Tipo e errore a regime di un sistema retroazionato

Il tipo di un sistema (Segnali canonici, tipo di un sistema ed errore di regime permanenteI segnali canonici $\delta_{-(k+1)}(t)=\frac{t^k}{k!}\delta_{-1}(t)$ (gradino, rampa, parabola) hanno trasformata $s^{-(k+1)}$. Per $W$ propria, BIBO stabile e $W(0)\ne0$, il sistema è di tipo $k$ se l'errore di regime $e_{rp}^{(k+1)}=\lim_{t\to\infty}[\delta_{-(k+1)}-w_{-(k+1)}]$ è costante e non nullo (per i segnali di ordine minore è nullo, per quelli di ordine maggiore infinito). Tipo $0\iff W(0)\ne1$, $e^{(1)}{rp}=1-W(0)$; tipo $k\ge1\iff W(0)=1$, $W^{(i)}(0)=0$ per $i<k$, $W^{(k)}(0)\ne0$, con $e^{(k+1)}{rp}=-\frac{W^{(k)}(0)}{k!}$.Segnali canonici, tipo di un sistema ed errore di regime permanente →) si calcola con le derivate di $W$ in $0$. Per un sistema retroazionato, il tipo e l'errore si leggono invece direttamente da $\tilde G$ in catena aperta: è il risultato su cui si basa la sintesi del controllore (Problema di regolazione e sintesi per tentativiProblema di regolazione: data $G$ propria, senza poli in $\mathrm{Re}>0$, con $G(0)\ne0$ (cioè $G=\frac{K_B(G)}{s^r}G_1$, $G_1(0)=1$), progettare $C$ propria tale che $W=\frac{CG}{1+CG}$ sia BIBO stabile, di tipo $k$ con $|e_{rp}^{(k+1)}|\le e^$, con $\omega_A\simeq\omega_A^$ e $m_\varphi\ge m_\varphi^$. Sintesi per tentativi: Passo 1 $C'=\frac{K_B(C')}{s^\alpha}$ ($\alpha=\max(k-r,0)$, $|K_B(C')|$ minimo che soddisfa l'errore, segno di $K_B(G)$); Passo 2 $C''$ con $K_B(C'')=1$ che porta $\omega_A$ e $m_\varphi$ ai valori voluti in quattro casi ($\omega_A\gtrless\omega_A^$, $m_\varphi(\omega_A^)\gtrless m_\varphi^$): guadagno, rete anticipatrice, attenuatrice, a sella. Il criterio di Bode garantisce la stabilità.Problema di regolazione e sintesi per tentativi →).

Il teorema

Sia $\tilde G(s)=\frac{K_B}{s^h}\,\tilde G_1(s)$ in forma di Bode, $\tilde G_1(0)=1$, $h\ge0$ numero di poli nell'origine, $K_B=K_B(\tilde G)$ il suo guadagno di Bode. Si supponga che $W=\frac{\tilde G}{1+\tilde G}$ sia propria, BIBO stabile e priva di zeri in $0$.

Teorema. $W$ è di tipo $k=h$ (il tipo coincide con la molteplicità del polo nell'originenumero di integratori in catena aperta di $\tilde G$) e $$e_{rp}^{(1)}=\frac1{1+K_B}\quad(h=0),\qquad e_{rp}^{(h+1)}=\frac1{K_B}\quad(h\ge1).$$

Dimostrazione. L'errore al segnale canonico $\delta_{-(k+1)}$ ha trasformata $\frac1{s^{k+1}}\cdot\frac1{1+\tilde G}$ (Schemi di controllo in retroazione e funzioni di trasferimentoNello schema in retroazione unitaria negativa (controllore $C$, processo $G$) la FdT in catena aperta è $\tilde G=CG$ e quella in catena chiusa $W=\frac{\tilde G}{1+\tilde G}$; l'errore è $E=\frac{R}{1+\tilde G}=(1-W)R$. Zeri di $W$ = zeri di $\tilde G$, poli di $W$ = zeri di $1+\tilde G$. La BIBO stabilità di $W$ è un'altra cosa dalla stabilità di $G$: la retroazione sposta i poli. Le cancellazioni di fattori instabili tra $C$ e $G$ sono proibite.Schemi di controllo in retroazione e funzioni di trasferimento →): quindi $1-W(s)=\frac1{1+\tilde G(s)}$ e $$e_{rp}^{(k+1)}=\lim_{s\to0}\frac{1-W(s)}{s^k}=\lim_{s\to0}\frac1{s^k\big(1+\tilde G(s)\big)}.$$

• Se $h=0$: $\tilde G(0)=K_B$, finito, e per $k=0$ si ha $e_{rp}^{(1)}=\frac1{1+K_B}$, costante non nulla: tipo $0$.
• Se $h\ge1$: moltiplicando numeratore e denominatore per $s^h$ si ha $\frac1{s^k(1+\tilde G)}=\frac{s^{h-k}}{s^h+K_B\tilde G_1(s)}$. Il denominatore tende a $K_B\tilde G_1(0)=K_B$ per $s\to0$. Per $k<h$ il numeratore va a zero: limite $0$. Per $k=h$ il numeratore vale $1$: limite $\frac1{K_B}\ne0$. Per $k>h$ il numeratore diverge: limite $\infty$. Dunque il primo $k$ con errore finito non nullo è $k=h$, e vale $e_{rp}^{(h+1)}=\frac1{K_B}$. $\square$

In parole: ogni integratore (polo nell'origine) in catena aperta alza il tipo di uno, perché un integratore ha guadagno infinito a frequenza zero e "spinge" l'uscita fino ad annullare l'errore.

Il tipo non è altro che il numero di integratori in catena aperta. Se $h=0$ il sistema segue un riferimento costante con errore finito; se $h=1$ segue il gradino senza errore e la rampa con errore costante $\frac1{K_B}$; se $h=2$ segue anche la rampa senza errore e la parabola con errore $\frac1{K_B}$.

Come si usano le formule

• Specifica sul tipo. Per ottenere tipo $k$ bisogna che $\tilde G=CG$ abbia $k$ poli nell'origine. Se $G$ ne ha già $r$ ($0\le r<k$) il controllore ne aggiunge $k-r$; se $r\ge k$ non serve aggiungere nulla.
• Specifica sull'errore. Si impone $|e_{rp}^{(k+1)}|\le e^*$: per $k=0$ da $\frac1{1+K_B}\le e^*$ segue $K_B\ge\frac1{e^*}-1$; per $k\ge1$ da $\frac1{|K_B|}\le e^*$ segue $|K_B|\ge\frac1{e^*}$. Il guadagno di Bode di $\tilde G=CG$ è il prodotto $K_B(C)K_B(G)$.
• Segno: perché l'errore sia positivo e la retroazione "negativa" non diventi instabile serve $K_B>0$ (Pulsazione di attraversamento, margine di fase e criterio di BodeLa pulsazione di attraversamento $\omega_A$ è la $\omega>0$ in cui $|G(j\omega)|=1$ (0 dB); il margine di fase è $m_\varphi=180^\circ+\arg G(j\omega_A)$: quanta fase si può ancora perdere prima di arrivare a $-180^\circ$. Criterio di Bode: se $G$ è strettamente propria, ha guadagno di Bode $K_B>0$, nessun polo con $\mathrm{Re}>0$ e $\omega_A$ è ben definita (esiste ed è unica), allora $W=\frac G{1+G}$ è BIBO stabile $\iff m_\varphi>0$. Più $m_\varphi$ è grande, più il sistema è lontano dall'instabilità e meno oscilla.Pulsazione di attraversamento, margine di fase e criterio di Bode →): se $K_B(G)<0$ si sceglie $K_B(C)<0$.

Esempio 1 (tipo 1). $\tilde G=\dfrac{10}{s(1+s)(1+s/10)}$ in anello chiuso: $W=\frac{10}{10+s+1{,}1s^2+0{,}1s^3}$, BIBO stabile (se $\tilde G$ fosse moltiplicata per un guadagno $K$, la stabilità richiederebbe $0<K<1{,}1$; qui $K=1$). Qui $h=1$, $K_B=10$: tipo $1$, $e_{rp}^{(2)}=\frac1{10}=0{,}1$ (verificato con $W(0)=1$ e $W'(0)=-\frac{10}{100}=-0{,}1$, quindi $e^{(2)}_{rp}=-W'(0)=0{,}1$). L'uscita alla rampa $t$ resta indietro di $0{,}1$ a regime.

Esempio 2 (tipo 0). $\tilde G=\dfrac{100}{(s+1)(s+10)}$: $h=0$, $K_B=10$, $e_{rp}^{(1)}=\frac1{1+10}=0{,}0909$. In effetti $W=\frac{100}{s^2+11s+110}$ ha $W(0)=\frac{100}{110}=0{,}909$ e $1-W(0)=0{,}0909$ ✓.

Esempio 3 (controllore da progettare). $G=\frac{1}{s+10}$ ($K_B(G)=0{,}1$, $r=0$), obiettivo tipo $0$ con $|e^{(1)}_{rp}|\le0{,}1$: serve $K_B(\tilde G)\ge\frac1{0{,}1}-1=9$, cioè $K_B(C)\ge\frac9{0{,}1}=90$: $C=90$ proporzionale. Per tipo $1$ con $|e^{(2)}_{rp}|\le0{,}1$: $C=\frac{K_B(C)}s$ con $|K_B(\tilde G)|=0{,}1K_B(C)\ge10$, cioè $K_B(C)\ge100$: $C=\frac{100}s$.

Errori comuni

• Applicare le formule senza verificare che $W$ sia BIBO stabile (con $W$ instabile l'errore non ha significato).
• Usare $e^{(1)}_{rp}=\frac1{K_B}$ per il tipo $0$: la formula giusta è $\frac1{1+K_B}$.
• Confondere $K_B(\tilde G)$ con il guadagno del solo processo: è il prodotto di quello del controllore e quello del processo.
• Dimenticare il valore assoluto quando $K_B<0$, o non cambiare il segno di $K_B(C)$ per avere $K_B(\tilde G)>0$.
• Pensare che aumentare il guadagno non abbia limiti: $K_B$ grande può far perdere la stabilità (Criterio di Routh-HurwitzIl criterio di Routh stabilisce se un polinomio $P(s)=p_ns^n+\dots+p_0$ è di Hurwitz senza calcolarne le radici. Si costruisce la tabella (righe $n,n-1,\dots,0$) con $\text{nuovo}=\frac{\text{pivot}\cdot a-\text{prec.}\cdot b}{\text{pivot}}$; se la tabella va a compimento, il numero di variazioni di segno nella prima colonna è il numero di radici con $\mathrm{Re}>0$, le permanenze il numero con $\mathrm{Re}<0$. Elemento nullo in prima colonna: $P$ non è Hurwitz; riga nulla: radici simmetriche (spesso immaginarie) date dal polinomio ausiliario. Con parametro $K$ nei coefficienti dà gli intervalli di stabilità.Criterio di Routh-Hurwitz →).