Controllori PID

I controllori PID (Proporzionale, Integrale, Derivativo) sono i più usati nella pratica industriale: risolvono moltissimi problemi di controllo, si tarano con poche regole e funzionano anche quando del processo si sa poco.

Che cosa fanno

Con $e(t)=r(t)-y(t)$ l'errore, il PID genera l'ingresso del processo $$u(t)=K_p\,e(t)+K_d\,\dot e(t)+K_i\int_0^te(\tau)\,d\tau.$$

• Proporzionaleazione proporzionale all'errore: più si è lontani dall'obiettivo, più si agisce.
• Derivativo: guarda la velocità con cui l'errore cambia e "frena in anticipo" per evitare di superare il valore desiderato (agisce come un anticipo di fase).
• Integrale: accumula l'errore nel tempo e lo corregge: serve a eliminare errori a regime costanti (tipo più alto).

Esempio intuitivo (termostato): proporzionale = soffio più caldo/freddo quanto più si è lontani dai 22 °C; integrale = corregge una temperatura che resta sempre un po' fredda; derivativo = si accorge che la temperatura sale in fretta e riduce prima di superare.

Con la trasformata di Laplace: $$C_{PID}(s)=K_p+K_ds+\frac{K_i}s=\frac{K_i+K_ps+K_ds^2}s.$$ Casi particolari: $PI$: $C_{PI}=K_p+\frac{K_i}s=\frac{K_i+K_ps}s$ (propria); $PD$: $C_{PD}=K_p+K_ds$ (non propria); $P$: $C=K_p$. Il PID non è proprio (due zeri, un polo). Nelle realizzazioni il derivativo è filtrato con un polo lontano: $$C_{PID,reale}(s)=\frac{K_i+K_ps+K_ds^2}{s\big(1+\frac sN\big)},\qquad N\gg\text{ intervallo di frequenze di lavoro},$$ che è propria. Il corso chiede spesso di progettare un PID "eventualmente non proprio": in tal caso si omette il polo di filtro, a meno che il testo dica "proprio".

Il PID nella sintesi per tentativi

Con $K_i\ne0$ si riscrive $$C_{PID}(s)=\underbrace{\frac{K_i}s}_{C'(s)}\ \underbrace{\Big[1+\frac{K_p}{K_i}s+\frac{K_d}{K_i}s^2\Big]}_{C''(s)},$$ che è esattamente la struttura della sintesi per tentativi (Problema di regolazione e sintesi per tentativiProblema di regolazione: data $G$ propria, senza poli in $\mathrm{Re}>0$, con $G(0)\ne0$ (cioè $G=\frac{K_B(G)}{s^r}G_1$, $G_1(0)=1$), progettare $C$ propria tale che $W=\frac{CG}{1+CG}$ sia BIBO stabile, di tipo $k$ con $|e_{rp}^{(k+1)}|\le e^$, con $\omega_A\simeq\omega_A^$ e $m_\varphi\ge m_\varphi^$. Sintesi per tentativi: Passo 1 $C'=\frac{K_B(C')}{s^\alpha}$ ($\alpha=\max(k-r,0)$, $|K_B(C')|$ minimo che soddisfa l'errore, segno di $K_B(G)$); Passo 2 $C''$ con $K_B(C'')=1$ che porta $\omega_A$ e $m_\varphi$ ai valori voluti in quattro casi ($\omega_A\gtrless\omega_A^$, $m_\varphi(\omega_A^)\gtrless m_\varphi^$): guadagno, rete anticipatrice, attenuatrice, a sella. Il criterio di Bode garantisce la stabilità.Problema di regolazione e sintesi per tentativi →):

• $C'=\frac{K_i}s$ aumenta di uno il tipo del sistema e fissa l'errore a regime (Passo 1). Dalla formula $|e_{rp}^{(k+1)}|=\frac1{|K_B(\tilde G)|}$ si ricava $K_i$.
• $C''$ è un polinomio di secondo grado con $C''(0)=1$ (quindi non cambia l'errore). Con $\frac{K_p}{K_i}>0$ e $\frac{K_d}{K_i}>0$ ha due zeri a parte reale negativa: una doppia azione anticipatrice, che alza la fase fino a $180^\circ$ (Passo 2).

Per un PID con zeri reali $z_1,z_2>0$ vale $C''=\big(1+\frac s{z_1}\big)\big(1+\frac s{z_2}\big)=1+\Big(\frac1{z_1}+\frac1{z_2}\Big)s+\frac{s^2}{z_1z_2}$, quindi $$\frac{K_p}{K_i}=\frac1{z_1}+\frac1{z_2},\qquad\frac{K_d}{K_i}=\frac1{z_1z_2}.$$ Dato $C''$ si ottengono $K_p=K_i\Big(\frac1{z_1}+\frac1{z_2}\Big)$ e $K_d=\frac{K_i}{z_1z_2}$. La condizione perché gli zeri siano reali è $K_p^2\ge4K_iK_d$ (zeri complessi se non vale).

Il PI è $C_{PI}=\frac{K_i}s\big(1+\frac{K_p}{K_i}s\big)$: un integratore e un solo zero in $-\frac{K_i}{K_p}$: anticipo di fase fino a $90^\circ$. Il PD non alza il tipo: $K_p\big(1+\frac{K_d}{K_p}s\big)$, un solo zero.

Quale controllore scegliere

Il PID non è adatto se bisogna abbassare il modulo in $\omega_A^*$ (ha solo zeri: alzerebbe il modulo): si usano reti attenuatrici o a sella (Reti attenuatrici e reti a sellaLa rete attenuatrice $C_{att}=\frac{1+s/z}{1+s/p}$ con $0<p<z$ ha $K_B=1$ e abbassa il modulo di $20\log\frac zp$ dB oltre $z$ senza cambiare il guadagno in continua (a costo di un po' di fase persa, circa $\frac z{\omega_A^}$ rad). Caso ③: polo a $\frac M{20}$ decadi prima dello zero, zero $\ge1$ decade prima di $\omega_A^$. La rete a sella $C_{sella}=C_{att}C_{ant}$ ($p_1<z_1\le z_2<p_2$) abbassa il modulo e alza la fase: si progetta prima la parte anticipatrice (fase, con un guadagno extra $\Delta$), poi quella attenuatrice sufficientemente a sinistra per togliere $M+\Delta$ dB senza toccare la fase (caso ④).Reti attenuatrici e reti a sella →).

Esempio con PID: tipo 1 e anticipo $>90^\circ$

$G(s)=\dfrac{10(1+s)}{(1+\frac s{10})^3}$, specifiche: tipo $1$ con $|e_{rp}^{(2)}|\le0{,}1$, $\omega_A^*=100$ rad/s, $m_\varphi^*\ge90^\circ$ (tema d'esame 2019, ripreso anche in altri appelli).

Passo 1. $K_B(G)=10>0$, $r=0$, tipo $1$: $C'=\frac{K_i}s$ con $|e_{rp}^{(2)}|=\frac1{K_i\cdot10}\le0{,}1$, cioè $K_i=1$: $C'G=\dfrac{10(1+s)}{s(1+\frac s{10})^3}$.

Passo 2. In $\omega=100$: modulo $-40{,}1$ dB (quindi $M=40{,}1$ dB da guadagnare, $\omega_A<\omega_A^*$) e fase $-90^\circ+\arctan100-3\arctan10=-253{,}4^\circ$, cioè $m_\varphi(\omega_A^*)=-73{,}4^\circ$: servono $\Phi=90^\circ-(-73{,}4^\circ)=163{,}4^\circ>90^\circ$: due zeri, ciascuno che porta $\frac M2=20$ dB, cioè a una decade prima: $z_1=z_2=10$ rad/s. Controllore: $$C_{PID}(s)=\frac1s\Big(1+\frac s{10}\Big)^2=\frac{1+0{,}2s+0{,}01s^2}{s},\qquad K_i=1,\ K_p=0{,}2,\ K_d=0{,}01.$$ Verifica. $C_{PID}G=\dfrac{10(1+s)}{s(1+\frac s{10})}$ (i due zeri compensano due dei tre poli di $G$ in $-10$, che sono stabili): $\omega_A=99{,}5$ rad/s, fase $-84{,}8^\circ$, $m_\varphi=95{,}2^\circ\ge90^\circ$ ✓. Tipo $1$ ed errore $\frac1{10}=0{,}1$ ✓. Il sistema retroazionato è BIBO stabile per il criterio di Bode ($K_B>0$, poli stabili, $\omega_A$ unica).

Errori comuni

• Usare un PID "con segno sbagliato": $K_i$ e $K_p$ devono avere lo stesso segno di $K_B(G)$ per avere $K_B(\tilde G)>0$.
• Dimenticare che il PID non è proprio: se il testo richiede un controllore proprio si aggiunge un polo lontano (e si verifica che non tolga fase).
• Credere che il PID sia sempre migliore: non abbassa il modulo e, con zeri complessi o troppo vicini a $\omega_A^*$, alza troppo il modulo.
• Cancellare con gli zeri del PID poli instabili del processo (proibito): qui si cancellano solo poli stabili.
• Confondere PI con PD: il PI ha il polo nell'origine (cambia il tipo), il PD no.