a $R_s$) passano attraverso il router e arrivano al client a $R_s$. Se $R_c<R_s$ il router non riesce a inoltrare i bit così in fretta come li riceve: escono a $R_c$ e quel che non esce si accumula in coda.

Esempio. Server $R_s=2$ Mbit/s, client $R_c=1$ Mbit/s: throughput $=\min\{2,1\}=1$ Mbit/s.

Attenzione ai collegamenti condivisi. Se $10$ server e $10$ client scaricano attraverso un collegamento comune di capacità $R=5$ Mbit/s, con $R_s=2$ Mbit/s e $R_c=1$ Mbit/s, la risposta «il collo di bottiglia è l'accesso del client perché $R_c<R_s<R$» è sbagliata: il collegamento comune divide la sua capacità in parti uguali tra i $10$ scaricamenti, quindi ognuno ne riceve $5/10=0{,}5$ Mbit/s $<R_c=1$ Mbit/s, e il collegamento condiviso è il collo di bottiglia: ogni download ha $500$ kbit/s.

Il ritardo end-to-end

Formula (ritardo end-to-end). Il tempo per consegnare un messaggio al destinatario, dall'istante in cui il primo bit esce dalla sorgente, è la somma di quattro contributi: $$d_{tot}=d_{proc}+d_{queue}+d_{trans}+d_{prop}.$$

Ognuno ha una causa e un rimedio diversi. (Nelle slide lo stesso ritardo si indica con $d_{e2e}$.)

Ritardo di elaborazione $d_{proc}$: tempo con cui un router o l'host di destinazione riceve il pacchetto dalla porta di ingresso, ne toglie l'intestazione (PCI), fa il controllo d'errore e lo consegna alla porta di uscita (router) o al livello superiore (host). Può variare da pacchetto a pacchetto ma si calcola in media ed è spesso trascurabile. Si riduce con meccanismi di instradamento efficienti.

Ritardo di accodamento $d_{queue}$: tempo che un pacchetto passa nelle code di ingresso e di uscita di un router. Dipende non solo dalle caratteristiche dei collegamenti ma dall'intensità del traffico. È solo in parte controllabile (priorità del traffico, scheduling, controllo di ammissione delle chiamate). Per calcolarlo si modella il collegamento come un sistema a coda: Introduzione alla teoria delle codeUn sistema a coda (QS) è fatto da un processo di arrivi (di Poisson, tasso $\lambda$), una coda e uno o più servitori con tasso di servizio $\mu$. Carico offerto $G=\lambda/\mu$, fattore di carico $\rho=\lambda/(m\mu)$: il sistema è stabile solo se $\rho<1$, e allora il throughput è $\lambda$ (altrimenti è $m\mu$). Legge di Little: $E[x]=\lambda E[s]$, valida per qualsiasi disciplina. Coda M/M/1: $E[x]=\frac{\rho}{1-\rho}$, $E[s]=\frac{1/\mu}{1-\rho}$, $E[w]=\frac{\rho/\mu}{1-\rho}$. Con servizio deterministico (M/D/1, caso particolare di Pollaczek-Khinchin): $E[w]=\frac{\rho}{2\mu(1-\rho)}$. Il ritardo cresce senza limite quando $\rho\to1$.Introduzione alla teoria delle code →.

Formula (ritardo di trasmissione). Per mettere sulla linea tutti i bit di un pacchetto di lunghezza $L$ (un bit dopo l'altro, dal primo all'ultimo) a bitrate $R$: $$d_{trans}=\frac{L}{R}.$$

Esempio. Pacchetto di $10$ kbit su Fast Ethernet a $100$ Mbit/s: $d_{trans}=10^4/10^8=100\ \mu\text{s}$. (La slide scrive «10 Mbps» ma il calcolo $10\,000/100\,000\,000=100\ \mu$s corrisponde a $100$ Mbit/s; a $10$ Mbit/s verrebbe $1$ ms.) Si riduce aumentando il bitrate del collegamento.

Formula (ritardo di propagazione). Tempo che un bit impiega per andare da un estremo all'altro del mezzo, a velocità $v$ su distanza $d$: $$d_{prop}=\frac{d}{v}.$$ Nel vuoto $v=c=3\cdot10^{8}$ m/s; nei mezzi cablati $v\approx2\cdot10^{8}$ m/s (rame e fibra: la luce nel mezzo va a $c/n$, con indice di rifrazione $n\approx1{,}5$, quindi $3\cdot10^8/1{,}5=2\cdot10^8$ m/s; si veda Mezzi di trasmissione - cavi, fibre e collegamenti radioIl mezzo di trasmissione fissa l'attenuazione $a_{ch}$ nel link budget. Nei cavi $H_{ch}=e^{-\gamma d}$ e l'attenuazione in dB cresce con la distanza ($a=\tilde a,d$, dB/km) e con $\sqrt f$. Le fibre ottiche hanno banda larghissima (10¹⁴-10¹⁵ Hz), attenuazione bassa in tre finestre di lunghezza d'onda e limitazione dalla dispersione. Nei collegamenti radio vale la formula di Friis, $g_{ch}=g_{tx}g_{rx}\left(\frac\lambda{4\pi d}\right)^2$, cioè $a_{ch}=32{,}4+20\log_{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-G_{tx}-G_{rx}$ dB.Mezzi di trasmissione - cavi, fibre e collegamenti radio →).

Esempio. Cavo transoceanico di $6000$ km: $d_{prop}=6\cdot10^{6}/2\cdot10^{8}=30$ ms. Il ritardo di propagazione non si può ridurre («è la fisica»); è trascurabile solo nelle reti terrestri corte, ma non nei collegamenti satellitari, nei cavi lunghi e nei collegamenti ad altissima velocità.

Quali termini tenere (regola pratica)

• Di solito si trascurano $d_{proc}$ e $d_{queue}$.
• $d_{prop}$ si trascura per le reti radio terrestri a corto raggio, non per i satelliti e per i cavi lunghi.
• Se il testo dà la lunghezza del collegamento o il ritardo di propagazione, quel termine va incluso.

Attraversare più collegamenti

Con $k$ collegamenti uguali in serie e un solo pacchetto, ogni router riceve tutto il pacchetto prima di inoltrarlo (store-and-forward, vedi Commutazione di circuito e di pacchettoUn nodo di commutazione (switch) può collegare ingresso e uscita in tre modi. Commutazione di circuito: si stabilisce prima un collegamento fisico dedicato (rete telefonica), tempo di consegna $T=3Nt_p+Nt_s+M/R$. Commutazione di pacchetto a datagramma: il messaggio è diviso in $K$ pacchetti con intestazione, ognuno è instradato indipendentemente con store-and-forward, $T=Nt_p+(N+K-1)\frac{M/K+H}{R}$, con $K_{ott}=\sqrt{(N-1)M/H}$. A circuito virtuale: tre fasi (setup, dati, chiusura), connessione logica dedicata ma senza risorse dedicate, identificatore locale che cambia a ogni salto.Commutazione di circuito e di pacchetto →), quindi ogni collegamento aggiunge $d_{trans}+d_{prop}$: $$d_{tot}=k\left(\frac LR+\frac dv\right)\quad(\text{senza elaborazione né coda}).$$

Esempio. $k=10$ collegamenti da $10$ km a $100$ Mbit/s, pacchetto $1260$ B (con $v=2\cdot10^{8}$ m/s). Passo per passo, su un collegamento:

• il pacchetto vale $1260\cdot8=10\,080$ bit (si converte prima in bit);
• trasmissione: $d_{trans}=L/R=10\,080/10^{8}=1{,}008\cdot10^{-4}$ s $=100{,}8\ \mu$s;
• propagazione: $d_{prop}=d/v=10^{4}/(2\cdot10^{8})=5\cdot10^{-5}$ s $=50\ \mu$s;
• un collegamento: $100{,}8+50=150{,}8\ \mu$s; dieci in serie, perché ogni router aspetta il pacchetto intero: $d_{tot}=10\cdot150{,}8=1508\ \mu$s.

Il ritardo cresce linearmente col numero di collegamenti, con pendenza $d_{trans}+d_{prop}$ per collegamento (Esercizio - Ritardo end-to-end su 10 collegamenti e BDP):

Jitter

Definizione (jitter). Il jitter $J$ [s] è la variazione del ritardo tra pacchetti di uno stesso flusso: pacchetti diversi incontrano ritardi diversi (code diverse), e l'applicazione al ricevitore, se è sensibile al tempo, ne soffre.

Un ritardo costante non è un problema per un video in streaming, ma congelare l'immagine a metà riproduzione è molto fastidioso. Con un jitter grande occorrono un ritardo di riproduzione (playout delay) lungo e buffer di riproduzione grandi: il contenuto viene bufferizzato per un po' prima di partire. La variabilità del ritardo di coda si studia con la formula di Pollaczek-Khinchin per le code M/G/1 (Introduzione alla teoria delle codeUn sistema a coda (QS) è fatto da un processo di arrivi (di Poisson, tasso $\lambda$), una coda e uno o più servitori con tasso di servizio $\mu$. Carico offerto $G=\lambda/\mu$, fattore di carico $\rho=\lambda/(m\mu)$: il sistema è stabile solo se $\rho<1$, e allora il throughput è $\lambda$ (altrimenti è $m\mu$). Legge di Little: $E[x]=\lambda E[s]$, valida per qualsiasi disciplina. Coda M/M/1: $E[x]=\frac{\rho}{1-\rho}$, $E[s]=\frac{1/\mu}{1-\rho}$, $E[w]=\frac{\rho/\mu}{1-\rho}$. Con servizio deterministico (M/D/1, caso particolare di Pollaczek-Khinchin): $E[w]=\frac{\rho}{2\mu(1-\rho)}$. Il ritardo cresce senza limite quando $\rho\to1$.Introduzione alla teoria delle code →).

Round Trip Time (RTT)

Definizione (RTT). Il round trip time di una connessione $A\to B$ è il tempo che passa da quando un pacchetto parte da $A$ a quando ad $A$ torna il corrispondente riscontro (ACK): $$RTT=\underbrace{d_{proc}+d_{queue}+d_{trans}+d_{prop}}_{A\to B,\ \text{dati}}+\underbrace{d_{proc}+d_{queue}+d_{trans}+d_{prop}}_{B\to A,\ \text{ACK}}.$$ Trascurando elaborazione e coda, con $t_F$ tempo di trasmissione del frame, $t_A$ dell'ACK e $\tau_p$ propagazione in un verso: $RTT=t_F+t_A+2\tau_p$. Se l'ACK è piccolo ($t_A\approx0$) e il frame piccolo: $RTT_{min}\approx2\tau_p$.

L'ACK è in genere molto più piccolo dei dati (altrimenti è inefficiente). Attenzione: RTT non è il ritardo end-to-end. Il ritardo end-to-end è il tempo che impiega qualcosa a andare da sorgente a destinazione; l'RTT è il tempo di una richiesta e della sua risposta.

Esempio. Frame di $10$ kbit su collegamento a $10$ Mbit/s ($t_F=1$ ms), ACK di $100$ bit ($t_A=10\ \mu$s), propagazione $\tau_p=5$ ms: $RTT=1+0{,}01+2\cdot5=11{,}01$ ms.

Capacità del tubo: prodotto banda-ritardo

Definizione (BDP). Il bandwidth-delay product è il massimo numero medio di bit che si possono trasferire in un intervallo pari al ritardo, cioè i bit che «riempiono» il collegamento: $$\text{BDP [bit]}=\text{throughput massimo [bit/s]}\cdot\text{ritardo [s]}.$$ Spesso si definisce con l'RTT: allora è il numero di bit che si possono trasmettere senza aver ancora ricevuto riscontro (unacknowledged). In pacchetti: $\text{BDP}/F$ (capacità del tubo, pipe capacity).

Immagine: bitrate $5$ bit/s e ritardo $5$ s; dopo $5$ s il primo gruppo di $5$ bit arriva e nel tubo ce ne sono $5\cdot5=25$. Non sempre conviene «usare» tutto il BDP.

Esempio. Collegamento a $10$ Mbit/s con $\tau_p=5$ ms ($RTT\approx2\tau_p=10$ ms $=0{,}01$ s): $BDP=10^{7}\ \text{bit/s}\cdot0{,}01\ \text{s}=10^{5}$ bit $=100$ kbit (i secondi si semplificano e resta un numero di bit); con pacchetti da $10$ kbit la capacità del tubo è $10$ pacchetti. Cioè per tenere il canale pieno bisogna spedire $10$ pacchetti prima che torni il primo ACK: è il legame con la finestra dei protocolli Protocolli ARQ - Stop-and-Wait, Go-Back-N e Selective RepeatARQ (Automatic Repeat reQuest) rende affidabile un collegamento che sbaglia: il ricevitore conferma (ACK) i frame ricevuti bene, il trasmettitore ritrasmette allo scadere del timeout. Servono timeout (contro il deadlock) e numeri di sequenza (contro i duplicati). Con $t_G=t_F+2\tau_p+t_A$ e probabilità di errore $p$: Stop-and-Wait $\rho=\frac{t_F(1-p)}{t_G}$; Go-Back-N con finestra $N\ge t_G/t_F$ $\rho=\frac{1-p}{1+(N-1)p}$; Selective Repeat $\rho=1-p$. Efficienza $\eta=\rho,I/F$. La finestra ottima è la capacità del tubo in pacchetti. In Selective Repeat esiste anche una lunghezza ottima del frame: con overhead $o$ e probabilità di errore sul bit $P_b$, $x_{ott}\simeq\frac o2+\sqrt{o/P_b}$ (frame più corti se il canale sbaglia di più).Protocolli ARQ - Stop-and-Wait, Go-Back-N e Selective Repeat →.

Definizione (efficienza del collegamento). Se si trasmettono $B_{sent}$ bit prima di ricevere un riscontro, l'efficienza (link utilization) è la frazione di tubo riempita: $$\eta=\frac{B_{sent}}{BDP}\quad(\le1).$$

Esempio. Se il tubo contiene $100$ kbit e si inviano $10$ kbit e poi si aspetta l'ACK: $\eta=10/100=10\,\%$. Si veda Esercizio - Collegamento Terra-Luna, RTT, BDP ed efficienza.

L'efficienza di un protocollo stop-and-wait (Tecniche ARQ - stop-and-wait, go-back-N e selective repeatL'ARQ (automatic repeat request) usa un codice che rivela gli errori e fa ritrasmettere i pacchetti sbagliati, con conferme ACK/NACK. Con $p=1-(1-P_{bit})^L$ la probabilità che un pacchetto sia errato, $t_P$ il tempo di pacchetto, $t_A$ quello dell'ACK e $\tau_P$ il ritardo di propagazione: stop-and-wait $S=\frac{t_P(1-p)}{t_P+t_A+2\tau_P}$; go-back-N $S=\frac{(1-p),t_P}{1+(N-1)p}$ con $N-1=\left\lceil\frac{2\tau_P}{t_P+t_A}\right\rceil$; selective repeat $S=(1-p)\frac{t_P}{t_P+t_A}$. Il numero medio di trasmissioni di un pacchetto è $\frac1{1-p}$.Tecniche ARQ - stop-and-wait, go-back-N e selective repeat →; il protocollo è descritto in Protocolli ARQ - Stop-and-Wait, Go-Back-N e Selective RepeatARQ (Automatic Repeat reQuest) rende affidabile un collegamento che sbaglia: il ricevitore conferma (ACK) i frame ricevuti bene, il trasmettitore ritrasmette allo scadere del timeout. Servono timeout (contro il deadlock) e numeri di sequenza (contro i duplicati). Con $t_G=t_F+2\tau_p+t_A$ e probabilità di errore $p$: Stop-and-Wait $\rho=\frac{t_F(1-p)}{t_G}$; Go-Back-N con finestra $N\ge t_G/t_F$ $\rho=\frac{1-p}{1+(N-1)p}$; Selective Repeat $\rho=1-p$. Efficienza $\eta=\rho,I/F$. La finestra ottima è la capacità del tubo in pacchetti. In Selective Repeat esiste anche una lunghezza ottima del frame: con overhead $o$ e probabilità di errore sul bit $P_b$, $x_{ott}\simeq\frac o2+\sqrt{o/P_b}$ (frame più corti se il canale sbaglia di più).Protocolli ARQ - Stop-and-Wait, Go-Back-N e Selective Repeat →) si ricava così. Il trasmettitore invia un frame (occupa il canale per $t_F$) e poi aspetta l'ACK: in ogni ciclo di durata $t_F+2\tau_p$ (ACK trascurabile) il canale è usato solo per $t_F$. L'efficienza è il rapporto tra tempo utile e durata del ciclo; dividendo numeratore e denominatore per $t_F$ e ponendo $a=\tau_p/t_F$ (propagazione normalizzata): $$\eta=\frac{t_F}{t_F+2\tau_p}=\frac{1}{1+2\tau_p/t_F}=\frac1{1+2a}.$$ Crolla quando il collegamento è «lungo» rispetto al tempo di trasmissione. È lo stesso $\eta=B_{sent}/BDP$ di prima: infatti $B_{sent}=Rt_F$ e $BDP=R(t_F+2\tau_p)$, e $R$ si semplifica.

Affidabilità

Il livello fisico può consegnare pacchetti con errori: rapporto segnale/rumore (SNR) basso al ricevitore (per l'attenuazione), forte interferenza o collisioni.

• PER (Packet Error Rate): pacchetti consegnati con errori / pacchetti trasmessi. Se ogni bit è sbagliato con probabilità $p$ (bit error rate, che dipende dall'SNR: Modello AWGN, SNR e link budget a banda strettaIl sistema di trasmissione si modella con un canale che filtra il segnale ($h_{ch}$), un rumore additivo bianco gaussiano $w_{rc}$ (AWGN) di densità bilatera $\frac{N_0}2$ e un filtro di ricezione. L'SNR è il rapporto tra potenza del segnale e del rumore. Con canale a banda stretta ($H_{ch}$ costante nella banda) il link budget dà $\Lambda=\frac{P_{tx}}{kT_{eff}B,a_{ch}}$, in dB $\Lambda_{dB}=P_{tx,dBm}-a_{ch,dB}+114-F_{dB}-10\log_{10}B_{MHz}$ (con sorgente a $T_0$).Modello AWGN, SNR e link budget a banda stretta →), in modo indipendente dagli altri, un pacchetto di $L$ bit arriva corretto solo se tutti gli $L$ bit lo sono (Indipendenza di eventiA e B sono indipendenti se P(A ∩ B) = P(A) P(B), cioè se sapere che uno si è verificato non cambia la probabilità dell'altro; l'indipendenza passa ai complementari, non va confusa con l'incompatibilità, e per più eventi va richiesta su ogni sottofamiglia.Indipendenza di eventi →, Prove ripetute e modello binomialen prove indipendenti, ciascuna con probabilità di successo p: una sequenza con k successi ha probabilità p^k (1−p)^(n−k), e la probabilità di esattamente k successi è (n su k) p^k (1−p)^(n−k) (modello binomiale); il primo successo alla prova k ha probabilità (1−p)^(k−1) p.Prove ripetute e modello binomiale →): $PER=1-(1-p)^L$.
• PDR o PRR (Packet Delivery/Reception Rate): pacchetti consegnati con successo / pacchetti trasmessi; $PDR=1-PER$.
• PLR (Packet Loss Rate): frazione di pacchetti trasmessi non consegnati per qualsiasi motivo (errori o overflow del buffer).

Esempio (dal bit al pacchetto). $p=10^{-5}$ e $L=12\,000$ bit ($1500$ B): $PER=1-(1-10^{-5})^{12000}\approx1-e^{-0{,}12}=0{,}113$, cioè l'$11\,\%$ dei pacchetti ha errori anche se solo un bit su centomila è sbagliato (per $p$ piccolo $(1-p)^L\approx e^{-pL}$, dal limite notevole $(1-x/n)^n\to e^{-x}$: Limiti notevoli di funzioniI limiti notevoli per le forme 0/0 (log(1+x)/x, (e^x − 1)/x, ((1+x)^α − 1)/x, sin x/x, (1 − cos x)/x², arctan x/x...) con le dimostrazioni, e la loro forma come asintoticità: log(1+f) ~ f, e^f − 1 ~ f, sin f ~ f, 1 − cos f ~ f²/2 quando f → 0.Limiti notevoli di funzioni →).

Esempio. Su $1000$ pacchetti, $30$ arrivano con errori e $10$ vengono scartati per buffer pieno: $PER=30/1000=3\,\%$, $PDR=97\,\%$ (se si contano solo gli errori), $PLR=(30+10)/1000=4\,\%$.